Theorem rprecred 12712

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rprecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpreccld 12711	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12701	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   / cdiv 11562  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13159  ltexp2r  13819  expnlbnd2  13877  rlimno1  15293  lebnumii  24035  sca2rab  24581  aalioulem4  25400  aalioulem5  25401  dvradcnv  25485  tanregt0  25600  divlogrlim  25695  logccv  25723  cxplt3  25760  asinlem3  25926  rlimcxp  26028  cxp2lim  26031  divsqrtsumlem  26034  logdiflbnd  26049  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  basellem3  26137  dchrisum0lema  26567  dchrisum0lem1  26569  dchrisum0lem2a  26570  mulog2sumlem1  26587  vmalogdivsum2  26591  pntrlog2bndlem2  26631  pntlemd  26647  pntlemr  26655  ostth3  26691  nmcexi  30289  knoppndvlem18  34636  knoppndvlem20  34638  irrapxlem4  40563  irrapxlem5  40564  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  stoweidlem14  43445  fourierdlem39  43577  pimrecltpos  44133  smfrec  44210