Theorem 2sqmod 26784

Description: Given two decompositions of a prime as a sum of two squares, show that they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sqmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2sqmod.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
2sqmod.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
2sqmod.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2sqmod.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2sqmod.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
2sqmod.8	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
2sqmod.9	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
2sqmod	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem 2sqmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqmod.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
3		2sqmod.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12474	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
6		2sqmod.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12474	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3	nn0ge0d 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
10	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐶)
11	6	nn0ge0d 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
12	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
13	3	nn0cnd 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	sqcld 14049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
16	6	nn0cnd 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19		2sqmod.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	sqcld 14049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
22		2sqmod.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
23	22	nn0cnd 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23	sqcld 14049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
25		2sqmod.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
26		2sqmod.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) = 𝑃)
27	25, 26	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
28	21, 17, 14, 24, 27	subaddeqd 11570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
30	19	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
31	3	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
32		dvdsmul1 16160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
35	20, 13	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
37	16, 23	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
39	19	nn0red 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
40	39, 4	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
41	22	nn0red 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
42	7, 41	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
43	40, 42	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
46	43	sqge0d 14042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2))
47		2sqmod.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
48	6	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
49	47, 30, 48, 25	2sqn0 26782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
50		elnnne0 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≠ 0))
51	19, 49, 50	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
52	22	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
53	24, 14	addcomd 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
54	53, 26	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃)
55	47, 52, 31, 54	2sqn0 26782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
56		elnnne0 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≠ 0))
57	22, 55, 56	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
58	51, 57	nnmulcld 12206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℕ)
59	47, 31, 52, 26	2sqn0 26782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
60		elnnne0 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ ↔ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
61	3, 59, 60	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
62	17, 21	addcomd 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
63	62, 25	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = 𝑃)
64	47, 48, 30, 63	2sqn0 26782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
65		elnnne0 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
66	6, 64, 65	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
67	61, 66	nnmulcld 12206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℕ)
68	58, 67	nnaddcld 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℕ)
69	68	nnsqcld 14147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ)
70	69	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
71	43	resqcld 14030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℝ)
72	70, 71	addge02d 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
73	46, 72	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
74	25, 26	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (𝑃 · 𝑃))
75		bhmafibid1 15350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
76	39, 7, 4, 41, 75	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
77	74, 76	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
78		prmz 16551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
79	47, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
80	79	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
81	80	sqvald 14048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
82	13, 16	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
83	82	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
84	83	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2))
85	84	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
86	77, 81, 85	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
87	73, 86	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2))
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2))
89	30, 52	zmulcld 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
90	31, 48	zmulcld 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
91	89, 90	zaddcld 12611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
92		dvdssqim 16435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
93	79, 91, 92	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
94		zsqcl 14034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
95	79, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
96		dvdsle 16192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
97	95, 69, 96	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
98	93, 97	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
99	98	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))
100	95	zred 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
101	70, 100	letri3d 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
103	88, 99, 102	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2))
104	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
105	103, 104	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))
106	70	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
107	71	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℂ)
108	106, 106, 107	subadd2d 11531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
110	105, 109	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2))
111	106	subidd 11500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = 0)
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = 0)
113	110, 112	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) = 0)
114	45, 113	sqeq0d 14050	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) = 0)
115	36, 38, 114	subeq0d 11520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐷))
116	34, 115	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷))
117	47, 30, 48, 25	2sqcoprm 26783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
119		coprmdvds 16529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∥ 𝐷))
120	30, 48, 52, 119	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∥ 𝐷))
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∥ 𝐷))
122	116, 118, 121	mp2and 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ 𝐷)
123		dvdsle 16192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐷 → 𝐴 ≤ 𝐷))
124	30, 57, 123	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐷 → 𝐴 ≤ 𝐷))
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 ∥ 𝐷 → 𝐴 ≤ 𝐷))
126	122, 125	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐷)
127	51	nnrpd 12955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
128	127	rprege0d 12964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
129	22	nn0ge0d 12476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
130		le2sq 14039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
131	128, 41, 129, 130	syl12anc 835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 ≤ 𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
133	126, 132	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2))
134	51	nnsqcld 14147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
135	134	nnred 12168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
136		zsqcl 14034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
137	52, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
138	137	zred 12607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
139	135, 138	suble0d 11746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
140	139	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
141	133, 140	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0)
142	29, 141	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0)
143		dvdsmul1 16160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
144	48, 52, 143	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
146	145, 115	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶))
147	30, 48	gcdcomd 16394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
148	147, 117	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
150		coprmdvds 16529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵 ∥ 𝐶))
151	48, 30, 31, 150	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵 ∥ 𝐶))
152	151	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵 ∥ 𝐶))
153	146, 149, 152	mp2and 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ 𝐶)
154		dvdsle 16192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
155	48, 61, 154	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∥ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
156	155	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 ∥ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
157	153, 156	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
158	7, 4, 11, 9	le2sqd 14160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
160	157, 159	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2))
161	4	resqcld 14030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
162		zsqcl 14034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
163	48, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
164	163	zred 12607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
165	161, 164	subge0d 11745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
166	165	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
167	160, 166	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
168	135, 138	resubcld 11583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
169	28, 168	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
170		0red 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
171	169, 170	letri3d 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))))
172	171	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))))
173	142, 167, 172	mpbir2and 711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0)
174	15, 18, 173	subeq0d 11520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐶↑2) = (𝐵↑2))
175	5, 8, 10, 12, 174	sq11d 14161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 = 𝐵)
176	2, 175	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐶)
177		2sqmod.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
178	177	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ≤ 𝐷)
179	39	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
180	41	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
181	19	nn0ge0d 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
182	181	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐴)
183	129	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐷)
184	21	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
185	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
186	167, 29	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))
187	168, 170	letri3d 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))))
188	187	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))))
189	141, 186, 188	mpbir2and 711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0)
190	184, 185, 189	subeq0d 11520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) = (𝐷↑2))
191	179, 180, 182, 183, 190	sq11d 14161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐷)
192	178, 191	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ≤ 𝐴)
193	39, 4	letri3d 11297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴)))
194	193	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴)))
195	176, 192, 194	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
196	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
197	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℂ)
198	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
199	64	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ≠ 0)
200	41	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
201	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
202	129	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐷)
203	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
204	24	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
205	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
206		prmnn 16550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
207	47, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
208	207	nnne0d 12203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
209	208	neneqd 2948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 = 0)
210	209	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ¬ 𝑃 = 0)
211	80, 24, 17	subdid 11611	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = ((𝑃 · (𝐷↑2)) − (𝑃 · (𝐵↑2))))
212	80, 24	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
213	21, 24	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
214	80, 17	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
215	14, 17	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
216	17, 24	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
217	25	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = (𝑃 − (𝐴↑2)))
218	21, 17	pncan2d 11514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = (𝐵↑2))
219	217, 218	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴↑2)) = (𝐵↑2))
220	219	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
221	26	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − (𝐶↑2)) = (𝑃 − (𝐶↑2)))
222	14, 24	pncan2d 11514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − (𝐶↑2)) = (𝐷↑2))
223	221, 222	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶↑2)) = (𝐷↑2))
224	223	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
225	216, 220, 224	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)))
226	80, 21, 24	subdird 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝑃 · (𝐷↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))))
227	80, 14, 17	subdird 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)) = ((𝑃 · (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
228	225, 226, 227	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐷↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) = ((𝑃 · (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
229	212, 213, 214, 215, 228	subeqxfrd 11564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐷↑2)) − (𝑃 · (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
230	211, 229	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
231	20, 23	sqmuld 14063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
232	13, 16	sqmuld 14063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
233	231, 232	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
234	20, 23	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
235	13, 16	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
236		subsq 14114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
237	234, 235, 236	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
238	230, 233, 237	3eqtr2d 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
239	238	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
240	234	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
241		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝜑)
242		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵))
243	242	neqned 2950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵))
244	89, 90	zsubcld 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
245		dvdssqim 16435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
246	79, 244, 245	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
247	246	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
248	247	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
249	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
250	244	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
251	234	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
252	235	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
253		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵))
254	251, 252, 253	subne0d 11521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ≠ 0)
255	250, 254	znsqcld 14067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ)
256		dvdsle 16192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
257	249, 255, 256	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
258	257	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) ∧ (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
259	241, 243, 248, 258	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
260	39, 41	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
261	4, 7	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
262	260, 261	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
263	262	resqcld 14030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
264	61	nnrpd 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
265	127, 264	rpmulcld 12973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+)
266	66	nnrpd 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
267	57	nnrpd 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
268	266, 267	rpmulcld 12973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ+)
269	265, 268	rpaddcld 12972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ+)
270		2z 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℤ
271	270	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
272	269, 271	rpexpcld 14150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℝ+)
273	263, 272	ltaddrp2d 12991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
274		bhmafibid2 15351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
275	39, 7, 4, 41, 274	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
276	74, 275	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
277	82	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
278	277	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2))
279	278	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
280	276, 279	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
281	273, 280	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃 · 𝑃))
282	281, 81	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2))
283	241, 282	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2))
284	263, 100	ltnled 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2) ↔ ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
285	241, 284	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ((((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2) ↔ ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
286	283, 285	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
287	259, 286	condan 816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵))
288	240, 287	subeq0bd 11581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) = 0)
289	288	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0))
290	234, 235	addcld 11174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
291	290	mul01d 11354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0) = 0)
292	291	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0) = 0)
293	239, 289, 292	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
294	24, 17	subcld 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
295	80, 294	mul0ord 11805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)))
296	295	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)))
297	293, 296	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0))
298	297	ord 862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (¬ 𝑃 = 0 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0))
299	210, 298	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)
300	204, 205, 299	subeq0d 11520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) = (𝐵↑2))
301	200, 201, 202, 203, 300	sq11d 14161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 = 𝐵)
302	301	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐵))
303	302, 287	eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐵))
304	196, 197, 198, 199, 303	mulcan2ad 11791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
305	137, 163	zsubcld 12612	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
306		dvdsmul1 16160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))))
307	79, 305, 306	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))))
308	307, 238	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
309		euclemma 16589	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))))
310	47, 91, 244, 309	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))))
311	308, 310	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
312	195, 304, 311	mpjaodan 957	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
313	312	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐶↑2))
314	313	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴↑2)) = (𝑃 − (𝐶↑2)))
315	314, 219, 223	3eqtr3d 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) = (𝐷↑2))
316	7, 41, 11, 129, 315	sq11d 14161	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
317	312, 316	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ↑cexp 13967   ∥ cdvds 16136   gcd cgcd 16374  ℙcprime 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548

This theorem is referenced by:  2sqmo  26785