Theorem rprecred 13067

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rprecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpreccld 13066	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13056	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  1c1 11135   / cdiv 11899  ℝ⁺crp 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-rp 13014

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13520  ltexp2r  14196  expnlbnd2  14257  rlimno1  15675  lebnumii  24921  sca2rab  25470  aalioulem4  26300  aalioulem5  26301  dvradcnv  26387  tanregt0  26505  divlogrlim  26601  logccv  26629  cxplt3  26666  asinlem3  26838  rlimcxp  26941  cxp2lim  26944  divsqrtsumlem  26947  logdiflbnd  26962  lgamgulmlem2  26997  lgamgulmlem3  26998  basellem3  27050  dchrisum0lema  27482  dchrisum0lem1  27484  dchrisum0lem2a  27485  mulog2sumlem1  27502  vmalogdivsum2  27506  pntrlog2bndlem2  27546  pntlemd  27562  pntlemr  27570  ostth3  27606  nmcexi  32012  knoppndvlem18  36552  knoppndvlem20  36554  irrapxlem4  42815  irrapxlem5  42816  ioodvbdlimc1lem2  45928  ioodvbdlimc2lem  45930  stoweidlem14  46010  fourierdlem39  46142  pimrecltpos  46704  smfrec  46785