MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  angpined Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem angpined 26888
Description: If the angle at ABC is π, then 𝐴 is not equal to 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
angpieqvd.angdef 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
angpieqvd.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvd.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvd.C (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvd.AneB (𝜑𝐴𝐵)
angpieqvd.BneC (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
angpined (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π → 𝐴𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem angpined
StepHypRef Expression
1 angpieqvd.angdef . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
2 angpieqvd.A . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 angpieqvd.B . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 angpieqvd.C . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 angpieqvd.AneB . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
6 angpieqvd.BneC . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6angpieqvdlem2 26887 . 2 (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
8 1rp 13036 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
9 1re 11259 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
10 ax-1ne0 11222 . . . . . . 7 1 ≠ 0
11 rpneg 13065 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 0) → (1 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -1 ∈ ℝ+))
129, 10, 11mp2an 692 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -1 ∈ ℝ+)
138, 12mpbi 230 . . . . 5 ¬ -1 ∈ ℝ+
142, 3subcld 11618 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
162, 3, 5subne0d 11627 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐴𝐵) ≠ 0)
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
1918oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → (𝐶𝐵) = (𝐴𝐵))
2015, 17, 19diveq1bd 12089 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 = 𝐴) → ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) = 1)
2120adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 = 𝐴) → ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) = 1)
2221negeqd 11500 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 = 𝐴) → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) = -1)
23 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 = 𝐴) → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+)
2422, 23eqeltrrd 2840 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 = 𝐴) → -1 ∈ ℝ+)
2524ex 412 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+) → (𝐶 = 𝐴 → -1 ∈ ℝ+))
2625necon3bd 2952 . . . . 5 ((𝜑 ∧ -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+) → (¬ -1 ∈ ℝ+𝐶𝐴))
2713, 26mpi 20 . . . 4 ((𝜑 ∧ -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+) → 𝐶𝐴)
2827ex 412 . . 3 (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+𝐶𝐴))
29 necom 2992 . . 3 (𝐶𝐴𝐴𝐶)
3028, 29imbitrdi 251 . 2 (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+𝐴𝐶))
317, 30sylbird 260 1 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  +crp 13032  cim 15134  πcpi 16099  logclog 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613
This theorem is referenced by:  angpieqvd  26889
  Copyright terms: Public domain W3C validator