Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  congabseq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem congabseq 38967
Description: If two integers are congruent, they are either equal or separated by at least the congruence base. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
congabseq (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem congabseq
StepHypRef Expression
1 zcn 11801 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
213ad2ant2 1114 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
32ad2antrr 713 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 zcn 11801 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
543ad2ant3 1115 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
65ad2antrr 713 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7 zsubcl 11840 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
873adant1 1110 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
98zcnd 11904 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
109abscld 14660 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
1110adantr 473 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
12 nnre 11449 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13123ad2ant1 1113 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413adantr 473 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1511, 14ltnled 10589 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
1615biimpa 469 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
17 nnz 11820 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
18173ad2ant1 1113 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
1918ad3antrrr 717 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
208ad3antrrr 717 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
21 simpr 477 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
2219, 20, 213jca 1108 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0))
23 simpllr 763 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∥ (𝐵𝐶))
24 dvdsleabs 15524 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
2522, 23, 24sylc 65 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
2625ex 405 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → ((𝐵𝐶) ≠ 0 → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
2726necon1bd 2985 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → (¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶) = 0))
2816, 27mpd 15 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → (𝐵𝐶) = 0)
293, 6, 28subeq0d 10808 . 2 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
30 oveq1 6985 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝐶) = (𝐶𝐶))
3130adantl 474 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵𝐶) = (𝐶𝐶))
325ad2antrr 713 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
3332subidd 10788 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐶𝐶) = 0)
3431, 33eqtrd 2814 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵𝐶) = 0)
3534abs00bd 14515 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵𝐶)) = 0)
36 nngt0 11474 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
37363ad2ant1 1113 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
3837ad2antrr 713 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 0 < 𝐴)
3935, 38eqbrtrd 4952 . 2 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴)
4029, 39impbida 788 1 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978  cc 10335  cr 10336  0cc0 10337   < clt 10476  cle 10477  cmin 10672  cn 11441  cz 11796  abscabs 14457  cdvds 15470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-seq 13188  df-exp 13248  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-dvds 15471
This theorem is referenced by:  acongeq  38976
  Copyright terms: Public domain W3C validator