Theorem ovolsca 24724

Description: The Lebesgue outer measure function respects scaling of sets by positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolsca.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
ovolsca.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ovolsca	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ovolsca

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolsca.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		ovolsca.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		ovolsca.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
4		ovolsca.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	ovolscalem2 24723	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
6	4	recnd 11049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℂ)
7	2	rpcnd 12820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	2	rpne0d 12823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
9	6, 7, 8	divrecd 11800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) = ((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)))
10		ssrab2 4019	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
11	3, 10	eqsstrdi 3980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
12	2	rpreccld 12828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
13	1, 2, 3	sca2rab 24721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})
14	4, 2	rerpdivcld 12849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ)
15		ovollecl 24692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶)) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
16	11, 14, 5, 15	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
17	11, 12, 13, 16	ovolscalem2 24723	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘𝐵) / (1 / 𝐶)))
18	4, 16, 12	lemuldivd 12867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)) ≤ (vol*‘𝐵) ↔ (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘𝐵) / (1 / 𝐶))))
19	17, 18	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)) ≤ (vol*‘𝐵))
20	9, 19	eqbrtrd 5103	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ≤ (vol*‘𝐵))
21	16, 14	letri3d 11163	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ≤ (vol*‘𝐵))))
22	5, 20, 21	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3284   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℝcr 10916  1c1 10918   · cmul 10922   ≤ cle 11056   / cdiv 11678  ℝ⁺crp 12776  vol*covol 24671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-ioo 13129  df-ico 13131  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-exp 13829  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-clim 15242  df-sum 15443  df-ovol 24673

This theorem is referenced by: (None)