Theorem rprecred 12999

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rprecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpreccld 12998	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12988	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7369  ℝcr 11039  1c1 11041   / cdiv 11809  ℝ⁺crp 12944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-div 11810  df-rp 12945

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13453  ltexp2r  14137  expnlbnd2  14198  rlimno1  15618  lebnumii  24935  sca2rab  25481  aalioulem4  26303  aalioulem5  26304  dvradcnv  26388  tanregt0  26505  divlogrlim  26601  logccv  26629  cxplt3  26666  asinlem3  26837  rlimcxp  26939  cxp2lim  26942  divsqrtsumlem  26945  logdiflbnd  26960  lgamgulmlem2  26995  lgamgulmlem3  26996  basellem3  27048  dchrisum0lema  27479  dchrisum0lem1  27481  dchrisum0lem2a  27482  mulog2sumlem1  27499  vmalogdivsum2  27503  pntrlog2bndlem2  27543  pntlemd  27559  pntlemr  27567  ostth3  27603  nmcexi  32099  knoppndvlem18  36791  knoppndvlem20  36793  irrapxlem4  43255  irrapxlem5  43256  ioodvbdlimc1lem2  46362  ioodvbdlimc2lem  46364  stoweidlem14  46444  fourierdlem39  46576  pimrecltpos  47138  smfrec  47219