Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  congabseq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem congabseq 39859
Description: If two integers are congruent, they are either equal or separated by at least the congruence base. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
congabseq (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem congabseq
StepHypRef Expression
1 zcn 11985 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
213ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
32ad2antrr 725 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 zcn 11985 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
543ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
65ad2antrr 725 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7 zsubcl 12023 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
873adant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
98zcnd 12087 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
109abscld 14798 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
1110adantr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
12 nnre 11643 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
13123ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413adantr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1511, 14ltnled 10787 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
1615biimpa 480 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
17 nnz 12003 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
18173ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
1918ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
208ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
21 simpr 488 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
2219, 20, 213jca 1125 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0))
23 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ∥ (𝐵𝐶))
24 dvdsleabs 15663 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
2522, 23, 24sylc 65 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≠ 0) → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
2625ex 416 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → ((𝐵𝐶) ≠ 0 → 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
2726necon1bd 3032 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → (¬ 𝐴 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶) = 0))
2816, 27mpd 15 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → (𝐵𝐶) = 0)
293, 6, 28subeq0d 11005 . 2 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
30 oveq1 7158 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝐶) = (𝐶𝐶))
3130adantl 485 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵𝐶) = (𝐶𝐶))
325ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
3332subidd 10985 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐶𝐶) = 0)
3431, 33eqtrd 2859 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (𝐵𝐶) = 0)
3534abs00bd 14653 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵𝐶)) = 0)
36 nngt0 11667 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
37363ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
3837ad2antrr 725 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → 0 < 𝐴)
3935, 38eqbrtrd 5075 . 2 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴)
4029, 39impbida 800 1 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐵𝐶)) < 𝐴𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5053  cfv 6345  (class class class)co 7151  cc 10535  cr 10536  0cc0 10537   < clt 10675  cle 10676  cmin 10870  cn 11636  cz 11980  abscabs 14595  cdvds 15609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-sup 8905  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13376  df-exp 13437  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610
This theorem is referenced by:  acongeq  39868
  Copyright terms: Public domain W3C validator