Theorem mulc1cncf 23116

Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulc1cncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncf

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 10356	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2		mulc1cncf.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
3	1, 2	fmptd 6648	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4		simprr 763	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
5		simpl 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 761	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
7		mulcn2 14734	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
9		fvoveq1 6945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (abs‘(𝑣 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝐴)))
10	9	breq1d 4896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡))
11	10	anbi1d 623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤)))
12		oveq1 6929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 · 𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
13	12	fvoveq1d 6944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
14	13	breq1d 4896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
15	11, 14	imbi12d 336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
16	15	ralbidv 3167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
17	16	rspcv 3506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
18	17	ad2antrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
19		subid 10642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
20	19	ad2antrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
21	20	abs00bd 14438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
22		simprll 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
23	22	rpgt0d 12184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 0 < 𝑡)
24	21, 23	eqbrtrd 4908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡)
25	24	biantrurd 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤)))
26		simprr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
27		oveq2 6930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
28		ovex 6954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 · 𝑢) ∈ V
29	27, 2, 28	fvmpt 6542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝐹‘𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
30	26, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
31		simplrl 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		oveq2 6930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
33		ovex 6954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 · 𝑦) ∈ V
34	32, 2, 33	fvmpt 6542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝐹‘𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
35	31, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
36	30, 35	oveq12d 6940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦)))
37	36	fveq2d 6450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
38	37	breq1d 4896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
39	25, 38	imbi12d 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
40	39	anassrs 461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
41	40	ralbidva 3166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
42	18, 41	sylibrd 251	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
43	42	anassrs 461	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
44	43	reximdva 3197	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
45	44	rexlimdva 3212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
46	8, 45	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))
47	46	ralrimivva 3152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))
48		ssid 3841	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
49		elcncf2 23101	. . 3 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))))
50	48, 48, 49	mp2an 682	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
51	3, 47, 50	sylanbrc 578	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3791   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  0cc0 10272   · cmul 10277   < clt 10411   − cmin 10606  ℝ⁺crp 12137  abscabs 14381  –cn→ccncf 23087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-cncf 23089

This theorem is referenced by:  divccncf  23117  sincn  24635  coscn  24636  logcn  24830  itgexpif  31286  mulc1cncfg  40722  dirkeritg  41239  dirkercncflem2  41241