Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulc1cncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulc1cncf 23489
 Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mulc1cncf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
Assertion
Ref Expression
mulc1cncf (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncf
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 10599 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2 mulc1cncf.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
31, 2fmptd 6854 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4 simprr 771 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
5 simpl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 simprl 769 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
7 mulcn2 14932 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
84, 5, 6, 7syl3anc 1367 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
9 fvoveq1 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝐴 → (abs‘(𝑣𝐴)) = (abs‘(𝐴𝐴)))
109breq1d 5052 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡))
1110anbi1d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 → (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤)))
12 oveq1 7140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 · 𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
1312fvoveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
1413breq1d 5052 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
1511, 14imbi12d 347 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐴 → ((((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
1615ralbidv 3184 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
1716rspcv 3597 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
1817ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
19 subid 10883 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐴) = 0)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴𝐴) = 0)
2120abs00bd 14631 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴𝐴)) = 0)
22 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
2322rpgt0d 12413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 0 < 𝑡)
2421, 23eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡)
2524biantrurd 535 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 ↔ ((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤)))
26 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
27 oveq2 7141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
28 ovex 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 · 𝑢) ∈ V
2927, 2, 28fvmpt 6744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ℂ → (𝐹𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
3026, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
31 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
32 oveq2 7141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
33 ovex 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 · 𝑦) ∈ V
3432, 2, 33fvmpt 6744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ → (𝐹𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
3630, 35oveq12d 7151 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦)))
3736fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
3837breq1d 5052 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
3925, 38imbi12d 347 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
4039anassrs 470 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
4140ralbidva 3183 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
4218, 41sylibrd 261 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
4342anassrs 470 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
4443reximdva 3261 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
4544rexlimdva 3271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
468, 45mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧))
4746ralrimivva 3178 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧))
48 ssid 3968 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
49 elcncf2 23474 . . 3 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧))))
5048, 48, 49mp2an 690 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
513, 47, 50sylanbrc 585 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3125  ∃wrex 3126   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℂcc 10513  0cc0 10515   · cmul 10520   < clt 10653   − cmin 10848  ℝ+crp 12368  abscabs 14573  –cn→ccncf 23460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-seq 13354  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-cncf 23462 This theorem is referenced by:  divccncf  23490  sincn  25018  coscn  25019  logcn  25217  itgexpif  31885  mulc1cncfg  42022  dirkeritg  42535  dirkercncflem2  42537
 Copyright terms: Public domain W3C validator