MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulc1cncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulc1cncf 24271
Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mulc1cncf.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))
Assertion
Ref Expression
mulc1cncf (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem mulc1cncf
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑣 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 11136 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
2 mulc1cncf.1 . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))
31, 2fmptd 7063 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
4 simprr 772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
5 simpl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6 simprl 770 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7 mulcn2 15479 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧))
84, 5, 6, 7syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧))
9 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝐴 β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)))
109breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 β†’ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ↔ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑))
1110anbi1d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 β†’ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀)))
12 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝐴 β†’ (𝑣 Β· 𝑒) = (𝐴 Β· 𝑒))
1312fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) = (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))))
1413breq1d 5116 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 β†’ ((absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧))
1511, 14imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐴 β†’ ((((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) ↔ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
1615ralbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
1716rspcv 3578 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
1817ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
19 subid 11421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = 0)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = 0)
2120abs00bd 15177 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) = 0)
22 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
2322rpgt0d 12961 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ 0 < 𝑑)
2421, 23eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑)
2524biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 ↔ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀)))
26 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
27 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = (𝐴 Β· 𝑒))
28 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 Β· 𝑒) ∈ V
2927, 2, 28fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ β„‚ β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (𝐴 Β· 𝑒))
3026, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (𝐴 Β· 𝑒))
31 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
32 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = (𝐴 Β· 𝑦))
33 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 Β· 𝑦) ∈ V
3432, 2, 33fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝐴 Β· 𝑦))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝐴 Β· 𝑦))
3630, 35oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) = ((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦)))
3736fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) = (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))))
3837breq1d 5116 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧))
3925, 38imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧) ↔ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
4039anassrs 469 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧) ↔ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
4140ralbidva 3173 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
4218, 41sylibrd 259 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧)))
4342anassrs 469 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧)))
4443reximdva 3166 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧)))
4544rexlimdva 3153 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧)))
468, 45mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧))
4746ralrimivva 3198 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧))
48 ssid 3967 . . 3 β„‚ βŠ† β„‚
49 elcncf2 24256 . . 3 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧))))
5048, 48, 49mp2an 691 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧)))
513, 47, 50sylanbrc 584 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  0cc0 11052   Β· cmul 11057   < clt 11190   βˆ’ cmin 11386  β„+crp 12916  abscabs 15120  β€“cnβ†’ccncf 24242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-cncf 24244
This theorem is referenced by:  divccncf  24272  sincn  25806  coscn  25807  logcn  26005  itgexpif  33222  mulc1cncfg  43837  dirkeritg  44350  dirkercncflem2  44352
  Copyright terms: Public domain W3C validator