MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolsca 25464
Description: The Lebesgue outer measure function respects scaling of sets by positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„)
ovolsca.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
ovolsca.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
ovolsca.4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
ovolsca (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) = ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ovolsca
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„)
2 ovolsca.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
3 ovolsca.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
4 ovolsca.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
51, 2, 3, 4ovolscalem2 25463 . 2 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ))
64recnd 11280 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
72rpcnd 13058 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
82rpne0d 13061 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
96, 7, 8divrecd 12031 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) = ((vol*โ€˜๐ด) ยท (1 / ๐ถ)))
10 ssrab2 4077 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด} โІ โ„
113, 10eqsstrdi 4036 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โІ โ„)
122rpreccld 13066 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„+)
131, 2, 3sca2rab 25461 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ ((1 / ๐ถ) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต})
144, 2rerpdivcld 13087 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆˆ โ„)
15 ovollecl 25432 . . . . . 6 ((๐ต โІ โ„ โˆง ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ)) โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1611, 14, 5, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1711, 12, 13, 16ovolscalem2 25463 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ต) / (1 / ๐ถ)))
184, 16, 12lemuldivd 13105 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((vol*โ€˜๐ด) ยท (1 / ๐ถ)) โ‰ค (vol*โ€˜๐ต) โ†” (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ต) / (1 / ๐ถ))))
1917, 18mpbird 256 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) ยท (1 / ๐ถ)) โ‰ค (vol*โ€˜๐ต))
209, 19eqbrtrd 5174 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โ‰ค (vol*โ€˜๐ต))
2116, 14letri3d 11394 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ต) = ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โ†” ((vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆง ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โ‰ค (vol*โ€˜๐ต))))
225, 20, 21mpbir2and 711 1 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) = ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3430   โІ wss 3949   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  1c1 11147   ยท cmul 11151   โ‰ค cle 11287   / cdiv 11909  โ„+crp 13014  vol*covol 25411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-ovol 25413
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator