Theorem congabseq 43823

Description: If two integers are congruent, they are either equal or separated by at least the congruence base. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congabseq	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem congabseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12624	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		zcn 12624	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		zsubcl 12664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
8	7	3adant1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
10	9	abscld 15530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
12		nnre 12268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	11, 14	ltnled 11385	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
16	15	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
17		nnz 12640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
20	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
21		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
22	19, 20, 21	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
23		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))
24		dvdsleabs 16407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
25	22, 23, 24	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → ((𝐵 − 𝐶) ≠ 0 → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
27	26	necon1bd 2975	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → (¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) = 0))
28	16, 27	mpd 16	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) = 0)
29	3, 6, 28	subeq0d 11606	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
30		oveq1 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
31	30	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
32	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
33	32	subidd 11585	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐶) = 0)
34	31, 33	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = 0)
35	34	abs00bd 15382	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = 0)
36		nngt0 12295	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
37	36	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
38	37	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 0 < 𝐴)
39	35, 38	eqbrtrd 5131	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴)
40	29, 39	impbida 813	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  ℕcn 12261  ℤcz 12619  abscabs 15325   ∥ cdvds 16348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349

This theorem is used by:  acongeq  43832