Theorem ovolsca 25504

Description: The Lebesgue outer measure function respects scaling of sets by positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolsca.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
ovolsca.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ovolsca	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ovolsca

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolsca.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		ovolsca.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		ovolsca.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
4		ovolsca.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	ovolscalem2 25503	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
6	4	recnd 11168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℂ)
7	2	rpcnd 12983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	2	rpne0d 12986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
9	6, 7, 8	divrecd 11929	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) = ((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)))
10		ssrab2 4014	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
11	3, 10	eqsstrdi 3961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
12	2	rpreccld 12991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
13	1, 2, 3	sca2rab 25501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})
14	4, 2	rerpdivcld 13012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ)
15		ovollecl 25472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶)) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
16	11, 14, 5, 15	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
17	11, 12, 13, 16	ovolscalem2 25503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘𝐵) / (1 / 𝐶)))
18	4, 16, 12	lemuldivd 13030	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)) ≤ (vol*‘𝐵) ↔ (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘𝐵) / (1 / 𝐶))))
19	17, 18	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)) ≤ (vol*‘𝐵))
20	9, 19	eqbrtrd 5097	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ≤ (vol*‘𝐵))
21	16, 14	letri3d 11283	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ≤ (vol*‘𝐵))))
22	5, 20, 21	mpbir2and 720	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  1c1 11034   · cmul 11038   ≤ cle 11175   / cdiv 11802  ℝ⁺crp 12937  vol*covol 25451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-ovol 25453

This theorem is referenced by: (None)