Theorem congabseq 43934

Description: If two integers are congruent, they are either equal or separated by at least the congruence base. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congabseq	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem congabseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12679	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		zcn 12679	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		zsubcl 12719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
8	7	3adant1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
12		nnre 12323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	11, 14	ltnled 11438	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
16	15	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
17		nnz 12695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
20	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
21		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
22	19, 20, 21	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
23		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))
24		dvdsleabs 16461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
25	22, 23, 24	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → ((𝐵 − 𝐶) ≠ 0 → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
27	26	necon1bd 2974	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → (¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) = 0))
28	16, 27	mpd 16	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) = 0)
29	3, 6, 28	subeq0d 11659	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
30		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
31	30	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
32	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
33	32	subidd 11638	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐶) = 0)
34	31, 33	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = 0)
35	34	abs00bd 15438	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = 0)
36		nngt0 12350	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
37	36	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
38	37	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 0 < 𝐴)
39	35, 38	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴)
40	29, 39	impbida 813	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℕcn 12316  ℤcz 12674  abscabs 15381   ∥ cdvds 16402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403

This theorem is used by:  acongeq  43943