Theorem rprecred 13075

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rprecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpreccld 13074	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13064	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  1c1 11150   / cdiv 11912  ℝ⁺crp 13022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-rp 13023

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13523  ltexp2r  14186  expnlbnd2  14246  rlimno1  15653  lebnumii  24980  sca2rab  25529  aalioulem4  26360  aalioulem5  26361  dvradcnv  26447  tanregt0  26563  divlogrlim  26659  logccv  26687  cxplt3  26724  asinlem3  26896  rlimcxp  26999  cxp2lim  27002  divsqrtsumlem  27005  logdiflbnd  27020  lgamgulmlem2  27055  lgamgulmlem3  27056  basellem3  27108  dchrisum0lema  27540  dchrisum0lem1  27542  dchrisum0lem2a  27543  mulog2sumlem1  27560  vmalogdivsum2  27564  pntrlog2bndlem2  27604  pntlemd  27620  pntlemr  27628  ostth3  27664  nmcexi  31956  knoppndvlem18  36245  knoppndvlem20  36247  irrapxlem4  42519  irrapxlem5  42520  ioodvbdlimc1lem2  45589  ioodvbdlimc2lem  45591  stoweidlem14  45671  fourierdlem39  45803  pimrecltpos  46365  smfrec  46446