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Theorem 4sqlem10 16980
Description: Lemma for 4sq 16997. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem10.5 ((𝜑𝜓) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐵↑2)) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem10 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 12637 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 zsqcl 14165 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
6 4sqlem5.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
82nnred 12278 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ)
98rehalfcld 12510 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
109recnd 11286 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
1110negnegd 11608 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → --(𝑀 / 2) = (𝑀 / 2))
12 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
136, 1, 124sqlem5 16975 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
1514simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℤ)
1615zred 12719 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℝ)
176, 1, 124sqlem6 16976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1918simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐵 < (𝑀 / 2))
2016, 19ltned 11394 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ≠ (𝑀 / 2))
2120neneqd 2942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝐵 = (𝑀 / 2))
22 2cnd 12341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 2 ∈ ℂ)
2322sqvald 14179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (2↑2) = (2 · 2))
2423oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
252nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℂ)
26 2ne0 12367 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 2 ≠ 0)
2825, 22, 27sqdivd 14195 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
2925sqcld 14180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
3029, 22, 22, 27, 27divdiv1d 12071 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
3124, 28, 303eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
3229halfcld 12508 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
3332halfcld 12508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
3415zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℂ)
3534sqcld 14180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐵↑2)) = 0)
3733, 35, 36subeq0d 11625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐵↑2))
3831, 37eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2))
39 sqeqor 14251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2) ↔ (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2))))
4034, 10, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → ((𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2) ↔ (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2))))
4138, 40mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2)))
4241ord 864 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (¬ 𝐵 = (𝑀 / 2) → 𝐵 = -(𝑀 / 2)))
4321, 42mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝐵 = -(𝑀 / 2))
4443, 15eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → -(𝑀 / 2) ∈ ℤ)
4544znegcld 12721 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → --(𝑀 / 2) ∈ ℤ)
4611, 45eqeltrrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
477, 46zaddcld 12723 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
48 zsqcl 14165 . . . 4 ((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ)
4947, 48syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ)
5047, 3zmulcld 12725 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ∈ ℤ)
5147zred 12719 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
522nnrpd 13072 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ+)
5351, 52modcld 13911 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
5453recnd 11286 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
55 0cnd 11251 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℂ)
56 df-neg 11492 . . . . . . 7 -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
5743, 12, 563eqtr3g 2797 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (0 − (𝑀 / 2)))
5854, 55, 10, 57subcan2d 11659 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0)
59 dvdsval3 16290 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0))
602, 47, 59syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0))
6158, 60mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)))
62 dvdssq 16600 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2)))
633, 47, 62syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2)))
6461, 63mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2))
6525sqvald 14179 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
662nnne0d 12313 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ≠ 0)
67 dvdsmulcr 16319 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2))))
683, 47, 3, 66, 67syl112anc 1373 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2))))
6961, 68mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))
7065, 69eqbrtrd 5169 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))
715, 49, 50, 64, 70dvds2subd 16326 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
7247zcnd 12720 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
7372sqvald 14179 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))))
7473oveq1d 7445 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
7572, 72, 25subdid 11716 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
76252halvesd 12509 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
7776oveq2d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀))
787zcnd 12720 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
7978, 10, 10pnpcan2d 11655 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))) = (𝐴 − (𝑀 / 2)))
8077, 79eqtr3d 2776 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀) = (𝐴 − (𝑀 / 2)))
8180oveq2d 7446 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
82 subsq 14245 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
8378, 10, 82syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
8431oveq2d 7446 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8581, 83, 843eqtr2d 2780 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8674, 75, 853eqtr2d 2780 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8771, 86breqtrd 5173 1 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  cz 12610   mod cmo 13905  cexp 14098  cdvds 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16993
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