MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem10 16820
Description: Lemma for 4sq 16837. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4sqlem5.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
4sqlem5.4 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sqlem10.5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem10 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
21adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
32nnzd 12527 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
4 zsqcl 14035 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
53, 4syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
6 4sqlem5.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
76adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
82nnred 12169 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
98rehalfcld 12401 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„)
109recnd 11184 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚)
1110negnegd 11504 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ --(๐‘€ / 2) = (๐‘€ / 2))
12 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
136, 1, 124sqlem5 16815 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1413adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1514simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
1615zred 12608 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
176, 1, 124sqlem6 16816 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘€ / 2) โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐‘€ / 2)))
1817adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (-(๐‘€ / 2) โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐‘€ / 2)))
1918simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต < (๐‘€ / 2))
2016, 19ltned 11292 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โ‰  (๐‘€ / 2))
2120neneqd 2949 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ยฌ ๐ต = (๐‘€ / 2))
22 2cnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2322sqvald 14049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (2โ†‘2) = (2 ยท 2))
2423oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / (2โ†‘2)) = ((๐‘€โ†‘2) / (2 ยท 2)))
252nncnd 12170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
26 2ne0 12258 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โ‰  0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ 2 โ‰  0)
2825, 22, 27sqdivd 14065 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) / (2โ†‘2)))
2925sqcld 14050 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3029, 22, 22, 27, 27divdiv1d 11963 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) = ((๐‘€โ†‘2) / (2 ยท 2)))
3124, 28, 303eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
3229halfcld 12399 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
3332halfcld 12399 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆˆ โ„‚)
3415zcnd 12609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3534sqcld 14050 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
36 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0)
3733, 35, 36subeq0d 11521 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) = (๐ตโ†‘2))
3831, 37eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ตโ†‘2) = ((๐‘€ / 2)โ†‘2))
39 sqeqor 14121 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘2) = ((๐‘€ / 2)โ†‘2) โ†” (๐ต = (๐‘€ / 2) โˆจ ๐ต = -(๐‘€ / 2))))
4034, 10, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ตโ†‘2) = ((๐‘€ / 2)โ†‘2) โ†” (๐ต = (๐‘€ / 2) โˆจ ๐ต = -(๐‘€ / 2))))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ต = (๐‘€ / 2) โˆจ ๐ต = -(๐‘€ / 2)))
4241ord 863 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (ยฌ ๐ต = (๐‘€ / 2) โ†’ ๐ต = -(๐‘€ / 2)))
4321, 42mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต = -(๐‘€ / 2))
4443, 15eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ -(๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
4544znegcld 12610 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ --(๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
4611, 45eqeltrrd 2839 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
477, 46zaddcld 12612 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค)
48 zsqcl 14035 . . . 4 ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4947, 48syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5047, 3zmulcld 12614 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
5147zred 12608 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„)
522nnrpd 12956 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
5351, 52modcld 13781 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
5453recnd 11184 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
55 0cnd 11149 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
56 df-neg 11389 . . . . . . 7 -(๐‘€ / 2) = (0 โˆ’ (๐‘€ / 2))
5743, 12, 563eqtr3g 2800 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) = (0 โˆ’ (๐‘€ / 2)))
5854, 55, 10, 57subcan2d 11555 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) = 0)
59 dvdsval3 16141 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) = 0))
602, 47, 59syl2anc 585 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) = 0))
6158, 60mpbird 257 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)))
62 dvdssq 16444 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2)))
633, 47, 62syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2)))
6461, 63mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2))
6525sqvald 14049 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
662nnne0d 12204 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
67 dvdsmulcr 16169 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2))))
683, 47, 3, 66, 67syl112anc 1375 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2))))
6961, 68mpbird 257 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€))
7065, 69eqbrtrd 5128 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€))
715, 49, 50, 64, 70dvds2subd 16176 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ (((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)))
7247zcnd 12609 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„‚)
7372sqvald 14049 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด + (๐‘€ / 2))))
7473oveq1d 7373 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)) = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด + (๐‘€ / 2))) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)))
7572, 72, 25subdid 11612 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€)) = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด + (๐‘€ / 2))) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)))
76252halvesd 12400 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ / 2) + (๐‘€ / 2)) = ๐‘€)
7776oveq2d 7374 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐‘€ / 2) + (๐‘€ / 2))) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€))
787zcnd 12609 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7978, 10, 10pnpcan2d 11551 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐‘€ / 2) + (๐‘€ / 2))) = (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2)))
8077, 79eqtr3d 2779 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€) = (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2)))
8180oveq2d 7374 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€)) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2))))
82 subsq 14115 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2)) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2))))
8378, 10, 82syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2)) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2))))
8431oveq2d 7374 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8581, 83, 843eqtr2d 2783 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8674, 75, 853eqtr2d 2783 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8771, 86breqtrd 5132 1 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386  -cneg 11387   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„คcz 12500   mod cmo 13775  โ†‘cexp 13968   โˆฅ cdvds 16137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16833
  Copyright terms: Public domain W3C validator