2sqmod - Metamath Proof Explorer

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Theorem 2sqmod 27578

Description: Given two decompositions of a prime as a sum of two squares, show that they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2sqmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ₀)
2sqmod.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ₀)
2sqmod.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ₀)
2sqmod.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ₀)
2sqmod.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2sqmod.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
2sqmod.8	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
2sqmod.9	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) = 𝑃)

**Assertion**
Ref	Expression
2sqmod	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

**Proof of Theorem 2sqmod**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqmod.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
3		2sqmod.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ₀)
4	3	nn0red 12567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
6		2sqmod.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ₀)
7	6	nn0red 12567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3	nn0ge0d 12569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
10	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐶)
11	6	nn0ge0d 12569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
12	11	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
13	3	nn0cnd 12568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	sqcld 14182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
16	6	nn0cnd 12568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
18	17	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19		2sqmod.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ₀)
20	19	nn0cnd 12568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	sqcld 14182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
22		2sqmod.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ₀)
23	22	nn0cnd 12568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23	sqcld 14182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
25		2sqmod.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
26		2sqmod.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) = 𝑃)
27	25, 26	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
28	21, 17, 14, 24, 27	subaddeqd 11630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
29	28	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
30	19	nn0zd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
31	3	nn0zd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
32		dvdsmul1 16336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
33	30, 31, 32	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
35	20, 13	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
36	35	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
37	16, 23	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
39	19	nn0red 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
40	39, 4	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
41	22	nn0red 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
42	7, 41	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
43	40, 42	resubcld 11643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
45	44	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
46	43	sqge0d 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2))
47		2sqmod.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
48	6	nn0zd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
49	47, 30, 48, 25	2sqn0 27576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
50		elnnne0 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐴 ≠ 0))
51	19, 49, 50	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
52	22	nn0zd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
53	24, 14	addcomd 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
54	53, 26	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃)
55	47, 52, 31, 54	2sqn0 27576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
56		elnnne0 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐷 ≠ 0))
57	22, 55, 56	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
58	51, 57	nnmulcld 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℕ)
59	47, 31, 52, 26	2sqn0 27576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
60		elnnne0 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ ↔ (𝐶 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐶 ≠ 0))
61	3, 59, 60	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
62	17, 21	addcomd 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
63	62, 25	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = 𝑃)
64	47, 48, 30, 63	2sqn0 27576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
65		elnnne0 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐵 ≠ 0))
66	6, 64, 65	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
67	61, 66	nnmulcld 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℕ)
68	58, 67	nnaddcld 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℕ)
69	68	nnsqcld 14282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ)
70	69	nnred 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
71	43	resqcld 14163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℝ)
72	70, 71	addge02d 11804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
73	46, 72	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
74	25, 26	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (𝑃 · 𝑃))
75		bhmafibid1 15521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
76	39, 7, 4, 41, 75	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
77	74, 76	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
78		prmz 16734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
79	47, 78	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
80	79	zcnd 12702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
81	80	sqvald 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
82	13, 16	mulcomd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
83	82	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
84	83	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2))
85	84	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
86	77, 81, 85	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
87	73, 86	breqtrrd 5140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2))
88	87	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2))
89	30, 52	zmulcld 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
90	31, 48	zmulcld 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
91	89, 90	zaddcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
92		dvdssqim 16613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
93	79, 91, 92	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
94		zsqcl 14167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
95	79, 94	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
96		dvdsle 16369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
97	95, 69, 96	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
98	93, 97	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
99	98	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))
100	95	zred 12701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
101	70, 100	letri3d 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
102	101	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
103	88, 99, 102	mpbir2and 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2))
104	86	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
105	103, 104	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))
106	70	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
107	71	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℂ)
108	106, 106, 107	subadd2d 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
109	108	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
110	105, 109	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2))
111	106	subidd 11558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = 0)
112	111	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = 0)
113	110, 112	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) = 0)
114	45, 113	sqeq0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) = 0)
115	36, 38, 114	subeq0d 11578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐷))
116	34, 115	breqtrd 5138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷))
117	47, 30, 48, 25	2sqcoprm 27577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
118	117	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
119		coprmdvds 16712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∥ 𝐷))
120	30, 48, 52, 119	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∥ 𝐷))
121	120	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∥ 𝐷))
122	116, 118, 121	mp2and 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ 𝐷)
123		dvdsle 16369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐷 → 𝐴 ≤ 𝐷))
124	30, 57, 123	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐷 → 𝐴 ≤ 𝐷))
125	124	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 ∥ 𝐷 → 𝐴 ≤ 𝐷))
126	122, 125	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐷)
127	51	nnrpd 13059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
128	127	rprege0d 13068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
129	22	nn0ge0d 12569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
130		le2sq 14172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
131	128, 41, 129, 130	syl12anc 849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
132	131	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 ≤ 𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
133	126, 132	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2))
134	51	nnsqcld 14282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
135	134	nnred 12249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
136		zsqcl 14167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
137	52, 136	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
138	137	zred 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
139	135, 138	suble0d 11806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
140	139	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
141	133, 140	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0)
142	29, 141	eqbrtrrd 5136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0)
143		dvdsmul1 16336	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
144	48, 52, 143	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
145	144	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
146	145, 115	breqtrrd 5140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶))
147	30, 48	gcdcomd 16573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
148	147, 117	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
149	148	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
150		coprmdvds 16712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵 ∥ 𝐶))
151	48, 30, 31, 150	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵 ∥ 𝐶))
152	151	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵 ∥ 𝐶))
153	146, 149, 152	mp2and 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ 𝐶)
154		dvdsle 16369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
155	48, 61, 154	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∥ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
156	155	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 ∥ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
157	153, 156	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
158	7, 4, 11, 9	le2sqd 14295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
159	158	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
160	157, 159	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2))
161	4	resqcld 14163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
162		zsqcl 14167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
163	48, 162	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
164	163	zred 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
165	161, 164	subge0d 11805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
166	165	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
167	160, 166	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
168	135, 138	resubcld 11643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
169	28, 168	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
170		0red 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
171	169, 170	letri3d 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))))
172	171	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))))
173	142, 167, 172	mpbir2and 725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0)
174	15, 18, 173	subeq0d 11578	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐶↑2) = (𝐵↑2))
175	5, 8, 10, 12, 174	sq11d 14296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 = 𝐵)
176	2, 175	breqtrrd 5140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐶)
177		2sqmod.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
178	177	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ≤ 𝐷)
179	39	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
180	41	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
181	19	nn0ge0d 12569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
182	181	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐴)
183	129	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐷)
184	21	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
185	24	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
186	167, 29	breqtrrd 5140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))
187	168, 170	letri3d 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))))
188	187	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))))
189	141, 186, 188	mpbir2and 725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0)
190	184, 185, 189	subeq0d 11578	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) = (𝐷↑2))
191	179, 180, 182, 183, 190	sq11d 14296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐷)
192	178, 191	breqtrrd 5140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ≤ 𝐴)
193	39, 4	letri3d 11353	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴)))
194	193	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴)))
195	176, 192, 194	mpbir2and 725	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
196	20	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
197	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℂ)
198	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
199	64	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ≠ 0)
200	41	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
201	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
202	129	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐷)
203	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
204	24	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
205	17	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
206		prmnn 16733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
207	47, 206	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
208	207	nnne0d 12287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
209	208	neneqd 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 = 0)
210	209	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ¬ 𝑃 = 0)
211	80, 24, 17	subdid 11671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = ((𝑃 · (𝐷↑2)) − (𝑃 · (𝐵↑2))))
212	80, 24	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
213	21, 24	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
214	80, 17	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
215	14, 17	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
216	17, 24	mulcomd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
217	25	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = (𝑃 − (𝐴↑2)))
218	21, 17	pncan2d 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = (𝐵↑2))
219	217, 218	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴↑2)) = (𝐵↑2))
220	219	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
221	26	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − (𝐶↑2)) = (𝑃 − (𝐶↑2)))
222	14, 24	pncan2d 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − (𝐶↑2)) = (𝐷↑2))
223	221, 222	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶↑2)) = (𝐷↑2))
224	223	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
225	216, 220, 224	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)))
226	80, 21, 24	subdird 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝑃 · (𝐷↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))))
227	80, 14, 17	subdird 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)) = ((𝑃 · (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
228	225, 226, 227	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐷↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) = ((𝑃 · (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
229	212, 213, 214, 215, 228	subeqxfrd 11624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐷↑2)) − (𝑃 · (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
230	211, 229	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
231	20, 23	sqmuld 14196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
232	13, 16	sqmuld 14196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
233	231, 232	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
234	20, 23	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
235	13, 16	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
236		subsq 14248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
237	234, 235, 236	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
238	230, 233, 237	3eqtr2d 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
239	238	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
240	234	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
241		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝜑)
242		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵))
243	242	neqned 2965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵))
244	89, 90	zsubcld 12706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
245		dvdssqim 16613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
246	79, 244, 245	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
247	246	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
248	247	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
249	95	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
250	244	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
251	234	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
252	235	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
253		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵))
254	251, 252, 253	subne0d 11579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ≠ 0)
255	250, 254	znsqcld 14200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ)
256		dvdsle 16369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
257	249, 255, 256	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
258	257	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) ∧ (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
259	241, 243, 248, 258	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
260	39, 41	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
261	4, 7	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
262	260, 261	resubcld 11643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
263	262	resqcld 14163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
264	61	nnrpd 13059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
265	127, 264	rpmulcld 13077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ⁺)
266	66	nnrpd 13059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
267	57	nnrpd 13059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
268	266, 267	rpmulcld 13077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ⁺)
269	265, 268	rpaddcld 13076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ⁺)
270		2z 12627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℤ
271	270	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
272	269, 271	rpexpcld 14285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℝ⁺)
273	263, 272	ltaddrp2d 13095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
274		bhmafibid2 15522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
275	39, 7, 4, 41, 274	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
276	74, 275	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
277	82	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
278	277	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2))
279	278	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
280	276, 279	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
281	273, 280	breqtrrd 5140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃 · 𝑃))
282	281, 81	breqtrrd 5140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2))
283	241, 282	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2))
284	263, 100	ltnled 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2) ↔ ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
285	241, 284	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ((((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2) ↔ ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
286	283, 285	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
287	259, 286	condan 829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵))
288	240, 287	subeq0bd 11641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) = 0)
289	288	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0))
290	234, 235	addcld 11229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
291	290	mul01d 11410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0) = 0)
292	291	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0) = 0)
293	239, 289, 292	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
294	24, 17	subcld 11570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
295	80, 294	mul0ord 11863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)))
296	295	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)))
297	293, 296	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0))
298	297	ord 877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (¬ 𝑃 = 0 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0))
299	210, 298	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)
300	204, 205, 299	subeq0d 11578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) = (𝐵↑2))
301	200, 201, 202, 203, 300	sq11d 14296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 = 𝐵)
302	301	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐵))
303	302, 287	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐵))
304	196, 197, 198, 199, 303	mulcan2ad 11851	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
305	137, 163	zsubcld 12706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
306		dvdsmul1 16336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))))
307	79, 305, 306	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))))
308	307, 238	breqtrd 5138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
309		euclemma 16773	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))))
310	47, 91, 244, 309	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))))
311	308, 310	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
312	195, 304, 311	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
313	312	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐶↑2))
314	313	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴↑2)) = (𝑃 − (𝐶↑2)))
315	314, 219, 223	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) = (𝐷↑2))
316	7, 41, 11, 129, 315	sq11d 14296	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
317	312, 316	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ wo 860 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 class class class wbr 5110 (class class class)co 7412 ℂcc 11099 ℝcr 11100 0cc0 11101 1c1 11102 + caddc 11104 · cmul 11106 < clt 11244 ≤ cle 11245 − cmin 11442 ℕcn 12234 2c2 12296 ℕ₀cn0 12505 ℤcz 12592 ↑cexp 14099 ∥ cdvds 16311 gcd cgcd 16553 ℙcprime 16730

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-sep 5258 ax-nul 5270 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7734 ax-cnex 11157 ax-resscn 11158 ax-1cn 11159 ax-icn 11160 ax-addcl 11161 ax-addrcl 11162 ax-mulcl 11163 ax-mulrcl 11164 ax-mulcom 11165 ax-addass 11166 ax-mulass 11167 ax-distr 11168 ax-i2m1 11169 ax-1ne0 11170 ax-1rid 11171 ax-rnegex 11172 ax-rrecex 11173 ax-cnre 11174 ax-pre-lttri 11175 ax-pre-lttrn 11176 ax-pre-ltadd 11177 ax-pre-mulgt0 11178 ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3746 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4288 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4874 df-iun 4959 df-br 5111 df-opab 5175 df-mpt 5194 df-tr 5220 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7864 df-2nd 7988 df-frecs 8279 df-wrecs 8310 df-recs 8359 df-rdg 8398 df-1o 8454 df-2o 8455 df-er 8695 df-en 8945 df-dom 8946 df-sdom 8947 df-fin 8948 df-sup 9403 df-inf 9404 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11444 df-neg 11445 df-div 11873 df-nn 12235 df-2 12304 df-3 12305 df-n0 12506 df-z 12593 df-uz 12864 df-rp 13018 df-fl 13827 df-mod 13905 df-seq 14040 df-exp 14100 df-cj 15152 df-re 15153 df-im 15154 df-sqrt 15288 df-abs 15289 df-dvds 16312 df-gcd 16554 df-prm 16731

This theorem is referenced by: 2sqmo 27579

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