Theorem ovolsca 25449

Description: The Lebesgue outer measure function respects scaling of sets by positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolsca.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
ovolsca.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ovolsca	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ovolsca

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolsca.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		ovolsca.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		ovolsca.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
4		ovolsca.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	ovolscalem2 25448	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
6	4	recnd 11178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℂ)
7	2	rpcnd 12973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	2	rpne0d 12976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
9	6, 7, 8	divrecd 11937	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) = ((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)))
10		ssrab2 4039	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
11	3, 10	eqsstrdi 3988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
12	2	rpreccld 12981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
13	1, 2, 3	sca2rab 25446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ ((1 / 𝐶) · 𝑦) ∈ 𝐵})
14	4, 2	rerpdivcld 13002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ)
15		ovollecl 25417	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶)) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
16	11, 14, 5, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
17	11, 12, 13, 16	ovolscalem2 25448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘𝐵) / (1 / 𝐶)))
18	4, 16, 12	lemuldivd 13020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)) ≤ (vol*‘𝐵) ↔ (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘𝐵) / (1 / 𝐶))))
19	17, 18	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) · (1 / 𝐶)) ≤ (vol*‘𝐵))
20	9, 19	eqbrtrd 5124	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ≤ (vol*‘𝐵))
21	16, 14	letri3d 11292	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ≤ (vol*‘𝐵))))
22	5, 20, 21	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘𝐴) / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   · cmul 11049   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  ℝ⁺crp 12927  vol*covol 25396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-ovol 25398

This theorem is referenced by: (None)