MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem10 16889
Description: Lemma for 4sq 16906. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4sqlem5.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
4sqlem5.4 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
4sqlem10.5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem10 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
21adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
32nnzd 12589 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
4 zsqcl 14099 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
53, 4syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
6 4sqlem5.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
76adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
82nnred 12231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
98rehalfcld 12463 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„)
109recnd 11246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚)
1110negnegd 11566 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ --(๐‘€ / 2) = (๐‘€ / 2))
12 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐ต = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2))
136, 1, 124sqlem5 16884 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1514simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
1615zred 12670 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
176, 1, 124sqlem6 16885 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘€ / 2) โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐‘€ / 2)))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (-(๐‘€ / 2) โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐‘€ / 2)))
1918simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต < (๐‘€ / 2))
2016, 19ltned 11354 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โ‰  (๐‘€ / 2))
2120neneqd 2939 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ยฌ ๐ต = (๐‘€ / 2))
22 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2322sqvald 14113 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (2โ†‘2) = (2 ยท 2))
2423oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / (2โ†‘2)) = ((๐‘€โ†‘2) / (2 ยท 2)))
252nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
26 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โ‰  0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ 2 โ‰  0)
2825, 22, 27sqdivd 14129 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) / (2โ†‘2)))
2925sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3029, 22, 22, 27, 27divdiv1d 12025 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) = ((๐‘€โ†‘2) / (2 ยท 2)))
3124, 28, 303eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2) = (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2))
3229halfcld 12461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
3332halfcld 12461 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆˆ โ„‚)
3415zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3534sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
36 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0)
3733, 35, 36subeq0d 11583 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2) = (๐ตโ†‘2))
3831, 37eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ตโ†‘2) = ((๐‘€ / 2)โ†‘2))
39 sqeqor 14185 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘2) = ((๐‘€ / 2)โ†‘2) โ†” (๐ต = (๐‘€ / 2) โˆจ ๐ต = -(๐‘€ / 2))))
4034, 10, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ตโ†‘2) = ((๐‘€ / 2)โ†‘2) โ†” (๐ต = (๐‘€ / 2) โˆจ ๐ต = -(๐‘€ / 2))))
4138, 40mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ต = (๐‘€ / 2) โˆจ ๐ต = -(๐‘€ / 2)))
4241ord 861 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (ยฌ ๐ต = (๐‘€ / 2) โ†’ ๐ต = -(๐‘€ / 2)))
4321, 42mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ต = -(๐‘€ / 2))
4443, 15eqeltrrd 2828 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ -(๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
4544znegcld 12672 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ --(๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
4611, 45eqeltrrd 2828 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
477, 46zaddcld 12674 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค)
48 zsqcl 14099 . . . 4 ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4947, 48syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
5047, 3zmulcld 12676 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
5147zred 12670 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„)
522nnrpd 13020 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
5351, 52modcld 13846 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
5453recnd 11246 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
55 0cnd 11211 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
56 df-neg 11451 . . . . . . 7 -(๐‘€ / 2) = (0 โˆ’ (๐‘€ / 2))
5743, 12, 563eqtr3g 2789 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) โˆ’ (๐‘€ / 2)) = (0 โˆ’ (๐‘€ / 2)))
5854, 55, 10, 57subcan2d 11617 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) = 0)
59 dvdsval3 16208 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) = 0))
602, 47, 59syl2anc 583 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” ((๐ด + (๐‘€ / 2)) mod ๐‘€) = 0))
6158, 60mpbird 257 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)))
62 dvdssq 16511 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2)))
633, 47, 62syl2anc 583 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โ†” (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2)))
6461, 63mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2))
6525sqvald 14113 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (๐‘€ ยท ๐‘€))
662nnne0d 12266 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
67 dvdsmulcr 16236 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2))))
683, 47, 3, 66, 67syl112anc 1371 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด + (๐‘€ / 2))))
6961, 68mpbird 257 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€))
7065, 69eqbrtrd 5163 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€))
715, 49, 50, 64, 70dvds2subd 16243 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ (((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)))
7247zcnd 12671 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆˆ โ„‚)
7372sqvald 14113 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด + (๐‘€ / 2))))
7473oveq1d 7420 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)) = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด + (๐‘€ / 2))) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)))
7572, 72, 25subdid 11674 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€)) = (((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด + (๐‘€ / 2))) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)))
76252halvesd 12462 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐‘€ / 2) + (๐‘€ / 2)) = ๐‘€)
7776oveq2d 7421 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐‘€ / 2) + (๐‘€ / 2))) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€))
787zcnd 12671 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7978, 10, 10pnpcan2d 11613 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ((๐‘€ / 2) + (๐‘€ / 2))) = (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2)))
8077, 79eqtr3d 2768 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€) = (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2)))
8180oveq2d 7421 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€)) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2))))
82 subsq 14179 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2)) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2))))
8378, 10, 82syl2anc 583 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2)) = ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท (๐ด โˆ’ (๐‘€ / 2))))
8431oveq2d 7421 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((๐‘€ / 2)โ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8581, 83, 843eqtr2d 2772 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ((๐ด + (๐‘€ / 2)) โˆ’ ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8674, 75, 853eqtr2d 2772 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + (๐‘€ / 2))โ†‘2) โˆ’ ((๐ด + (๐‘€ / 2)) ยท ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
8771, 86breqtrd 5167 1 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (((๐‘€โ†‘2) / 2) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562   mod cmo 13840  โ†‘cexp 14032   โˆฅ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16902
  Copyright terms: Public domain W3C validator