MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolsca 25394
Description: The Lebesgue outer measure function respects scaling of sets by positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„)
ovolsca.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
ovolsca.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
ovolsca.4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
ovolsca (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) = ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ovolsca
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ โ„)
2 ovolsca.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
3 ovolsca.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
4 ovolsca.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
51, 2, 3, 4ovolscalem2 25393 . 2 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ))
64recnd 11243 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
72rpcnd 13021 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
82rpne0d 13024 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
96, 7, 8divrecd 11994 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) = ((vol*โ€˜๐ด) ยท (1 / ๐ถ)))
10 ssrab2 4072 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด} โІ โ„
113, 10eqsstrdi 4031 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โІ โ„)
122rpreccld 13029 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„+)
131, 2, 3sca2rab 25391 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ ((1 / ๐ถ) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต})
144, 2rerpdivcld 13050 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆˆ โ„)
15 ovollecl 25362 . . . . . 6 ((๐ต โІ โ„ โˆง ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ)) โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1611, 14, 5, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1711, 12, 13, 16ovolscalem2 25393 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ต) / (1 / ๐ถ)))
184, 16, 12lemuldivd 13068 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((vol*โ€˜๐ด) ยท (1 / ๐ถ)) โ‰ค (vol*โ€˜๐ต) โ†” (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ต) / (1 / ๐ถ))))
1917, 18mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) ยท (1 / ๐ถ)) โ‰ค (vol*โ€˜๐ต))
209, 19eqbrtrd 5163 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โ‰ค (vol*โ€˜๐ต))
2116, 14letri3d 11357 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ต) = ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โ†” ((vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆง ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โ‰ค (vol*โ€˜๐ต))))
225, 20, 21mpbir2and 710 1 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) = ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426   โІ wss 3943   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  1c1 11110   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250   / cdiv 11872  โ„+crp 12977  vol*covol 25341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-ovol 25343
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator