MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem10 16925
Description: Lemma for 4sq 16942. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4sqlem5.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
4sqlem5.4 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sqlem10.5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem10 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
21adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
32nnzd 12625 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
4 zsqcl 14135 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
53, 4syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
6 4sqlem5.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
76adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
82nnred 12267 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
98rehalfcld 12499 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„)
109recnd 11282 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚)
1110negnegd 11602 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ --(๐‘€ / 2) = (๐‘€ / 2))
12 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
136, 1, 124sqlem5 16920 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1413adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1514simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
1615zred 12706 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
176, 1, 124sqlem6 16921 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘€ / 2) โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐‘€ / 2)))
1817adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (-(๐‘€ / 2) โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐‘€ / 2)))
1918simprd 494 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต < (๐‘€ / 2))
2016, 19ltned 11390 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โ‰  (๐‘€ / 2))
2120neneqd 2942 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ยฌ ๐ต = (๐‘€ / 2))
22 2cnd 12330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2322sqvald 14149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (2โ†‘2) = (2 ยท 2))
2423oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / (2โ†‘2)) = ((๐‘€โ†‘2) / (2 ยท 2)))
252nncnd 12268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
26 2ne0 12356 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โ‰  0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ 2 โ‰  0)
2825, 22, 27sqdivd 14165 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) / (2โ†‘2)))
2925sqcld 14150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3029, 22, 22, 27, 27divdiv1d 12061 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) = ((๐‘€โ†‘2) / (2 ยท 2)))
3124, 28, 303eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
3229halfcld 12497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
3332halfcld 12497 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆˆ โ„‚)
3415zcnd 12707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3534sqcld 14150 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
36 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0)
3733, 35, 36subeq0d 11619 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) = (๐ตโ†‘2))
3831, 37eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ตโ†‘2) = ((๐‘€ / 2)โ†‘2))
39 sqeqor 14221 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘2) = ((๐‘€ / 2)โ†‘2) โ†” (๐ต = (๐‘€ / 2) โˆจ ๐ต = -(๐‘€ / 2))))
4034, 10, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ตโ†‘2) = ((๐‘€ / 2)โ†‘2) โ†” (๐ต = (๐‘€ / 2) โˆจ ๐ต = -(๐‘€ / 2))))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ต = (๐‘€ / 2) โˆจ ๐ต = -(๐‘€ / 2)))
4241ord 862 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (ยฌ ๐ต = (๐‘€ / 2) โ†’ ๐ต = -(๐‘€ / 2)))
4321, 42mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต = -(๐‘€ / 2))
4443, 15eqeltrrd 2830 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ -(๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
4544znegcld 12708 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ --(๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
4611, 45eqeltrrd 2830 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
477, 46zaddcld 12710 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค)
48 zsqcl 14135 . . . 4 ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4947, 48syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5047, 3zmulcld 12712 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
5147zred 12706 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„)
522nnrpd 13056 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
5351, 52modcld 13882 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
5453recnd 11282 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
55 0cnd 11247 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
56 df-neg 11487 . . . . . . 7 -(๐‘€ / 2) = (0 โˆ’ (๐‘€ / 2))
5743, 12, 563eqtr3g 2791 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) = (0 โˆ’ (๐‘€ / 2)))
5854, 55, 10, 57subcan2d 11653 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) = 0)
59 dvdsval3 16244 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) = 0))
602, 47, 59syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) = 0))
6158, 60mpbird 256 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)))
62 dvdssq 16547 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2)))
633, 47, 62syl2anc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2)))
6461, 63mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2))
6525sqvald 14149 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
662nnne0d 12302 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
67 dvdsmulcr 16272 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2))))
683, 47, 3, 66, 67syl112anc 1371 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2))))
6961, 68mpbird 256 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€))
7065, 69eqbrtrd 5174 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€))
715, 49, 50, 64, 70dvds2subd 16279 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ (((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)))
7247zcnd 12707 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„‚)
7372sqvald 14149 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด + (๐‘€ / 2))))
7473oveq1d 7441 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)) = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด + (๐‘€ / 2))) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)))
7572, 72, 25subdid 11710 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€)) = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด + (๐‘€ / 2))) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)))
76252halvesd 12498 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ / 2) + (๐‘€ / 2)) = ๐‘€)
7776oveq2d 7442 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐‘€ / 2) + (๐‘€ / 2))) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€))
787zcnd 12707 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7978, 10, 10pnpcan2d 11649 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐‘€ / 2) + (๐‘€ / 2))) = (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2)))
8077, 79eqtr3d 2770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€) = (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2)))
8180oveq2d 7442 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€)) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2))))
82 subsq 14215 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2)) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2))))
8378, 10, 82syl2anc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2)) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2))))
8431oveq2d 7442 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8581, 83, 843eqtr2d 2774 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8674, 75, 853eqtr2d 2774 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8771, 86breqtrd 5178 1 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  0cc0 11148   + caddc 11151   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   โˆ’ cmin 11484  -cneg 11485   / cdiv 11911  โ„•cn 12252  2c2 12307  โ„คcz 12598   mod cmo 13876  โ†‘cexp 14068   โˆฅ cdvds 16240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-gcd 16479
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16938
  Copyright terms: Public domain W3C validator