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Theorem 4sqlem10 16985
Description: Lemma for 4sq 17002. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sqlem10.5 ((𝜑𝜓) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐵↑2)) = 0)
Assertion
Ref Expression
4sqlem10 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 12640 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 zsqcl 14169 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
6 4sqlem5.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℤ)
82nnred 12281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ)
98rehalfcld 12513 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
109recnd 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
1110negnegd 11611 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → --(𝑀 / 2) = (𝑀 / 2))
12 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
136, 1, 124sqlem5 16980 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
1514simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℤ)
1615zred 12722 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℝ)
176, 1, 124sqlem6 16981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1918simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → 𝐵 < (𝑀 / 2))
2016, 19ltned 11397 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ≠ (𝑀 / 2))
2120neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝐵 = (𝑀 / 2))
22 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜓) → 2 ∈ ℂ)
2322sqvald 14183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (2↑2) = (2 · 2))
2423oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
252nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℂ)
26 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 2 ≠ 0)
2825, 22, 27sqdivd 14199 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
2925sqcld 14184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
3029, 22, 22, 27, 27divdiv1d 12074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
3124, 28, 303eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
3229halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
3332halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
3415zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜓) → 𝐵 ∈ ℂ)
3534sqcld 14184 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜓) → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐵↑2)) = 0)
3733, 35, 36subeq0d 11628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜓) → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = (𝐵↑2))
3831, 37eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → (𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2))
39 sqeqor 14255 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2) ↔ (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2))))
4034, 10, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝜓) → ((𝐵↑2) = ((𝑀 / 2)↑2) ↔ (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2))))
4138, 40mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝜓) → (𝐵 = (𝑀 / 2) ∨ 𝐵 = -(𝑀 / 2)))
4241ord 865 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → (¬ 𝐵 = (𝑀 / 2) → 𝐵 = -(𝑀 / 2)))
4321, 42mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝐵 = -(𝑀 / 2))
4443, 15eqeltrrd 2842 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → -(𝑀 / 2) ∈ ℤ)
4544znegcld 12724 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → --(𝑀 / 2) ∈ ℤ)
4611, 45eqeltrrd 2842 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
477, 46zaddcld 12726 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
48 zsqcl 14169 . . . 4 ((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ)
4947, 48syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) ∈ ℤ)
5047, 3zmulcld 12728 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ∈ ℤ)
5147zred 12722 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
522nnrpd 13075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∈ ℝ+)
5351, 52modcld 13915 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
5453recnd 11289 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
55 0cnd 11254 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 0 ∈ ℂ)
56 df-neg 11495 . . . . . . 7 -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
5743, 12, 563eqtr3g 2800 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) = (0 − (𝑀 / 2)))
5854, 55, 10, 57subcan2d 11662 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0)
59 dvdsval3 16294 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0))
602, 47, 59syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) = 0))
6158, 60mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)))
62 dvdssq 16604 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2)))
633, 47, 62syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ↔ (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2)))
6461, 63mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2))
6525sqvald 14183 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
662nnne0d 12316 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑀 ≠ 0)
67 dvdsmulcr 16323 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2))))
683, 47, 3, 66, 67syl112anc 1376 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 + (𝑀 / 2))))
6961, 68mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑀 · 𝑀) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))
7065, 69eqbrtrd 5165 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀))
715, 49, 50, 64, 70dvds2subd 16330 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
7247zcnd 12723 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
7372sqvald 14183 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))))
7473oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
7572, 72, 25subdid 11719 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 + (𝑀 / 2))) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)))
76252halvesd 12512 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
7776oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀))
787zcnd 12723 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
7978, 10, 10pnpcan2d 11658 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))) = (𝐴 − (𝑀 / 2)))
8077, 79eqtr3d 2779 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀) = (𝐴 − (𝑀 / 2)))
8180oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
82 subsq 14249 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
8378, 10, 82syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · (𝐴 − (𝑀 / 2))))
8431oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ((𝐴↑2) − ((𝑀 / 2)↑2)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8581, 83, 843eqtr2d 2783 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − 𝑀)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8674, 75, 853eqtr2d 2783 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + (𝑀 / 2))↑2) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) · 𝑀)) = ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
8771, 86breqtrd 5169 1 ((𝜑𝜓) → (𝑀↑2) ∥ ((𝐴↑2) − (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613   mod cmo 13909  cexp 14102  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532
This theorem is referenced by:  4sqlem16  16998
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