MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulc1cncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulc1cncf 24780
Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mulc1cncf.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))
Assertion
Ref Expression
mulc1cncf (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem mulc1cncf
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑣 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 11196 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
2 mulc1cncf.1 . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· π‘₯))
31, 2fmptd 7109 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
4 simprr 770 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
5 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6 simprl 768 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7 mulcn2 15546 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧))
84, 5, 6, 7syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧))
9 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝐴 β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)))
109breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 β†’ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ↔ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑))
1110anbi1d 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 β†’ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀)))
12 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝐴 β†’ (𝑣 Β· 𝑒) = (𝐴 Β· 𝑒))
1312fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) = (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))))
1413breq1d 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 β†’ ((absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧))
1511, 14imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐴 β†’ ((((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) ↔ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
1615ralbidv 3171 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
1716rspcv 3602 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
1817ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
19 subid 11483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = 0)
2019ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = 0)
2120abs00bd 15244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) = 0)
22 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
2322rpgt0d 13025 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ 0 < 𝑑)
2421, 23eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑)
2524biantrurd 532 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 ↔ ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀)))
26 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
27 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = (𝐴 Β· 𝑒))
28 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 Β· 𝑒) ∈ V
2927, 2, 28fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ β„‚ β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (𝐴 Β· 𝑒))
3026, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (𝐴 Β· 𝑒))
31 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
32 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = (𝐴 Β· 𝑦))
33 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 Β· 𝑦) ∈ V
3432, 2, 33fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝐴 Β· 𝑦))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝐴 Β· 𝑦))
3630, 35oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)) = ((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦)))
3736fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) = (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))))
3837breq1d 5151 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧))
3925, 38imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 ∈ β„‚)) β†’ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧) ↔ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
4039anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧) ↔ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
4140ralbidva 3169 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝐴 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧)))
4218, 41sylibrd 259 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧)))
4342anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧)))
4443reximdva 3162 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧)))
4544rexlimdva 3149 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑣 Β· 𝑒) βˆ’ (𝐴 Β· 𝑦))) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧)))
468, 45mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧))
4746ralrimivva 3194 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧))
48 ssid 3999 . . 3 β„‚ βŠ† β„‚
49 elcncf2 24765 . . 3 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧))))
5048, 48, 49mp2an 689 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑧)))
513, 47, 50sylanbrc 582 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112   Β· cmul 11117   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„+crp 12980  abscabs 15187  β€“cnβ†’ccncf 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-cncf 24753
This theorem is referenced by:  divccncf  24781  sincn  26336  coscn  26337  logcn  26536  itgexpif  34147  mulc1cncfg  44877  dirkeritg  45390  dirkercncflem2  45392
  Copyright terms: Public domain W3C validator