MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqmod 27320
Description: Given two decompositions of a prime as a sum of two squares, show that they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqmod.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2sqmod.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
2sqmod.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
2sqmod.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
2sqmod.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
2sqmod.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
2sqmod.7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)
2sqmod.8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ๐‘ƒ)
2sqmod.9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) = ๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
2sqmod (๐œ‘ โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))

Proof of Theorem 2sqmod
StepHypRef Expression
1 2sqmod.6 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
21adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
3 2sqmod.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
43nn0red 12534 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
54adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
6 2sqmod.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
76nn0red 12534 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
87adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
93nn0ge0d 12536 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
109adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
116nn0ge0d 12536 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
133nn0cnd 12535 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1413sqcld 14112 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
166nn0cnd 12535 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1716sqcld 14112 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
19 2sqmod.2 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
2019nn0cnd 12535 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2120sqcld 14112 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
22 2sqmod.5 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
2322nn0cnd 12535 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2423sqcld 14112 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
25 2sqmod.8 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ๐‘ƒ)
26 2sqmod.9 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) = ๐‘ƒ)
2725, 26eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
2821, 17, 14, 24, 27subaddeqd 11630 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
2928adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
3019nn0zd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
313nn0zd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
32 dvdsmul1 16226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ถ))
3330, 31, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ถ))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท ๐ถ))
3520, 13mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
3716, 23mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
3919nn0red 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4039, 4remulcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
4122nn0red 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
427, 41remulcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
4340, 42resubcld 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„)
4443recnd 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
4643sqge0d 14105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2))
47 2sqmod.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
486nn0zd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4947, 30, 48, 252sqn0 27318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
50 elnnne0 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ด โˆˆ โ„• โ†” (๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โ‰  0))
5119, 49, 50sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
5222nn0zd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
5324, 14addcomd 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) + (๐ถโ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
5453, 26eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) + (๐ถโ†‘2)) = ๐‘ƒ)
5547, 52, 31, 542sqn0 27318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)
56 elnnne0 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ท โˆˆ โ„• โ†” (๐ท โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰  0))
5722, 55, 56sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
5851, 57nnmulcld 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„•)
5947, 31, 52, 262sqn0 27318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
60 elnnne0 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†” (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โ‰  0))
613, 59, 60sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
6217, 21addcomd 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
6362, 25eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = ๐‘ƒ)
6447, 48, 30, 632sqn0 27318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
65 elnnne0 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ต โˆˆ โ„• โ†” (๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โ‰  0))
666, 64, 65sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
6761, 66nnmulcld 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
6858, 67nnaddcld 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„•)
6968nnsqcld 14210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โˆˆ โ„•)
7069nnred 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โˆˆ โ„)
7143resqcld 14093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) โˆˆ โ„)
7270, 71addge02d 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) โ†” (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โ‰ค ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2))))
7346, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โ‰ค ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
7425, 26oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
75 bhmafibid1 15416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)))
7639, 7, 4, 41, 75syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)))
7774, 76eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) = ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)))
78 prmz 16617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
7947, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8079zcnd 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
8180sqvald 14111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) = (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
8213, 16mulcomd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ถ))
8382oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
8483oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2))
8584oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)) = ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)))
8677, 81, 853eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
8773, 86breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘2))
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘2))
8930, 52zmulcld 12673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
9031, 48zmulcld 12673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
9189, 90zaddcld 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
92 dvdssqim 16501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
9379, 91, 92syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
94 zsqcl 14097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
9579, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
96 dvdsle 16258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
9795, 69, 96syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
9893, 97syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
9998imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2))
10095zred 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„)
10170, 100letri3d 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) = (๐‘ƒโ†‘2) โ†” ((((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘2) โˆง (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2))))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) = (๐‘ƒโ†‘2) โ†” ((((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘2) โˆง (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2))))
10388, 99, 102mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) = (๐‘ƒโ†‘2))
10486adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
105103, 104eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2))
10670recnd 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10771recnd 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
108106, 106, 107subadd2d 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โˆ’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) โ†” ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (((((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โˆ’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) โ†” ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
110105, 109mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โˆ’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2))
111106subidd 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โˆ’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)) = 0)
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โˆ’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)) = 0)
113110, 112eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) = 0)
11445, 113sqeq0d 14113 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) = 0)
11536, 38, 114subeq0d 11580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ท))
11634, 115breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ท))
11747, 30, 48, 252sqcoprm 27319 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
119 coprmdvds 16595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ท) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ด โˆฅ ๐ท))
12030, 48, 52, 119syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ท) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ด โˆฅ ๐ท))
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ท) โˆง (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ†’ ๐ด โˆฅ ๐ท))
122116, 118, 121mp2and 696 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆฅ ๐ท)
123 dvdsle 16258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ท โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ท))
12430, 57, 123syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ท โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ท))
125124adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ท โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ท))
126122, 125mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ท)
12751nnrpd 13017 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
128127rprege0d 13026 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
12922nn0ge0d 12536 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
130 le2sq 14102 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ท โ†” (๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ทโ†‘2)))
131128, 41, 129, 130syl12anc 834 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ท โ†” (๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ทโ†‘2)))
132131adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ท โ†” (๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ทโ†‘2)))
133126, 132mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ทโ†‘2))
13451nnsqcld 14210 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
135134nnred 12228 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
136 zsqcl 14097 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
13752, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
138137zred 12667 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„)
139135, 138suble0d 11806 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” (๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ทโ†‘2)))
140139adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) โ‰ค 0 โ†” (๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ทโ†‘2)))
141133, 140mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) โ‰ค 0)
14229, 141eqbrtrrd 5165 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 0)
143 dvdsmul1 16226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆฅ (๐ต ยท ๐ท))
14448, 52, 143syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆฅ (๐ต ยท ๐ท))
145144adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆฅ (๐ต ยท ๐ท))
146145, 115breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆฅ (๐ด ยท ๐ถ))
14730, 48gcdcomd 16460 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
148147, 117eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ต gcd ๐ด) = 1)
149148adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ต gcd ๐ด) = 1)
150 coprmdvds 16595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต โˆฅ (๐ด ยท ๐ถ) โˆง (๐ต gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐ต โˆฅ ๐ถ))
15148, 30, 31, 150syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆฅ (๐ด ยท ๐ถ) โˆง (๐ต gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐ต โˆฅ ๐ถ))
152151adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ต โˆฅ (๐ด ยท ๐ถ) โˆง (๐ต gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐ต โˆฅ ๐ถ))
153146, 149, 152mp2and 696 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆฅ ๐ถ)
154 dvdsle 16258 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆฅ ๐ถ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ))
15548, 61, 154syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆฅ ๐ถ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ))
156155adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ต โˆฅ ๐ถ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ))
157153, 156mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
1587, 4, 11, 9le2sqd 14223 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โ‰ค ๐ถ โ†” (๐ตโ†‘2) โ‰ค (๐ถโ†‘2)))
159158adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ต โ‰ค ๐ถ โ†” (๐ตโ†‘2) โ‰ค (๐ถโ†‘2)))
160157, 159mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰ค (๐ถโ†‘2))
1614resqcld 14093 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„)
162 zsqcl 14097 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
16348, 162syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
164163zred 12667 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
165161, 164subge0d 11805 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ†” (๐ตโ†‘2) โ‰ค (๐ถโ†‘2)))
166165adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (0 โ‰ค ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ†” (๐ตโ†‘2) โ‰ค (๐ถโ†‘2)))
167160, 166mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))
168135, 138resubcld 11643 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„)
16928, 168eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„)
170 0red 11218 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
171169, 170letri3d 11357 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0 โ†” (((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
172171adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0 โ†” (((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)))))
173142, 167, 172mpbir2and 710 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0)
17415, 18, 173subeq0d 11580 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ถโ†‘2) = (๐ตโ†‘2))
1755, 8, 10, 12, 174sq11d 14224 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ถ = ๐ต)
1762, 175breqtrrd 5169 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ถ)
177 2sqmod.7 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)
178177adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)
17939adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
18041adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
18119nn0ge0d 12536 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
182181adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
183129adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
18421adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
18524adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
186167, 29breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)))
187168, 170letri3d 11357 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) = 0 โ†” (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)))))
188187adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) = 0 โ†” (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)))))
189141, 186, 188mpbir2and 710 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ทโ†‘2)) = 0)
190184, 185, 189subeq0d 11580 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ทโ†‘2))
191179, 180, 182, 183, 190sq11d 14224 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด = ๐ท)
192178, 191breqtrrd 5169 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ด)
19339, 4letri3d 11357 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = ๐ถ โ†” (๐ด โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ด)))
194193adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด = ๐ถ โ†” (๐ด โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ด)))
195176, 192, 194mpbir2and 710 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด = ๐ถ)
19620adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
19713adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
19816adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
19964adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โ‰  0)
20041adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
2017adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
202129adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
20311adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
20424adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ทโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
20517adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
206 prmnn 16616 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
20747, 206syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
208207nnne0d 12263 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
209208neneqd 2939 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ = 0)
210209adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ = 0)
21180, 24, 17subdid 11671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2))) = ((๐‘ƒ ยท (๐ทโ†‘2)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ตโ†‘2))))
21280, 24mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
21321, 24mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
21480, 17mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
21514, 17mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
21617, 24mulcomd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2)) = ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
21725oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ดโ†‘2)) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
21821, 17pncan2d 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (๐ดโ†‘2)) = (๐ตโ†‘2))
219217, 218eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ดโ†‘2)) = (๐ตโ†‘2))
220219oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐ดโ†‘2)) ยท (๐ทโ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2)))
22126oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
22214, 24pncan2d 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = (๐ทโ†‘2))
223221, 222eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = (๐ทโ†‘2))
224223oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ†‘2)) ยท (๐ตโ†‘2)) = ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
225216, 220, 2243eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐ดโ†‘2)) ยท (๐ทโ†‘2)) = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ†‘2)) ยท (๐ตโ†‘2)))
22680, 21, 24subdird 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐ดโ†‘2)) ยท (๐ทโ†‘2)) = ((๐‘ƒ ยท (๐ทโ†‘2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2))))
22780, 14, 17subdird 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ†‘2)) ยท (๐ตโ†‘2)) = ((๐‘ƒ ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
228225, 226, 2273eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ ยท (๐ทโ†‘2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2))) = ((๐‘ƒ ยท (๐ตโ†‘2)) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
229212, 213, 214, 215, 228subeqxfrd 11624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ ยท (๐ทโ†‘2)) โˆ’ (๐‘ƒ ยท (๐ตโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2)) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
230211, 229eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2)) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
23120, 23sqmuld 14126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2)))
23213, 16sqmuld 14126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
233231, 232oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ทโ†‘2)) โˆ’ ((๐ถโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))))
23420, 23mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
23513, 16mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
236 subsq 14177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) ยท ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
237234, 235, 236syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท)โ†‘2) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ต)โ†‘2)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) ยท ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
238230, 233, 2373eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) ยท ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
239238adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐‘ƒ ยท ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) ยท ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
240234adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
241 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โˆง ยฌ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ๐œ‘)
242 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โˆง ยฌ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ยฌ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต))
243242neqned 2941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โˆง ยฌ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โ‰  (๐ถ ยท ๐ต))
24489, 90zsubcld 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
245 dvdssqim 16501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
24679, 244, 245syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
247246imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2))
248247adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โˆง ยฌ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2))
24995adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰  (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
250244adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰  (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
251234adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰  (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
252235adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰  (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
253 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰  (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โ‰  (๐ถ ยท ๐ต))
254251, 252, 253subne0d 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰  (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) โ‰  0)
255250, 254znsqcld 14130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰  (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โˆˆ โ„•)
256 dvdsle 16258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
257249, 255, 256syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰  (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
258257imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰  (๐ถ ยท ๐ต)) โˆง (๐‘ƒโ†‘2) โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2))
259241, 243, 248, 258syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โˆง ยฌ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2))
26039, 41remulcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
2614, 7remulcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
262260, 261resubcld 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
263262resqcld 14093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) โˆˆ โ„)
26461nnrpd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
265127, 264rpmulcld 13035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„+)
26666nnrpd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
26757nnrpd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
268266, 267rpmulcld 13035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„+)
269265, 268rpaddcld 13034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„+)
270 2z 12595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 โˆˆ โ„ค
271270a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
272269, 271rpexpcld 14213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) โˆˆ โ„+)
273263, 272ltaddrp2d 13053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) < ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
274 bhmafibid2 15417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)))
27539, 7, 4, 41, 274syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)))
27674, 275eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) = ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)))
27782oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
278277oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) = (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2))
279278oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)) = ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)))
280276, 279eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) = ((((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
281273, 280breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) < (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
282281, 81breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) < (๐‘ƒโ†‘2))
283241, 282syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โˆง ยฌ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) < (๐‘ƒโ†‘2))
284263, 100ltnled 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) < (๐‘ƒโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
285241, 284syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โˆง ยฌ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ((((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2) < (๐‘ƒโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2)))
286283, 285mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โˆง ยฌ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ยฌ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))โ†‘2))
287259, 286condan 815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ถ ยท ๐ต))
288240, 287subeq0bd 11641 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) = 0)
289288oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) ยท ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) ยท 0))
290234, 235addcld 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
291290mul01d 11414 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) ยท 0) = 0)
292291adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) ยท 0) = 0)
293239, 289, 2923eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐‘ƒ ยท ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2))) = 0)
29424, 17subcld 11572 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
29580, 294mul0ord 11865 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ ยท ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2))) = 0 โ†” (๐‘ƒ = 0 โˆจ ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0)))
296295adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2))) = 0 โ†” (๐‘ƒ = 0 โˆจ ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0)))
297293, 296mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐‘ƒ = 0 โˆจ ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0))
298297ord 861 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ = 0 โ†’ ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0))
299210, 298mpd 15 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) = 0)
300204, 205, 299subeq0d 11580 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ทโ†‘2) = (๐ตโ†‘2))
301200, 201, 202, 203, 300sq11d 14224 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ท = ๐ต)
302301oveq2d 7420 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ด ยท ๐ต))
303302, 287eqtr3d 2768 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ถ ยท ๐ต))
304196, 197, 198, 199, 303mulcan2ad 11851 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด = ๐ถ)
305137, 163zsubcld 12672 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
306 dvdsmul1 16226 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2))))
30779, 305, 306syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (๐ตโ†‘2))))
308307, 238breqtrd 5167 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) ยท ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
309 euclemma 16655 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) ยท ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)))))
31047, 91, 244, 309syl3anc 1368 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) ยท ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)))))
311308, 310mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
312195, 304, 311mpjaodan 955 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ถ)
313312oveq1d 7419 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ถโ†‘2))
314313oveq2d 7420 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐ดโ†‘2)) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
315314, 219, 2233eqtr3d 2774 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) = (๐ทโ†‘2))
3167, 41, 11, 129, 315sq11d 14224 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ๐ท)
317312, 316jca 511 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445  โ„•cn 12213  2c2 12268  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  โ†‘cexp 14030   โˆฅ cdvds 16202   gcd cgcd 16440  โ„™cprime 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614
This theorem is referenced by:  2sqmo  27321
  Copyright terms: Public domain W3C validator