Theorem mulc1cncf 24882

Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulc1cncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncf

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 11113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2		mulc1cncf.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
3	1, 2	fmptd 7060	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
7		mulcn2 15549	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
9		fvoveq1 7383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (abs‘(𝑣 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝐴)))
10	9	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡))
11	10	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤)))
12		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 · 𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
13	12	fvoveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
14	13	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
15	11, 14	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
16	15	ralbidv 3161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
17	16	rspcv 3561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
18	17	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
19		subid 11404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
20	19	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
21	20	abs00bd 15244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
22		simprll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
23	22	rpgt0d 12980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 0 < 𝑡)
24	21, 23	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡)
25	24	biantrurd 532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤)))
26		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
27		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
28		ovex 7393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 · 𝑢) ∈ V
29	27, 2, 28	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝐹‘𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
30	26, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
31		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
32		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
33		ovex 7393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 · 𝑦) ∈ V
34	32, 2, 33	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝐹‘𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
35	31, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
36	30, 35	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦)))
37	36	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
38	37	breq1d 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
39	25, 38	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
40	39	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
41	40	ralbidva 3159	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
42	18, 41	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
43	42	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
44	43	reximdva 3151	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
45	44	rexlimdva 3139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
46	8, 45	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))
47	46	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))
48		ssid 3945	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
49		elcncf2 24867	. . 3 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))))
50	48, 48, 49	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
51	3, 47, 50	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   · cmul 11034   < clt 11170   − cmin 11368  ℝ⁺crp 12933  abscabs 15187  –cn→ccncf 24853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-cncf 24855

This theorem is referenced by:  divccncf  24883  sincn  26422  coscn  26423  logcn  26624  itgexpif  34766  mulc1cncfg  46037  dirkeritg  46548  dirkercncflem2  46550