MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulc1cncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulc1cncf 23440
Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mulc1cncf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
Assertion
Ref Expression
mulc1cncf (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncf
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 10609 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2 mulc1cncf.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
31, 2fmptd 6870 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4 simprr 769 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
5 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 simprl 767 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
7 mulcn2 14940 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
84, 5, 6, 7syl3anc 1363 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
9 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝐴 → (abs‘(𝑣𝐴)) = (abs‘(𝐴𝐴)))
109breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡))
1110anbi1d 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 → (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤)))
12 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 · 𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
1312fvoveq1d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
1413breq1d 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
1511, 14imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐴 → ((((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
1615ralbidv 3194 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
1716rspcv 3615 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
1817ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
19 subid 10893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐴) = 0)
2019ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴𝐴) = 0)
2120abs00bd 14639 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴𝐴)) = 0)
22 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
2322rpgt0d 12422 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 0 < 𝑡)
2421, 23eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡)
2524biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 ↔ ((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤)))
26 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
27 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
28 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 · 𝑢) ∈ V
2927, 2, 28fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ℂ → (𝐹𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
3026, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
31 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
32 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
33 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 · 𝑦) ∈ V
3432, 2, 33fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ → (𝐹𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
3630, 35oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦)))
3736fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
3837breq1d 5067 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
3925, 38imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
4039anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
4140ralbidva 3193 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
4218, 41sylibrd 260 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
4342anassrs 468 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
4443reximdva 3271 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
4544rexlimdva 3281 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
468, 45mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧))
4746ralrimivva 3188 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧))
48 ssid 3986 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
49 elcncf2 23425 . . 3 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧))))
5048, 48, 49mp2an 688 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
513, 47, 50sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   · cmul 10530   < clt 10663  cmin 10858  +crp 12377  abscabs 14581  cnccncf 23411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-cncf 23413
This theorem is referenced by:  divccncf  23441  sincn  24959  coscn  24960  logcn  25157  itgexpif  31776  mulc1cncfg  41746  dirkeritg  42264  dirkercncflem2  42266
  Copyright terms: Public domain W3C validator