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Theorem 4sqlem10 16819
Description: Lemma for 4sq 16836. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem10.5 ((𝜑𝜓) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐵↑2)) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem10 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 12526 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 zsqcl 14034 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
6 4sqlem5.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
82nnred 12168 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ)
98rehalfcld 12400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
109recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
1110negnegd 11503 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → --(𝑀 / 2) = (𝑀 / 2))
12 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
136, 1, 124sqlem5 16814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
1514simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℤ)
1615zred 12607 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℝ)
176, 1, 124sqlem6 16815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1918simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐵 < (𝑀 / 2))
2016, 19ltned 11291 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ≠ (𝑀 / 2))
2120neneqd 2948 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝐵 = (𝑀 / 2))
22 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 2 ∈ ℂ)
2322sqvald 14048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (2↑2) = (2 · 2))
2423oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
252nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℂ)
26 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 2 ≠ 0)
2825, 22, 27sqdivd 14064 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
2925sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
3029, 22, 22, 27, 27divdiv1d 11962 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
3124, 28, 303eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
3229halfcld 12398 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
3332halfcld 12398 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
3415zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℂ)
3534sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐵↑2)) = 0)
3733, 35, 36subeq0d 11520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐵↑2))
3831, 37eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2))
39 sqeqor 14120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2) ↔ (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2))))
4034, 10, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → ((𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2) ↔ (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2))))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2)))
4241ord 862 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (¬ 𝐵 = (𝑀 / 2) → 𝐵 = -(𝑀 / 2)))
4321, 42mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝐵 = -(𝑀 / 2))
4443, 15eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → -(𝑀 / 2) ∈ ℤ)
4544znegcld 12609 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → --(𝑀 / 2) ∈ ℤ)
4611, 45eqeltrrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
477, 46zaddcld 12611 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
48 zsqcl 14034 . . . 4 ((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ)
4947, 48syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ)
5047, 3zmulcld 12613 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ∈ ℤ)
5147zred 12607 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
522nnrpd 12955 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ+)
5351, 52modcld 13780 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
5453recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
55 0cnd 11148 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℂ)
56 df-neg 11388 . . . . . . 7 -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
5743, 12, 563eqtr3g 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (0 − (𝑀 / 2)))
5854, 55, 10, 57subcan2d 11554 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0)
59 dvdsval3 16140 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0))
602, 47, 59syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0))
6158, 60mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)))
62 dvdssq 16443 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2)))
633, 47, 62syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2)))
6461, 63mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2))
6525sqvald 14048 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
662nnne0d 12203 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ≠ 0)
67 dvdsmulcr 16168 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2))))
683, 47, 3, 66, 67syl112anc 1374 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2))))
6961, 68mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))
7065, 69eqbrtrd 5127 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))
715, 49, 50, 64, 70dvds2subd 16175 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
7247zcnd 12608 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
7372sqvald 14048 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))))
7473oveq1d 7372 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
7572, 72, 25subdid 11611 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
76252halvesd 12399 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
7776oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀))
787zcnd 12608 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
7978, 10, 10pnpcan2d 11550 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))) = (𝐴 − (𝑀 / 2)))
8077, 79eqtr3d 2778 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀) = (𝐴 − (𝑀 / 2)))
8180oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
82 subsq 14114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
8378, 10, 82syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
8431oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8581, 83, 843eqtr2d 2782 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8674, 75, 853eqtr2d 2782 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8771, 86breqtrd 5131 1 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cz 12499   mod cmo 13774  cexp 13967  cdvds 16136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16832
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