Theorem 2sqmod 26020

Description: Given two decompositions of a prime as a sum of two squares, show that they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sqmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2sqmod.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
2sqmod.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
2sqmod.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2sqmod.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2sqmod.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
2sqmod.8	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
2sqmod.9	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
2sqmod	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem 2sqmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqmod.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
3		2sqmod.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 11944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
6		2sqmod.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 11944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3	nn0ge0d 11946	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
10	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐶)
11	6	nn0ge0d 11946	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
12	11	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
13	3	nn0cnd 11945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	sqcld 13504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
15	14	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
16	6	nn0cnd 11945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16	sqcld 13504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
18	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19		2sqmod.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 11945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	sqcld 13504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
22		2sqmod.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
23	22	nn0cnd 11945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23	sqcld 13504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
25		2sqmod.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
26		2sqmod.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) = 𝑃)
27	25, 26	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
28	21, 17, 14, 24, 27	subaddeqd 11044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
29	28	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
30	19	nn0zd 12073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
31	3	nn0zd 12073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
32		dvdsmul1 15623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
33	30, 31, 32	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
34	33	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
35	20, 13	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
36	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
37	16, 23	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
38	37	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
39	19	nn0red 11944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
40	39, 4	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
41	22	nn0red 11944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
42	7, 41	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
43	40, 42	resubcld 11057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
45	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
46	43	sqge0d 13608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2))
47		2sqmod.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
48	6	nn0zd 12073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
49	47, 30, 48, 25	2sqn0 26018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
50		elnnne0 11899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≠ 0))
51	19, 49, 50	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
52	22	nn0zd 12073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
53	24, 14	addcomd 10831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
54	53, 26	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃)
55	47, 52, 31, 54	2sqn0 26018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
56		elnnne0 11899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≠ 0))
57	22, 55, 56	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
58	51, 57	nnmulcld 11678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℕ)
59	47, 31, 52, 26	2sqn0 26018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
60		elnnne0 11899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ ↔ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
61	3, 59, 60	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
62	17, 21	addcomd 10831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
63	62, 25	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = 𝑃)
64	47, 48, 30, 63	2sqn0 26018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
65		elnnne0 11899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
66	6, 64, 65	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
67	61, 66	nnmulcld 11678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℕ)
68	58, 67	nnaddcld 11677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℕ)
69	68	nnsqcld 13601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ)
70	69	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
71	43	resqcld 13607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℝ)
72	70, 71	addge02d 11218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
73	46, 72	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
74	25, 26	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (𝑃 · 𝑃))
75		bhmafibid1 14817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
76	39, 7, 4, 41, 75	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
77	74, 76	eqtr3d 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
78		prmz 16009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
79	47, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
80	79	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
81	80	sqvald 13503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
82	13, 16	mulcomd 10651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
83	82	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
84	83	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2))
85	84	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
86	77, 81, 85	3eqtr4d 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
87	73, 86	breqtrrd 5058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2))
88	87	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2))
89	30, 52	zmulcld 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
90	31, 48	zmulcld 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
91	89, 90	zaddcld 12079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
92		dvdssqim 15894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
93	79, 91, 92	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
94		zsqcl 13490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
95	79, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
96		dvdsle 15652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
97	95, 69, 96	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
98	93, 97	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
99	98	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))
100	95	zred 12075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
101	70, 100	letri3d 10771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
102	101	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
103	88, 99, 102	mpbir2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2))
104	86	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
105	103, 104	eqtr2d 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))
106	70	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
107	71	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℂ)
108	106, 106, 107	subadd2d 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
109	108	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
110	105, 109	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2))
111	106	subidd 10974	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = 0)
112	111	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = 0)
113	110, 112	eqtr3d 2835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) = 0)
114	45, 113	sqeq0d 13505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) = 0)
115	36, 38, 114	subeq0d 10994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐷))
116	34, 115	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷))
117	47, 30, 48, 25	2sqcoprm 26019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
118	117	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
119		coprmdvds 15987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∥ 𝐷))
120	30, 48, 52, 119	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∥ 𝐷))
121	120	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∥ 𝐷))
122	116, 118, 121	mp2and 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ 𝐷)
123		dvdsle 15652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐷 → 𝐴 ≤ 𝐷))
124	30, 57, 123	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐷 → 𝐴 ≤ 𝐷))
125	124	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 ∥ 𝐷 → 𝐴 ≤ 𝐷))
126	122, 125	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐷)
127	51	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
128	127	rprege0d 12426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
129	22	nn0ge0d 11946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
130		le2sq 13495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
131	128, 41, 129, 130	syl12anc 835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
132	131	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 ≤ 𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
133	126, 132	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2))
134	51	nnsqcld 13601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
135	134	nnred 11640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
136		zsqcl 13490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
137	52, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
138	137	zred 12075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
139	135, 138	suble0d 11220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
140	139	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
141	133, 140	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0)
142	29, 141	eqbrtrrd 5054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0)
143		dvdsmul1 15623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
144	48, 52, 143	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
145	144	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
146	145, 115	breqtrrd 5058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶))
147		gcdcom 15852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
148	30, 48, 147	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
149	148, 117	eqtr3d 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
150	149	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
151		coprmdvds 15987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵 ∥ 𝐶))
152	48, 30, 31, 151	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵 ∥ 𝐶))
153	152	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵 ∥ 𝐶))
154	146, 150, 153	mp2and 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ 𝐶)
155		dvdsle 15652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
156	48, 61, 155	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∥ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
157	156	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 ∥ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
158	154, 157	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
159	7, 4, 11, 9	le2sqd 13616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
160	159	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
161	158, 160	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2))
162	4	resqcld 13607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
163		zsqcl 13490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
164	48, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
165	164	zred 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
166	162, 165	subge0d 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
167	166	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
168	161, 167	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
169	135, 138	resubcld 11057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
170	28, 169	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
171		0red 10633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
172	170, 171	letri3d 10771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))))
173	172	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))))
174	142, 168, 173	mpbir2and 712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0)
175	15, 18, 174	subeq0d 10994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐶↑2) = (𝐵↑2))
176	5, 8, 10, 12, 175	sq11d 13617	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 = 𝐵)
177	2, 176	breqtrrd 5058	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐶)
178		2sqmod.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
179	178	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ≤ 𝐷)
180	39	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
181	41	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
182	19	nn0ge0d 11946	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
183	182	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐴)
184	129	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐷)
185	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
186	24	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
187	168, 29	breqtrrd 5058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))
188	169, 171	letri3d 10771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))))
189	188	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))))
190	141, 187, 189	mpbir2and 712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0)
191	185, 186, 190	subeq0d 10994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) = (𝐷↑2))
192	180, 181, 183, 184, 191	sq11d 13617	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐷)
193	179, 192	breqtrrd 5058	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ≤ 𝐴)
194	39, 4	letri3d 10771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴)))
195	194	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴)))
196	177, 193, 195	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
197	20	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
198	13	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℂ)
199	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
200	64	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ≠ 0)
201	41	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
202	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
203	129	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐷)
204	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
205	24	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
206	17	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
207		prmnn 16008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
208	47, 207	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
209	208	nnne0d 11675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
210	209	neneqd 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 = 0)
211	210	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ¬ 𝑃 = 0)
212	80, 24, 17	subdid 11085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = ((𝑃 · (𝐷↑2)) − (𝑃 · (𝐵↑2))))
213	80, 24	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
214	21, 24	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
215	80, 17	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
216	14, 17	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
217	17, 24	mulcomd 10651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
218	25	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = (𝑃 − (𝐴↑2)))
219	21, 17	pncan2d 10988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = (𝐵↑2))
220	218, 219	eqtr3d 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴↑2)) = (𝐵↑2))
221	220	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
222	26	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − (𝐶↑2)) = (𝑃 − (𝐶↑2)))
223	14, 24	pncan2d 10988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − (𝐶↑2)) = (𝐷↑2))
224	222, 223	eqtr3d 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶↑2)) = (𝐷↑2))
225	224	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
226	217, 221, 225	3eqtr4d 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)))
227	80, 21, 24	subdird 11086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝑃 · (𝐷↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))))
228	80, 14, 17	subdird 11086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)) = ((𝑃 · (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
229	226, 227, 228	3eqtr3d 2841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐷↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) = ((𝑃 · (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
230	213, 214, 215, 216, 229	subeqxfrd 11038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐷↑2)) − (𝑃 · (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
231	212, 230	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
232	20, 23	sqmuld 13518	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
233	13, 16	sqmuld 13518	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
234	232, 233	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
235	20, 23	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
236	13, 16	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
237		subsq 13568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
238	235, 236, 237	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
239	231, 234, 238	3eqtr2d 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
240	239	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
241	235	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
242		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝜑)
243		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵))
244	243	neqned 2994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵))
245	89, 90	zsubcld 12080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
246		dvdssqim 15894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
247	79, 245, 246	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
248	247	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
249	248	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
250	95	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
251	245	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
252	235	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
253	236	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
254		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵))
255	252, 253, 254	subne0d 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ≠ 0)
256	251, 255	znsqcld 13522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ)
257		dvdsle 15652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
258	250, 256, 257	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
259	258	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) ∧ (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
260	242, 244, 249, 259	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
261	39, 41	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
262	4, 7	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
263	261, 262	resubcld 11057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
264	263	resqcld 13607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
265	61	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
266	127, 265	rpmulcld 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+)
267	66	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
268	57	nnrpd 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
269	267, 268	rpmulcld 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ+)
270	266, 269	rpaddcld 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ+)
271		2z 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℤ
272	271	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
273	270, 272	rpexpcld 13604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℝ+)
274	264, 273	ltaddrp2d 12453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
275		bhmafibid2 14818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
276	39, 7, 4, 41, 275	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
277	74, 276	eqtr3d 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
278	82	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
279	278	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2))
280	279	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
281	277, 280	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
282	274, 281	breqtrrd 5058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃 · 𝑃))
283	282, 81	breqtrrd 5058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2))
284	242, 283	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2))
285	264, 100	ltnled 10776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2) ↔ ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
286	242, 285	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ((((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2) ↔ ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
287	284, 286	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
288	260, 287	condan 817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵))
289	241, 288	subeq0bd 11055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) = 0)
290	289	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0))
291	235, 236	addcld 10649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
292	291	mul01d 10828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0) = 0)
293	292	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0) = 0)
294	240, 290, 293	3eqtrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
295	24, 17	subcld 10986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
296	80, 295	mul0ord 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)))
297	296	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)))
298	294, 297	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0))
299	298	ord 861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (¬ 𝑃 = 0 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0))
300	211, 299	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)
301	205, 206, 300	subeq0d 10994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) = (𝐵↑2))
302	201, 202, 203, 204, 301	sq11d 13617	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 = 𝐵)
303	302	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐵))
304	303, 288	eqtr3d 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐵))
305	197, 198, 199, 200, 304	mulcan2ad 11265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
306	137, 164	zsubcld 12080	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
307		dvdsmul1 15623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))))
308	79, 306, 307	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))))
309	308, 239	breqtrd 5056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
310		euclemma 16047	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))))
311	47, 91, 245, 310	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))))
312	309, 311	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
313	196, 305, 312	mpjaodan 956	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
314	313	oveq1d 7150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐶↑2))
315	314	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴↑2)) = (𝑃 − (𝐶↑2)))
316	315, 220, 224	3eqtr3d 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) = (𝐷↑2))
317	7, 41, 11, 129, 316	sq11d 13617	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
318	313, 317	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ↑cexp 13425   ∥ cdvds 15599   gcd cgcd 15833  ℙcprime 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006

This theorem is referenced by:  2sqmo  26021