Theorem congabseq 42986

Description: If two integers are congruent, they are either equal or separated by at least the congruence base. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congabseq	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem congabseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12618	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		zcn 12618	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		zsubcl 12659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
8	7	3adant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
12		nnre 12273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	11, 14	ltnled 11408	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
16	15	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
17		nnz 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
20	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
22	19, 20, 21	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
23		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))
24		dvdsleabs 16348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
25	22, 23, 24	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → ((𝐵 − 𝐶) ≠ 0 → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
27	26	necon1bd 2958	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → (¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) = 0))
28	16, 27	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) = 0)
29	3, 6, 28	subeq0d 11628	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
30		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
32	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
33	32	subidd 11608	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐶) = 0)
34	31, 33	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = 0)
35	34	abs00bd 15330	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = 0)
36		nngt0 12297	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
37	36	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
38	37	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 0 < 𝐴)
39	35, 38	eqbrtrd 5165	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴)
40	29, 39	impbida 801	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℤcz 12613  abscabs 15273   ∥ cdvds 16290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291

This theorem is referenced by:  acongeq  42995