Theorem rprecred 13215

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rprecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpreccld 13214	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13204	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   / cdiv 12013  ℝ⁺crp 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-rp 13161

This theorem is used by:  xov1plusxeqvd  13669  ltexp2r  14356  expnlbnd2  14419  rlimno1  15865  lebnumii  25342  sca2rab  25888  aalioulem4  26719  aalioulem5  26720  dvradcnv  26805  tanregt0  26924  divlogrlim  27020  logccv  27048  cxplt3  27085  asinlem3  27256  rlimcxp  27358  cxp2lim  27361  divsqrtsumlem  27364  logdiflbnd  27379  lgamgulmlem2  27414  lgamgulmlem3  27415  basellem3  27467  dchrisum0lema  27898  dchrisum0lem1  27900  dchrisum0lem2a  27901  mulog2sumlem1  27918  vmalogdivsum2  27922  pntrlog2bndlem2  27962  pntlemd  27978  pntlemr  27986  ostth3  28022  nmcexi  32685  knoppndvlem18  37610  knoppndvlem20  37612  irrapxlem4  44098  irrapxlem5  44099  ioodvbdlimc1lem2  47215  ioodvbdlimc2lem  47217  stoweidlem14  47297  fourierdlem39  47429  pimrecltpos  47991  smfrec  48072