Theorem ovolsca 25863

Description: The Lebesgue outer measure function respects scaling of sets by positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolsca.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
ovolsca.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ovolsca	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ovolsca

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolsca.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		ovolsca.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		ovolsca.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
4		ovolsca.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	ovolscalem2 25862	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
6	4	recnd 11361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℂ)
7	2	rpcnd 13190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	2	rpne0d 13193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
9	6, 7, 8	divrecd 12120	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) = ((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)))
10		ssrab2 4008	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
11	3, 10	eqsstrdi 3957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
12	2	rpreccld 13198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
13	1, 2, 3	sca2rab 25860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})
14	4, 2	rerpdivcld 13219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ)
15		ovollecl 25831	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶)) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
16	11, 14, 5, 15	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
17	11, 12, 13, 16	ovolscalem2 25862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘𝐵) / (1 / 𝐶)))
18	4, 16, 12	lemuldivd 13237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)) ≤ (vol*‘𝐵) ↔ (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘𝐵) / (1 / 𝐶))))
19	17, 18	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)) ≤ (vol*‘𝐵))
20	9, 19	eqbrtrd 5130	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ≤ (vol*‘𝐵))
21	16, 14	letri3d 11476	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ≤ (vol*‘𝐵))))
22	5, 20, 21	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  1c1 11225   · cmul 11229   ≤ cle 11368   / cdiv 11997  ℝ⁺crp 13144  vol*covol 25810

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-ioo 13504  df-ico 13506  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-ovol 25812

This theorem is used by: (None)