Theorem 2sqmod 27477

Description: Given two decompositions of a prime as a sum of two squares, show that they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sqmod.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqmod.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2sqmod.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
2sqmod.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
2sqmod.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2sqmod.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2sqmod.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
2sqmod.8	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
2sqmod.9	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
2sqmod	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem 2sqmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqmod.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
3		2sqmod.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
6		2sqmod.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3	nn0ge0d 12542	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
10	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐶)
11	6	nn0ge0d 12542	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
12	11	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
13	3	nn0cnd 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	sqcld 14154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
15	14	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
16	6	nn0cnd 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
18	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
19		2sqmod.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	sqcld 14154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
22		2sqmod.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
23	22	nn0cnd 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23	sqcld 14154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
25		2sqmod.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃)
26		2sqmod.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) = 𝑃)
27	25, 26	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
28	21, 17, 14, 24, 27	subaddeqd 11599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
29	28	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
30	19	nn0zd 12590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
31	3	nn0zd 12590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
32		dvdsmul1 16294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
33	30, 31, 32	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
34	33	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐶))
35	20, 13	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
36	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
37	16, 23	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
38	37	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
39	19	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
40	39, 4	remulcld 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
41	22	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
42	7, 41	remulcld 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
43	40, 42	resubcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
45	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
46	43	sqge0d 14147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2))
47		2sqmod.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
48	6	nn0zd 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
49	47, 30, 48, 25	2sqn0 27475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
50		elnnne0 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ≠ 0))
51	19, 49, 50	sylanbrc 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
52	22	nn0zd 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
53	24, 14	addcomd 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
54	53, 26	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃)
55	47, 52, 31, 54	2sqn0 27475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
56		elnnne0 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≠ 0))
57	22, 55, 56	sylanbrc 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
58	51, 57	nnmulcld 12263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℕ)
59	47, 31, 52, 26	2sqn0 27475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
60		elnnne0 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ ↔ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ≠ 0))
61	3, 59, 60	sylanbrc 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
62	17, 21	addcomd 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
63	62, 25	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = 𝑃)
64	47, 48, 30, 63	2sqn0 27475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
65		elnnne0 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
66	6, 64, 65	sylanbrc 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
67	61, 66	nnmulcld 12263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℕ)
68	58, 67	nnaddcld 12262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℕ)
69	68	nnsqcld 14254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ)
70	69	nnred 12222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
71	43	resqcld 14135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℝ)
72	70, 71	addge02d 11773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
73	46, 72	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
74	25, 26	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (𝑃 · 𝑃))
75		bhmafibid1 15478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
76	39, 7, 4, 41, 75	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
77	74, 76	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
78		prmz 16692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
79	47, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
80	79	zcnd 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
81	80	sqvald 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
82	13, 16	mulcomd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
83	82	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
84	83	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2))
85	84	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
86	77, 81, 85	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
87	73, 86	breqtrrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2))
88	87	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2))
89	30, 52	zmulcld 12680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℤ)
90	31, 48	zmulcld 12680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
91	89, 90	zaddcld 12678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
92		dvdssqim 16571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
93	79, 91, 92	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
94		zsqcl 14139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
95	79, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
96		dvdsle 16327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
97	95, 69, 96	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
98	93, 97	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
99	98	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))
100	95	zred 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
101	70, 100	letri3d 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
102	101	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ≤ (𝑃↑2) ∧ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))))
103	88, 99, 102	mpbir2and 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) = (𝑃↑2))
104	86	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
105	103, 104	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2))
106	70	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
107	71	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℂ)
108	106, 106, 107	subadd2d 11558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
109	108	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) ↔ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)))
110	105, 109	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2))
111	106	subidd 11527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = 0)
112	111	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2) − (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))↑2)) = 0)
113	110, 112	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) = 0)
114	45, 113	sqeq0d 14155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) = 0)
115	36, 38, 114	subeq0d 11547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐷))
116	34, 115	breqtrd 5125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷))
117	47, 30, 48, 25	2sqcoprm 27476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
118	117	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
119		coprmdvds 16670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∥ 𝐷))
120	30, 48, 52, 119	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∥ 𝐷))
121	120	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐷) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → 𝐴 ∥ 𝐷))
122	116, 118, 121	mp2and 709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∥ 𝐷)
123		dvdsle 16327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐷 → 𝐴 ≤ 𝐷))
124	30, 57, 123	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐷 → 𝐴 ≤ 𝐷))
125	124	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 ∥ 𝐷 → 𝐴 ≤ 𝐷))
126	122, 125	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐷)
127	51	nnrpd 13032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
128	127	rprege0d 13041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
129	22	nn0ge0d 12542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
130		le2sq 14144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
131	128, 41, 129, 130	syl12anc 847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
132	131	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 ≤ 𝐷 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
133	126, 132	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2))
134	51	nnsqcld 14254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
135	134	nnred 12222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
136		zsqcl 14139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
137	52, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
138	137	zred 12674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
139	135, 138	suble0d 11775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
140	139	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐷↑2)))
141	133, 140	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0)
142	29, 141	eqbrtrrd 5123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0)
143		dvdsmul1 16294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
144	48, 52, 143	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
145	144	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ (𝐵 · 𝐷))
146	145, 115	breqtrrd 5127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶))
147	30, 48	gcdcomd 16531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
148	147, 117	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
149	148	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 gcd 𝐴) = 1)
150		coprmdvds 16670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵 ∥ 𝐶))
151	48, 30, 31, 150	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵 ∥ 𝐶))
152	151	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐵 ∥ (𝐴 · 𝐶) ∧ (𝐵 gcd 𝐴) = 1) → 𝐵 ∥ 𝐶))
153	146, 149, 152	mp2and 709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∥ 𝐶)
154		dvdsle 16327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
155	48, 61, 154	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∥ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
156	155	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 ∥ 𝐶 → 𝐵 ≤ 𝐶))
157	153, 156	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ≤ 𝐶)
158	7, 4, 11, 9	le2sqd 14267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
159	158	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
160	157, 159	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2))
161	4	resqcld 14135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
162		zsqcl 14139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
163	48, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
164	163	zred 12674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
165	161, 164	subge0d 11774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
166	165	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ (𝐶↑2)))
167	160, 166	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))
168	135, 138	resubcld 11612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
169	28, 168	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
170		0red 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
171	169, 170	letri3d 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))))
172	171	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)))))
173	142, 167, 172	mpbir2and 723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐶↑2) − (𝐵↑2)) = 0)
174	15, 18, 173	subeq0d 11547	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐶↑2) = (𝐵↑2))
175	5, 8, 10, 12, 174	sq11d 14268	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 = 𝐵)
176	2, 175	breqtrrd 5127	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝐶)
177		2sqmod.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
178	177	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ≤ 𝐷)
179	39	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
180	41	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
181	19	nn0ge0d 12542	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
182	181	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐴)
183	129	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐷)
184	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
185	24	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
186	167, 29	breqtrrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))
187	168, 170	letri3d 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))))
188	187	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0 ↔ (((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)))))
189	141, 186, 188	mpbir2and 723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴↑2) − (𝐷↑2)) = 0)
190	184, 185, 189	subeq0d 11547	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴↑2) = (𝐷↑2))
191	179, 180, 182, 183, 190	sq11d 14268	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐷)
192	178, 191	breqtrrd 5127	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ≤ 𝐴)
193	39, 4	letri3d 11322	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴)))
194	193	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐴)))
195	176, 192, 194	mpbir2and 723	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
196	20	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
197	13	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐶 ∈ ℂ)
198	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
199	64	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ≠ 0)
200	41	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
201	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
202	129	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐷)
203	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)
204	24	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
205	17	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
206		prmnn 16691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
207	47, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
208	207	nnne0d 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
209	208	neneqd 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 = 0)
210	209	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ¬ 𝑃 = 0)
211	80, 24, 17	subdid 11640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = ((𝑃 · (𝐷↑2)) − (𝑃 · (𝐵↑2))))
212	80, 24	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
213	21, 24	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
214	80, 17	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
215	14, 17	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
216	17, 24	mulcomd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
217	25	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = (𝑃 − (𝐴↑2)))
218	21, 17	pncan2d 11541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = (𝐵↑2))
219	217, 218	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴↑2)) = (𝐵↑2))
220	219	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
221	26	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − (𝐶↑2)) = (𝑃 − (𝐶↑2)))
222	14, 24	pncan2d 11541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − (𝐶↑2)) = (𝐷↑2))
223	221, 222	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐶↑2)) = (𝐷↑2))
224	223	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
225	216, 220, 224	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)))
226	80, 21, 24	subdird 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐴↑2)) · (𝐷↑2)) = ((𝑃 · (𝐷↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))))
227	80, 14, 17	subdird 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − (𝐶↑2)) · (𝐵↑2)) = ((𝑃 · (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
228	225, 226, 227	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐷↑2)) − ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) = ((𝑃 · (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
229	212, 213, 214, 215, 228	subeqxfrd 11593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐷↑2)) − (𝑃 · (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
230	211, 229	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
231	20, 23	sqmuld 14168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
232	13, 16	sqmuld 14168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))
233	231, 232	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) − ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))))
234	20, 23	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
235	13, 16	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
236		subsq 14220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
237	234, 235, 236	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − ((𝐶 · 𝐵)↑2)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
238	230, 233, 237	3eqtr2d 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
239	238	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
240	234	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
241		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝜑)
242		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵))
243	242	neqned 2963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵))
244	89, 90	zsubcld 12679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
245		dvdssqim 16571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
246	79, 244, 245	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
247	246	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
248	247	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
249	95	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ∈ ℤ)
250	244	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ)
251	234	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
252	235	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
253		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵))
254	251, 252, 253	subne0d 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ≠ 0)
255	250, 254	znsqcld 14172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ)
256		dvdsle 16327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃↑2) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℕ) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
257	249, 255, 256	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
258	257	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐷) ≠ (𝐶 · 𝐵)) ∧ (𝑃↑2) ∥ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
259	241, 243, 248, 258	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
260	39, 41	remulcld 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
261	4, 7	remulcld 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
262	260, 261	resubcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ)
263	262	resqcld 14135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
264	61	nnrpd 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
265	127, 264	rpmulcld 13050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ+)
266	66	nnrpd 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
267	57	nnrpd 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
268	266, 267	rpmulcld 13050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ+)
269	265, 268	rpaddcld 13049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ+)
270		2z 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℤ
271	270	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
272	269, 271	rpexpcld 14257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) ∈ ℝ+)
273	263, 272	ltaddrp2d 13068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
274		bhmafibid2 15479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
275	39, 7, 4, 41, 274	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
276	74, 275	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
277	82	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
278	277	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2))
279	278	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))
280	276, 279	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
281	273, 280	breqtrrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃 · 𝑃))
282	281, 81	breqtrrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2))
283	241, 282	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2))
284	263, 100	ltnled 11327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2) ↔ ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
285	241, 284	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ((((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2) < (𝑃↑2) ↔ ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2)))
286	283, 285	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵)) → ¬ (𝑃↑2) ≤ (((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))↑2))
287	259, 286	condan 827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) = (𝐶 · 𝐵))
288	240, 287	subeq0bd 11610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) = 0)
289	288	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0))
290	234, 235	addcld 11198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ)
291	290	mul01d 11379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0) = 0)
292	291	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · 0) = 0)
293	239, 289, 292	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
294	24, 17	subcld 11539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
295	80, 294	mul0ord 11832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)))
296	295	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))) = 0 ↔ (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)))
297	293, 296	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝑃 = 0 ∨ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0))
298	297	ord 875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (¬ 𝑃 = 0 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0))
299	210, 298	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) = 0)
300	204, 205, 299	subeq0d 11547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐷↑2) = (𝐵↑2))
301	200, 201, 202, 203, 300	sq11d 14268	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐷 = 𝐵)
302	301	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐵))
303	302, 287	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐵))
304	196, 197, 198, 199, 303	mulcan2ad 11820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
305	137, 163	zsubcld 12679	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
306		dvdsmul1 16294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))))
307	79, 305, 306	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑃 · ((𝐷↑2) − (𝐵↑2))))
308	307, 238	breqtrd 5125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
309		euclemma 16731	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))))
310	47, 91, 244, 309	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵)))))
311	308, 310	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝐷) − (𝐶 · 𝐵))))
312	195, 304, 311	mpjaodan 971	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
313	312	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐶↑2))
314	313	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴↑2)) = (𝑃 − (𝐶↑2)))
315	314, 219, 223	3eqtr3d 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) = (𝐷↑2))
316	7, 41, 11, 129, 315	sq11d 14268	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
317	312, 316	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  ℕcn 12207  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ↑cexp 14071   ∥ cdvds 16269   gcd cgcd 16511  ℙcprime 16688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-prm 16689

This theorem is referenced by:  2sqmo  27478