MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem10 16884
Description: Lemma for 4sq 16901. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4sqlem5.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
4sqlem5.4 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sqlem10.5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem10 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
21adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
32nnzd 12589 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
4 zsqcl 14098 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
53, 4syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
6 4sqlem5.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
76adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
82nnred 12231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
98rehalfcld 12463 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„)
109recnd 11246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚)
1110negnegd 11566 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ --(๐‘€ / 2) = (๐‘€ / 2))
12 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
136, 1, 124sqlem5 16879 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1413adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1514simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
1615zred 12670 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
176, 1, 124sqlem6 16880 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘€ / 2) โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐‘€ / 2)))
1817adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (-(๐‘€ / 2) โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐‘€ / 2)))
1918simprd 494 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต < (๐‘€ / 2))
2016, 19ltned 11354 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โ‰  (๐‘€ / 2))
2120neneqd 2943 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ยฌ ๐ต = (๐‘€ / 2))
22 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2322sqvald 14112 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (2โ†‘2) = (2 ยท 2))
2423oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / (2โ†‘2)) = ((๐‘€โ†‘2) / (2 ยท 2)))
252nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
26 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โ‰  0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ 2 โ‰  0)
2825, 22, 27sqdivd 14128 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) / (2โ†‘2)))
2925sqcld 14113 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3029, 22, 22, 27, 27divdiv1d 12025 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) = ((๐‘€โ†‘2) / (2 ยท 2)))
3124, 28, 303eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
3229halfcld 12461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
3332halfcld 12461 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆˆ โ„‚)
3415zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3534sqcld 14113 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
36 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0)
3733, 35, 36subeq0d 11583 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) = (๐ตโ†‘2))
3831, 37eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ตโ†‘2) = ((๐‘€ / 2)โ†‘2))
39 sqeqor 14184 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘2) = ((๐‘€ / 2)โ†‘2) โ†” (๐ต = (๐‘€ / 2) โˆจ ๐ต = -(๐‘€ / 2))))
4034, 10, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ตโ†‘2) = ((๐‘€ / 2)โ†‘2) โ†” (๐ต = (๐‘€ / 2) โˆจ ๐ต = -(๐‘€ / 2))))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ต = (๐‘€ / 2) โˆจ ๐ต = -(๐‘€ / 2)))
4241ord 860 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (ยฌ ๐ต = (๐‘€ / 2) โ†’ ๐ต = -(๐‘€ / 2)))
4321, 42mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต = -(๐‘€ / 2))
4443, 15eqeltrrd 2832 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ -(๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
4544znegcld 12672 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ --(๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
4611, 45eqeltrrd 2832 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
477, 46zaddcld 12674 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค)
48 zsqcl 14098 . . . 4 ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4947, 48syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5047, 3zmulcld 12676 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
5147zred 12670 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„)
522nnrpd 13018 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
5351, 52modcld 13844 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
5453recnd 11246 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
55 0cnd 11211 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
56 df-neg 11451 . . . . . . 7 -(๐‘€ / 2) = (0 โˆ’ (๐‘€ / 2))
5743, 12, 563eqtr3g 2793 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) = (0 โˆ’ (๐‘€ / 2)))
5854, 55, 10, 57subcan2d 11617 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) = 0)
59 dvdsval3 16205 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) = 0))
602, 47, 59syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) = 0))
6158, 60mpbird 256 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)))
62 dvdssq 16508 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2)))
633, 47, 62syl2anc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2)))
6461, 63mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2))
6525sqvald 14112 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
662nnne0d 12266 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
67 dvdsmulcr 16233 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2))))
683, 47, 3, 66, 67syl112anc 1372 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2))))
6961, 68mpbird 256 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€))
7065, 69eqbrtrd 5169 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€))
715, 49, 50, 64, 70dvds2subd 16240 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ (((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)))
7247zcnd 12671 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„‚)
7372sqvald 14112 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด + (๐‘€ / 2))))
7473oveq1d 7426 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)) = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด + (๐‘€ / 2))) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)))
7572, 72, 25subdid 11674 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€)) = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด + (๐‘€ / 2))) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)))
76252halvesd 12462 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ / 2) + (๐‘€ / 2)) = ๐‘€)
7776oveq2d 7427 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐‘€ / 2) + (๐‘€ / 2))) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€))
787zcnd 12671 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7978, 10, 10pnpcan2d 11613 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐‘€ / 2) + (๐‘€ / 2))) = (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2)))
8077, 79eqtr3d 2772 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€) = (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2)))
8180oveq2d 7427 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€)) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2))))
82 subsq 14178 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2)) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2))))
8378, 10, 82syl2anc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2)) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2))))
8431oveq2d 7427 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8581, 83, 843eqtr2d 2776 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8674, 75, 853eqtr2d 2776 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8771, 86breqtrd 5173 1 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562   mod cmo 13838  โ†‘cexp 14031   โˆฅ cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16897
  Copyright terms: Public domain W3C validator