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Theorem 2sqmod 26119
 Description: Given two decompositions of a prime as a sum of two squares, show that they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqmod.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2sqmod.2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2sqmod.3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
2sqmod.4 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
2sqmod.5 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
2sqmod.6 (𝜑𝐴𝐵)
2sqmod.7 (𝜑𝐶𝐷)
2sqmod.8 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
2sqmod.9 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) = 𝑃)
Assertion
Ref Expression
2sqmod (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem 2sqmod
StepHypRef Expression
1 2sqmod.6 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴𝐵)
3 2sqmod.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
43nn0red 11995 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
54adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
6 2sqmod.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
76nn0red 11995 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
87adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
93nn0ge0d 11997 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
109adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐶)
116nn0ge0d 11997 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
1211adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
133nn0cnd 11996 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413sqcld 13558 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
1514adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
166nn0cnd 11996 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1716sqcld 13558 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
1817adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19 2sqmod.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 11996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2120sqcld 13558 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
22 2sqmod.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
2322nn0cnd 11996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2423sqcld 13558 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
25 2sqmod.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
26 2sqmod.9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) = 𝑃)
2725, 26eqtr4d 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
2821, 17, 14, 24, 27subaddeqd 11093 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
2928adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
3019nn0zd 12124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
313nn0zd 12124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
32 dvdsmul1 15679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
3330, 31, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
3433adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
3520, 13mulcld 10699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
3635adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
3716, 23mulcld 10699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
3837adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
3919nn0red 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4039, 4remulcld 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
4122nn0red 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
427, 41remulcld 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
4340, 42resubcld 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ)
4443recnd 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
4544adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
4643sqge0d 13662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2))
47 2sqmod.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
486nn0zd 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4947, 30, 48, 252sqn0 26117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐴 ≠ 0)
50 elnnne0 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ≠ 0))
5119, 49, 50sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
5222nn0zd 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
5324, 14addcomd 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ((𝐷↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
5453, 26eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝐷↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃)
5547, 52, 31, 542sqn0 26117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐷 ≠ 0)
56 elnnne0 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℕ0𝐷 ≠ 0))
5722, 55, 56sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
5851, 57nnmulcld 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℕ)
5947, 31, 52, 262sqn0 26117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐶 ≠ 0)
60 elnnne0 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐶 ∈ ℕ ↔ (𝐶 ∈ ℕ0𝐶 ≠ 0))
613, 59, 60sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
6217, 21addcomd 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
6362, 25eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = 𝑃)
6447, 48, 30, 632sqn0 26117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐵 ≠ 0)
65 elnnne0 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0))
666, 64, 65sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
6761, 66nnmulcld 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℕ)
6858, 67nnaddcld 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℕ)
6968nnsqcld 13655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ)
7069nnred 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
7143resqcld 13661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℝ)
7270, 71addge02d 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (0 ≤ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
7346, 72mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
7425, 26oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (𝑃 · 𝑃))
75 bhmafibid1 14873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
7639, 7, 4, 41, 75syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
7774, 76eqtr3d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
78 prmz 16071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
7947, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
8079zcnd 12127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
8180sqvald 13557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
8213, 16mulcomd 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
8382oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
8483oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2))
8584oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
8677, 81, 853eqtr4d 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
8773, 86breqtrrd 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2))
8887adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2))
8930, 52zmulcld 12132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
9031, 48zmulcld 12132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
9189, 90zaddcld 12130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
92 dvdssqim 15955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
9379, 91, 92syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
94 zsqcl 13544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
9579, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
96 dvdsle 15711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
9795, 69, 96syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
9893, 97syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
9998imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))
10095zred 12126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
10170, 100letri3d 10820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
102101adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
10388, 99, 102mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2))
10486adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
105103, 104eqtr2d 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))
10670recnd 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
10771recnd 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℂ)
108106, 106, 107subadd2d 11054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
109108adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
110105, 109mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2))
111106subidd 11023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = 0)
112111adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = 0)
113110, 112eqtr3d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) = 0)
11445, 113sqeq0d 13559 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) = 0)
11536, 38, 114subeq0d 11043 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐷))
11634, 115breqtrd 5058 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷))
11747, 30, 48, 252sqcoprm 26118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
118117adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
119 coprmdvds 16049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴𝐷))
12030, 48, 52, 119syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴𝐷))
121120adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴𝐷))
122116, 118, 121mp2and 698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴𝐷)
123 dvdsle 15711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴𝐷𝐴𝐷))
12430, 57, 123syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐴𝐷))
125124adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴𝐷𝐴𝐷))
126122, 125mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴𝐷)
12751nnrpd 12470 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
128127rprege0d 12479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
12922nn0ge0d 11997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
130 le2sq 13549 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
131128, 41, 129, 130syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
132131adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
133126, 132mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2))
13451nnsqcld 13655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
135134nnred 11689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
136 zsqcl 13544 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
13752, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
138137zred 12126 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
139135, 138suble0d 11269 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
140139adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
141133, 140mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0)
14229, 141eqbrtrrd 5056 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0)
143 dvdsmul1 15679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
14448, 52, 143syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
145144adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
146145, 115breqtrrd 5060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶))
14730, 48gcdcomd 15913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
148147, 117eqtr3d 2795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
149148adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
150 coprmdvds 16049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵𝐶))
15148, 30, 31, 150syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵𝐶))
152151adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵𝐶))
153146, 149, 152mp2and 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵𝐶)
154 dvdsle 15711 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵𝐶𝐵𝐶))
15548, 61, 154syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐶𝐵𝐶))
156155adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵𝐶𝐵𝐶))
157153, 156mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵𝐶)
1587, 4, 11, 9le2sqd 13670 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
159158adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
160157, 159mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2))
1614resqcld 13661 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
162 zsqcl 13544 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
16348, 162syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
164163zred 12126 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
165161, 164subge0d 11268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
166165adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
167160, 166mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
168135, 138resubcld 11106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
16928, 168eqeltrrd 2853 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
170 0red 10682 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
171169, 170letri3d 10820 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))))
172171adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))))
173142, 167, 172mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0)
17415, 18, 173subeq0d 11043 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐶↑2) = (𝐵↑2))
1755, 8, 10, 12, 174sq11d 13671 . . . . 5 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 = 𝐵)
1762, 175breqtrrd 5060 . . . 4 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴𝐶)
177 2sqmod.7 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐷)
178177adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶𝐷)
17939adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18041adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
18119nn0ge0d 11997 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
182181adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐴)
183129adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐷)
18421adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
18524adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
186167, 29breqtrrd 5060 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))
187168, 170letri3d 10820 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))))
188187adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))))
189141, 186, 188mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0)
190184, 185, 189subeq0d 11043 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) = (𝐷↑2))
191179, 180, 182, 183, 190sq11d 13671 . . . . 5 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐷)
192178, 191breqtrrd 5060 . . . 4 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶𝐴)
19339, 4letri3d 10820 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐴)))
194193adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐴)))
195176, 192, 194mpbir2and 712 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
19620adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
19713adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℂ)
19816adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
19964adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ≠ 0)
20041adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
2017adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
202129adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐷)
20311adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
20424adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
20517adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
206 prmnn 16070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
20747, 206syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
208207nnne0d 11724 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ≠ 0)
209208neneqd 2956 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑃 = 0)
210209adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ¬ 𝑃 = 0)
21180, 24, 17subdid 11134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = ((𝑃 · (𝐷↑2)) − (𝑃 · (𝐵↑2))))
21280, 24mulcld 10699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃 · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
21321, 24mulcld 10699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
21480, 17mulcld 10699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
21514, 17mulcld 10699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
21617, 24mulcomd 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
21725oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = (𝑃 − (𝐴↑2)))
21821, 17pncan2d 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = (𝐵↑2))
219217, 218eqtr3d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑃 − (𝐴↑2)) = (𝐵↑2))
220219oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
22126oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − (𝐶↑2)) = (𝑃 − (𝐶↑2)))
22214, 24pncan2d 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − (𝐶↑2)) = (𝐷↑2))
223221, 222eqtr3d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑃 − (𝐶↑2)) = (𝐷↑2))
224223oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
225216, 220, 2243eqtr4d 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)))
22680, 21, 24subdird 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝑃 · (𝐷↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))))
22780, 14, 17subdird 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)) = ((𝑃 · (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
228225, 226, 2273eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 · (𝐷↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) = ((𝑃 · (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
229212, 213, 214, 215, 228subeqxfrd 11087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑃 · (𝐷↑2)) − (𝑃 · (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
230211, 229eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
23120, 23sqmuld 13572 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
23213, 16sqmuld 13572 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
233231, 232oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
23420, 23mulcld 10699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
23513, 16mulcld 10699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
236 subsq 13622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
237234, 235, 236syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
238230, 233, 2373eqtr2d 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
239238adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
240234adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
241 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝜑)
242 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵))
243242neqned 2958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵))
24489, 90zsubcld 12131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
245 dvdssqim 15955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
24679, 244, 245syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
247246imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
248247adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
24995adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
250244adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
251234adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
252235adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
253 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵))
254251, 252, 253subne0d 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ≠ 0)
255250, 254znsqcld 13576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ)
256 dvdsle 15711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
257249, 255, 256syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
258257imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) ∧ (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
259241, 243, 248, 258syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
26039, 41remulcld 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
2614, 7remulcld 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
262260, 261resubcld 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
263262resqcld 13661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
26461nnrpd 12470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
265127, 264rpmulcld 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+)
26666nnrpd 12470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
26757nnrpd 12470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
268266, 267rpmulcld 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ+)
269265, 268rpaddcld 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ+)
270 2z 12053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℤ
271270a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
272269, 271rpexpcld 13658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℝ+)
273263, 272ltaddrp2d 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
274 bhmafibid2 14874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
27539, 7, 4, 41, 274syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
27674, 275eqtr3d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
27782oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
278277oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2))
279278oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
280276, 279eqtr4d 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
281273, 280breqtrrd 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃 · 𝑃))
282281, 81breqtrrd 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2))
283241, 282syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2))
284263, 100ltnled 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2) ↔ ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
285241, 284syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ((((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2) ↔ ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
286283, 285mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
287259, 286condan 817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵))
288240, 287subeq0bd 11104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) = 0)
289288oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0))
290234, 235addcld 10698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
291290mul01d 10877 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0) = 0)
292291adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0) = 0)
293239, 289, 2923eqtrd 2797 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
29424, 17subcld 11035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
29580, 294mul0ord 11328 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)))
296295adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)))
297293, 296mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0))
298297ord 861 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (¬ 𝑃 = 0 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0))
299210, 298mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)
300204, 205, 299subeq0d 11043 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) = (𝐵↑2))
301200, 201, 202, 203, 300sq11d 13671 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 = 𝐵)
302301oveq2d 7166 . . . . 5 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐵))
303302, 287eqtr3d 2795 . . . 4 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐵))
304196, 197, 198, 199, 303mulcan2ad 11314 . . 3 ((𝜑𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
305137, 163zsubcld 12131 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
306 dvdsmul1 15679 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))))
30779, 305, 306syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))))
308307, 238breqtrd 5058 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
309 euclemma 16109 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))))
31047, 91, 244, 309syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))))
311308, 310mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
312195, 304, 311mpjaodan 956 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐶)
313312oveq1d 7165 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐶↑2))
314313oveq2d 7166 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 − (𝐴↑2)) = (𝑃 − (𝐶↑2)))
315314, 219, 2233eqtr3d 2801 . . 3 (𝜑 → (𝐵↑2) = (𝐷↑2))
3167, 41, 11, 129, 315sq11d 13671 . 2 (𝜑𝐵 = 𝐷)
317312, 316jca 515 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908  ℕcn 11674  2c2 11729  ℕ0cn0 11934  ℤcz 12020  ↑cexp 13479   ∥ cdvds 15655   gcd cgcd 15893  ℙcprime 16067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-dvds 15656  df-gcd 15894  df-prm 16068 This theorem is referenced by:  2sqmo  26120
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