MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolsca 23799
Description: The Lebesgue outer measure function respects scaling of sets by positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
ovolsca.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ovolsca (𝜑 → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ovolsca
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 ovolsca.2 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3 ovolsca.3 . . 3 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
4 ovolsca.4 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
51, 2, 3, 4ovolscalem2 23798 . 2 (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
64recnd 10515 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℂ)
72rpcnd 12283 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
82rpne0d 12286 . . . 4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
96, 7, 8divrecd 11267 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) = ((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)))
10 ssrab2 3977 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
113, 10syl6eqss 3942 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
122rpreccld 12291 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
131, 2, 3sca2rab 23796 . . . . 5 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})
144, 2rerpdivcld 12312 . . . . . 6 (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ)
15 ovollecl 23767 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶)) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
1611, 14, 5, 15syl3anc 1364 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
1711, 12, 13, 16ovolscalem2 23798 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘𝐵) / (1 / 𝐶)))
184, 16, 12lemuldivd 12330 . . . 4 (𝜑 → (((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)) ≤ (vol*‘𝐵) ↔ (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘𝐵) / (1 / 𝐶))))
1917, 18mpbird 258 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)) ≤ (vol*‘𝐵))
209, 19eqbrtrd 4984 . 2 (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ≤ (vol*‘𝐵))
2116, 14letri3d 10629 . 2 (𝜑 → ((vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ≤ (vol*‘𝐵))))
225, 20, 21mpbir2and 709 1 (𝜑 → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1522  wcel 2081  {crab 3109  wss 3859   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cr 10382  1c1 10384   · cmul 10388  cle 10522   / cdiv 11145  +crp 12239  vol*covol 23746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-ovol 23748
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator