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Theorem 4sqlem10 16875
Description: Lemma for 4sq 16892. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem10.5 ((𝜑𝜓) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐵↑2)) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem10 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 12580 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 zsqcl 14089 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
6 4sqlem5.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
82nnred 12222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ)
98rehalfcld 12454 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
109recnd 11237 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
1110negnegd 11557 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → --(𝑀 / 2) = (𝑀 / 2))
12 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
136, 1, 124sqlem5 16870 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
1413adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
1514simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℤ)
1615zred 12661 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℝ)
176, 1, 124sqlem6 16871 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1817adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1918simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐵 < (𝑀 / 2))
2016, 19ltned 11345 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ≠ (𝑀 / 2))
2120neneqd 2946 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝐵 = (𝑀 / 2))
22 2cnd 12285 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 2 ∈ ℂ)
2322sqvald 14103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (2↑2) = (2 · 2))
2423oveq2d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
252nncnd 12223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℂ)
26 2ne0 12311 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 2 ≠ 0)
2825, 22, 27sqdivd 14119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
2925sqcld 14104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
3029, 22, 22, 27, 27divdiv1d 12016 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
3124, 28, 303eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
3229halfcld 12452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
3332halfcld 12452 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
3415zcnd 12662 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℂ)
3534sqcld 14104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐵↑2)) = 0)
3733, 35, 36subeq0d 11574 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐵↑2))
3831, 37eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2))
39 sqeqor 14175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2) ↔ (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2))))
4034, 10, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → ((𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2) ↔ (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2))))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2)))
4241ord 863 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (¬ 𝐵 = (𝑀 / 2) → 𝐵 = -(𝑀 / 2)))
4321, 42mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝐵 = -(𝑀 / 2))
4443, 15eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → -(𝑀 / 2) ∈ ℤ)
4544znegcld 12663 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → --(𝑀 / 2) ∈ ℤ)
4611, 45eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
477, 46zaddcld 12665 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
48 zsqcl 14089 . . . 4 ((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ)
4947, 48syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ)
5047, 3zmulcld 12667 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ∈ ℤ)
5147zred 12661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
522nnrpd 13009 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ+)
5351, 52modcld 13835 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
5453recnd 11237 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
55 0cnd 11202 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℂ)
56 df-neg 11442 . . . . . . 7 -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
5743, 12, 563eqtr3g 2796 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (0 − (𝑀 / 2)))
5854, 55, 10, 57subcan2d 11608 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0)
59 dvdsval3 16196 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0))
602, 47, 59syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0))
6158, 60mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)))
62 dvdssq 16499 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2)))
633, 47, 62syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2)))
6461, 63mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2))
6525sqvald 14103 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
662nnne0d 12257 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ≠ 0)
67 dvdsmulcr 16224 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2))))
683, 47, 3, 66, 67syl112anc 1375 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2))))
6961, 68mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))
7065, 69eqbrtrd 5168 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))
715, 49, 50, 64, 70dvds2subd 16231 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
7247zcnd 12662 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
7372sqvald 14103 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))))
7473oveq1d 7418 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
7572, 72, 25subdid 11665 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
76252halvesd 12453 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
7776oveq2d 7419 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀))
787zcnd 12662 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
7978, 10, 10pnpcan2d 11604 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))) = (𝐴 − (𝑀 / 2)))
8077, 79eqtr3d 2775 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀) = (𝐴 − (𝑀 / 2)))
8180oveq2d 7419 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
82 subsq 14169 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
8378, 10, 82syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
8431oveq2d 7419 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8581, 83, 843eqtr2d 2779 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8674, 75, 853eqtr2d 2779 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8771, 86breqtrd 5172 1 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5146  (class class class)co 7403  cc 11103  0cc0 11105   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11243  cle 11244  cmin 11439  -cneg 11440   / cdiv 11866  cn 12207  2c2 12262  cz 12553   mod cmo 13829  cexp 14022  cdvds 16192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-fl 13752  df-mod 13830  df-seq 13962  df-exp 14023  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16193  df-gcd 16431
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16888
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