MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulc1cncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulc1cncf 24932
Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mulc1cncf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
Assertion
Ref Expression
mulc1cncf (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncf
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 11240 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2 mulc1cncf.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
31, 2fmptd 7133 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4 simprr 772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
5 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 simprl 770 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
7 mulcn2 15633 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
84, 5, 6, 7syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
9 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝐴 → (abs‘(𝑣𝐴)) = (abs‘(𝐴𝐴)))
109breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ↔ (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡))
1110anbi1d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 → (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤)))
12 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 · 𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
1312fvoveq1d 7454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐴 → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
1413breq1d 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
1511, 14imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐴 → ((((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
1615ralbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
1716rspcv 3617 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
1817ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
19 subid 11529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐴) = 0)
2019ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴𝐴) = 0)
2120abs00bd 15331 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴𝐴)) = 0)
22 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
2322rpgt0d 13081 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 0 < 𝑡)
2421, 23eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡)
2524biantrurd 532 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 ↔ ((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤)))
26 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
27 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
28 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 · 𝑢) ∈ V
2927, 2, 28fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ ℂ → (𝐹𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
3026, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
31 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
32 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
33 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 · 𝑦) ∈ V
3432, 2, 33fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ → (𝐹𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
3630, 35oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦)))
3736fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
3837breq1d 5152 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
3925, 38imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
4039anassrs 467 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
4140ralbidva 3175 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
4218, 41sylibrd 259 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
4342anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
4443reximdva 3167 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
4544rexlimdva 3154 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
468, 45mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧))
4746ralrimivva 3201 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧))
48 ssid 4005 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
49 elcncf2 24917 . . 3 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧))))
5048, 48, 49mp2an 692 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑦))) < 𝑧)))
513, 47, 50sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  wss 3950   class class class wbr 5142  cmpt 5224  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156   · cmul 11161   < clt 11296  cmin 11493  +crp 13035  abscabs 15274  cnccncf 24903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-cncf 24905
This theorem is referenced by:  divccncf  24933  sincn  26489  coscn  26490  logcn  26690  itgexpif  34622  mulc1cncfg  45609  dirkeritg  46122  dirkercncflem2  46124
  Copyright terms: Public domain W3C validator