Theorem congabseq 39915

Description: If two integers are congruent, they are either equal or separated by at least the congruence base. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congabseq	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem congabseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 11974	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		zcn 11974	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		zsubcl 12012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
8	7	3adant1 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
10	9	abscld 14788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
11	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
12		nnre 11632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	11, 14	ltnled 10776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
16	15	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
17		nnz 11992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
18	17	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
20	8	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
21		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐵 − 𝐶) ≠ 0)
22	19, 20, 21	3jca 1125	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0))
23		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))
24		dvdsleabs 15653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
25	22, 23, 24	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵 − 𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
26	25	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → ((𝐵 − 𝐶) ≠ 0 → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
27	26	necon1bd 3005	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → (¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) = 0))
28	16, 27	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → (𝐵 − 𝐶) = 0)
29	3, 6, 28	subeq0d 10994	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
30		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
31	30	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐶 − 𝐶))
32	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
33	32	subidd 10974	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐶 − 𝐶) = 0)
34	31, 33	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵 − 𝐶) = 0)
35	34	abs00bd 14643	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = 0)
36		nngt0 11656	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
37	36	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
38	37	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 0 < 𝐴)
39	35, 38	eqbrtrd 5052	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴)
40	29, 39	impbida 800	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℤcz 11969  abscabs 14585   ∥ cdvds 15599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600

This theorem is referenced by:  acongeq  39924