MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulc1cncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulc1cncf 23116
Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mulc1cncf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
Assertion
Ref Expression
mulc1cncf (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncf
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 10356 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2 mulc1cncf.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
31, 2fmptd 6648 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4 simprr 763 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
5 simpl 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 simprl 761 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
7 mulcn2 14734 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
84, 5, 6, 7syl3anc 1439 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
9 fvoveq1 6945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝐴 → (abs‘(𝑣𝐴)) = (abs‘(𝐴𝐴)))
109breq1d 4896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡))
1110anbi1d 623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 → (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤)))
12 oveq1 6929 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 · 𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
1312fvoveq1d 6944 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
1413breq1d 4896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
1511, 14imbi12d 336 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐴 → ((((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
1615ralbidv 3167 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
1716rspcv 3506 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
1817ad2antrr 716 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
19 subid 10642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐴) = 0)
2019ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴𝐴) = 0)
2120abs00bd 14438 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴𝐴)) = 0)
22 simprll 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
2322rpgt0d 12184 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 0 < 𝑡)
2421, 23eqbrtrd 4908 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡)
2524biantrurd 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 ↔ ((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤)))
26 simprr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
27 oveq2 6930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
28 ovex 6954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 · 𝑢) ∈ V
2927, 2, 28fvmpt 6542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ℂ → (𝐹𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
3026, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
31 simplrl 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
32 oveq2 6930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
33 ovex 6954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 · 𝑦) ∈ V
3432, 2, 33fvmpt 6542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ → (𝐹𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
3630, 35oveq12d 6940 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦)))
3736fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
3837breq1d 4896 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
3925, 38imbi12d 336 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
4039anassrs 461 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
4140ralbidva 3166 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
4218, 41sylibrd 251 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
4342anassrs 461 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
4443reximdva 3197 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
4544rexlimdva 3212 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
468, 45mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧))
4746ralrimivva 3152 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧))
48 ssid 3841 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
49 elcncf2 23101 . . 3 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧))))
5048, 48, 49mp2an 682 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
513, 47, 50sylanbrc 578 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  wrex 3090  wss 3791   class class class wbr 4886  cmpt 4965  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272   · cmul 10277   < clt 10411  cmin 10606  +crp 12137  abscabs 14381  cnccncf 23087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-cncf 23089
This theorem is referenced by:  divccncf  23117  sincn  24635  coscn  24636  logcn  24830  itgexpif  31286  mulc1cncfg  40722  dirkeritg  41239  dirkercncflem2  41241
  Copyright terms: Public domain W3C validator