Theorem congabseq 43515

Description: If two integers are congruent, they are either equal or separated by at least the congruence base. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congabseq	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem congabseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12570	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		zcn 12570	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		zsubcl 12610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
8	7	3adant1 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
11	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
12		nnre 12214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	11, 14	ltnled 11327	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
16	15	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
17		nnz 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
20	8	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
21		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
22	19, 20, 21	3jca 1140	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
23		simpllr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))
24		dvdsleabs 16328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
25	22, 23, 24	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
26	25	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → ((𝐵 − 𝐶) ≠ 0 → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
27	26	necon1bd 2974	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → (¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) = 0))
28	16, 27	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) = 0)
29	3, 6, 28	subeq0d 11547	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
30		oveq1 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
31	30	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
32	5	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
33	32	subidd 11527	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐶) = 0)
34	31, 33	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = 0)
35	34	abs00bd 15301	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = 0)
36		nngt0 12241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
37	36	3ad2ant1 1145	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
38	37	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 0 < 𝐴)
39	35, 38	eqbrtrd 5121	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴)
40	29, 39	impbida 810	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  ℕcn 12207  ℤcz 12565  abscabs 15244   ∥ cdvds 16269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270

This theorem is referenced by:  acongeq  43524