MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islmib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islmib 28038
Description: Property of the line mirror. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismid.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
ismid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ismid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
lmif.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lmif.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
islmib.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
islmib (πœ‘ β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ↔ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))))

Proof of Theorem islmib
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑔 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmif.m . . . . 5 𝑀 = ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·)
2 df-lmi 28026 . . . . . . 7 lInvG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ ran (LineGβ€˜π‘”) ↦ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘”) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘”)((π‘Ž(midGβ€˜π‘”)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜π‘”)(π‘Ž(LineGβ€˜π‘”)𝑏) ∨ π‘Ž = 𝑏))))))
3 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 β†’ (LineGβ€˜π‘”) = (LineGβ€˜πΊ))
4 lmif.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
53, 4eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 β†’ (LineGβ€˜π‘”) = 𝐿)
65rneqd 5938 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 β†’ ran (LineGβ€˜π‘”) = ran 𝐿)
7 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Baseβ€˜π‘”) = (Baseβ€˜πΊ))
8 ismid.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
97, 8eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Baseβ€˜π‘”) = 𝑃)
10 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝐺 β†’ (midGβ€˜π‘”) = (midGβ€˜πΊ))
1110oveqd 7426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝐺 β†’ (π‘Ž(midGβ€˜π‘”)𝑏) = (π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏))
1211eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((π‘Ž(midGβ€˜π‘”)𝑏) ∈ 𝑑 ↔ (π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑))
13 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝐺 β†’ 𝑑 = 𝑑)
14 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝐺 β†’ (βŸ‚Gβ€˜π‘”) = (βŸ‚Gβ€˜πΊ))
155oveqd 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝐺 β†’ (π‘Ž(LineGβ€˜π‘”)𝑏) = (π‘ŽπΏπ‘))
1613, 14, 15breq123d 5163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝐺 β†’ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜π‘”)(π‘Ž(LineGβ€˜π‘”)𝑏) ↔ 𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘)))
1716orbi1d 916 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((𝑑(βŸ‚Gβ€˜π‘”)(π‘Ž(LineGβ€˜π‘”)𝑏) ∨ π‘Ž = 𝑏) ↔ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)))
1812, 17anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 β†’ (((π‘Ž(midGβ€˜π‘”)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜π‘”)(π‘Ž(LineGβ€˜π‘”)𝑏) ∨ π‘Ž = 𝑏)) ↔ ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏))))
199, 18riotaeqbidv 7368 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 β†’ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘”)((π‘Ž(midGβ€˜π‘”)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜π‘”)(π‘Ž(LineGβ€˜π‘”)𝑏) ∨ π‘Ž = 𝑏))) = (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏))))
209, 19mpteq12dv 5240 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘”) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘”)((π‘Ž(midGβ€˜π‘”)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜π‘”)(π‘Ž(LineGβ€˜π‘”)𝑏) ∨ π‘Ž = 𝑏)))) = (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)))))
216, 20mpteq12dv 5240 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 β†’ (𝑑 ∈ ran (LineGβ€˜π‘”) ↦ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘”) ↦ (℩𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘”)((π‘Ž(midGβ€˜π‘”)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜π‘”)(π‘Ž(LineGβ€˜π‘”)𝑏) ∨ π‘Ž = 𝑏))))) = (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏))))))
22 ismid.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
2322elexd 3495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V)
244fvexi 6906 . . . . . . . . 9 𝐿 ∈ V
25 rnexg 7895 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ V β†’ ran 𝐿 ∈ V)
26 mptexg 7223 . . . . . . . . 9 (ran 𝐿 ∈ V β†’ (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏))))) ∈ V)
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏))))) ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏))))) ∈ V)
292, 21, 23, 28fvmptd3 7022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (lInvGβ€˜πΊ) = (𝑑 ∈ ran 𝐿 ↦ (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏))))))
30 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ↔ (π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷))
31 breq1 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ↔ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘)))
3231orbi1d 916 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏) ↔ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)))
3330, 32anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 β†’ (((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)) ↔ ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏))))
3433riotabidv 7367 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏))) = (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏))))
3534mpteq2dv 5251 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)))) = (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)))))
3635adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑑 ∧ (𝑑(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)))) = (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)))))
37 lmif.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
388fvexi 6906 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ V
3938mptex 7225 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)))) ∈ V
4039a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)))) ∈ V)
4129, 36, 37, 40fvmptd 7006 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((lInvGβ€˜πΊ)β€˜π·) = (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)))))
421, 41eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘Ž ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)))))
43 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))
4443eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷))
45 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘ŽπΏπ‘) = (𝐴𝐿𝑏))
4645breq2d 5161 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ↔ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)))
47 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž = 𝑏 ↔ 𝐴 = 𝑏))
4846, 47orbi12d 918 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏) ↔ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
4944, 48anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏)) ↔ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))))
5049riotabidv 7367 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏))) = (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))))
5150adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž = 𝐴) β†’ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((π‘Ž(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(π‘ŽπΏπ‘) ∨ π‘Ž = 𝑏))) = (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))))
52 lmicl.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
53 ismid.d . . . . . 6 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
54 ismid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
55 ismid.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
568, 53, 54, 22, 55, 4, 37, 52lmieu 28035 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
57 riotacl 7383 . . . . 5 (βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) β†’ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) ∈ 𝑃)
5856, 57syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) ∈ 𝑃)
5942, 51, 52, 58fvmptd 7006 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))))
6059eqeq2d 2744 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ↔ 𝐡 = (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))))
61 islmib.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
62 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡))
6362eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ 𝐷))
64 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐴𝐿𝑏) = (𝐴𝐿𝐡))
6564breq2d 5161 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ↔ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡)))
66 eqeq2 2745 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐴 = 𝑏 ↔ 𝐴 = 𝐡))
6765, 66orbi12d 918 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏) ↔ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡)))
6863, 67anbi12d 632 . . . . 5 (𝑏 = 𝐡 β†’ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))))
6968riota2 7391 . . . 4 ((𝐡 ∈ 𝑃 ∧ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡)) ↔ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) = 𝐡))
7061, 56, 69syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡)) ↔ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) = 𝐡))
71 eqcom 2740 . . 3 (𝐡 = (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) ↔ (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) = 𝐡)
7270, 71bitr4di 289 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡)) ↔ 𝐡 = (℩𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))))
7360, 72bitr4d 282 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ↔ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐡) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒ!wreu 3375  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  (class class class)co 7409  2c2 12267  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27682  Itvcitv 27684  LineGclng 27685  βŸ‚Gcperpg 27946  midGcmid 28023  lInvGclmi 28024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkgld 27703  df-trkg 27704  df-cgrg 27762  df-leg 27834  df-mir 27904  df-rag 27945  df-perpg 27947  df-mid 28025  df-lmi 28026
This theorem is referenced by:  lmicom  28039  lmiinv  28043  lmimid  28045  lmiisolem  28047  hypcgrlem1  28050  hypcgrlem2  28051  lmiopp  28053  trgcopyeulem  28056
  Copyright terms: Public domain W3C validator