Theorem nthrucw 47462

Description: Some number sets form a chain of proper subsets. This is rephrasing nthruc 16284 as a statement about chains; the hypothesis sets the ordering relation to be "is a proper subset". The theorem talks about singleton 1, natural numbers, natural-or-zero numbers, integers, rational numbers, algebraic reals (the definition includes complex numbers as algebraic so intersection is taken), real numbers and complex numbers, which are proper subsets in order. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
nthrucw.1	⊢ < = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ⊊ 𝑦}

Assertion

Ref	Expression
nthrucw	⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nthrucw

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s8 14867	. . 3 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ++ ⟨“ℂ”⟩)
2		cnex 11154	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		df-s7 14866	. . . . 5 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ++ ⟨“ℝ”⟩)
5		reex 11164	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ V)
7		df-s6 14865	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ++ ⟨“(𝔸 ∩ ℝ)”⟩)
8	5	inex2 5274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V)
10		df-s5 14864	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ++ ⟨“ℚ”⟩)
11		qex 12962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℚ ∈ V)
13		df-s4 14863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ++ ⟨“ℤ”⟩)
14		zex 12577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℤ ∈ V)
16		df-s3 14862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0”⟩ = (⟨“{1}ℕ”⟩ ++ ⟨“ℕ0”⟩)
17		nn0ex 12487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19		df-s2 14861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨“{1}ℕ”⟩ = (⟨“{1}”⟩ ++ ⟨“ℕ”⟩)
20		nnex 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
22		snex 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {1} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → {1} ∈ V)
24	23	s1chn 18652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}”⟩ ∈ ( < Chain V))
25		lsws1 14625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({1} ∈ V → (lastS‘⟨“{1}”⟩) = {1})
26	22, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (lastS‘⟨“{1}”⟩) = {1}
27		1nn 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℕ
28		1ex 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ V
29	28	snss 4743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℕ ↔ {1} ⊆ ℕ)
30	27, 29	mpbi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {1} ⊆ ℕ
31		2nn 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ
32		1re 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
33		1lt2 12390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
34		ltne 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → 2 ≠ 1)
35	32, 33, 34	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ≠ 1
36		nelsn 4625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ≠ 1 → ¬ 2 ∈ {1})
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ¬ 2 ∈ {1}
38	31, 37	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∈ {1})
39		ssnelpss 4068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({1} ⊆ ℕ → ((2 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∈ {1}) → {1} ⊊ ℕ))
40	30, 38, 39	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {1} ⊊ ℕ
41		psseq1 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = {1} → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ {1} ⊊ 𝑦))
42		psseq2 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = ℕ → ({1} ⊊ 𝑦 ↔ {1} ⊊ ℕ))
43		nthrucw.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ < = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ⊊ 𝑦}
44	41, 42, 43	brabg 5510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (({1} ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ({1} < ℕ ↔ {1} ⊊ ℕ))
45	22, 20, 44	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({1} < ℕ ↔ {1} ⊊ ℕ)
46	40, 45	mpbir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {1} < ℕ
47	26, 46	eqbrtri 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ)
49	48	olcd 885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ))
50	21, 24, 49	chnccats1 18657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}”⟩ ++ ⟨“ℕ”⟩) ∈ ( < Chain V))
51	19, 50	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕ”⟩ ∈ ( < Chain V))
52		lsws2 14917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℕ ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) = ℕ)
53	20, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) = ℕ
54		nthruz 16285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)
55	54	simpli 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ ⊊ ℕ0
56		psseq1 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = ℕ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ ⊊ 𝑦))
57		psseq2 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = ℕ0 → (ℕ ⊊ 𝑦 ↔ ℕ ⊊ ℕ0))
58	56, 57, 43	brabg 5510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (ℕ < ℕ0 ↔ ℕ ⊊ ℕ0))
59	20, 17, 58	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℕ < ℕ0 ↔ ℕ ⊊ ℕ0)
60	55, 59	mpbir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ < ℕ0
61	53, 60	eqbrtri 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0)
63	62	olcd 885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0))
64	18, 51, 63	chnccats1 18657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕ”⟩ ++ ⟨“ℕ0”⟩) ∈ ( < Chain V))
65	16, 64	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ∈ ( < Chain V))
66		lsws3 14918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ0 ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) = ℕ0)
67	17, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) = ℕ0
68	54	simpri 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ⊊ ℤ
69		psseq1 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ℕ0 → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ0 ⊊ 𝑦))
70		psseq2 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ℤ → (ℕ0 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ0 ⊊ ℤ))
71	69, 70, 43	brabg 5510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ℤ ∈ V) → (ℕ0 < ℤ ↔ ℕ0 ⊊ ℤ))
72	17, 14, 71	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ0 < ℤ ↔ ℕ0 ⊊ ℤ)
73	68, 72	mpbir 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 < ℤ
74	67, 73	eqbrtri 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ)
76	75	olcd 885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ))
77	15, 65, 76	chnccats1 18657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ++ ⟨“ℤ”⟩) ∈ ( < Chain V))
78	13, 77	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ∈ ( < Chain V))
79		lsws4 14919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = ℤ)
80	14, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = ℤ
81		nthruc 16284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))
82	81	simpli 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
83	82	simpri 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ⊊ ℚ
84		psseq1 4043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ℤ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℤ ⊊ 𝑦))
85		psseq2 4044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ℚ → (ℤ ⊊ 𝑦 ↔ ℤ ⊊ ℚ))
86	84, 85, 43	brabg 5510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ℚ ∈ V) → (ℤ < ℚ ↔ ℤ ⊊ ℚ))
87	14, 11, 86	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ < ℚ ↔ ℤ ⊊ ℚ)
88	83, 87	mpbir 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ < ℚ
89	80, 88	eqbrtri 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ)
91	90	olcd 885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ))
92	12, 78, 91	chnccats1 18657	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ++ ⟨“ℚ”⟩) ∈ ( < Chain V))
93	10, 92	eqeltrid 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ ( < Chain V))
94		s5cli 14896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ Word V
95		lsw 14577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1)))
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1))
97		s5len 14913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = 5
98	97	oveq1i 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1) = (5 − 1)
99		5m1e4 12347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 − 1) = 4
100	98, 99	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1) = 4
101	100	fveq2i 6870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4)
102	96, 101	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4)
103		s4cli 14895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ∈ Word V
104		s4len 14912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = 4
105	10, 103, 104	cats1fvn 14871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4) = ℚ)
106	11, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4) = ℚ
107	102, 106	eqtri 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = ℚ
108		qssaa 26388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
109		qssre 12960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
110	108, 109	ssini 4191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℚ ⊆ (𝔸 ∩ ℝ)
111		2cn 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
112		sqrtcl 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℂ)
113	111, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
114		zsscn 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
115		1z 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℤ
116		2nn0 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℕ0
117		plypow 26265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
118	114, 115, 116, 117	mp3an 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
120		2z 12603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℤ
121	114, 120	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ)
122		plyconst 26266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (ℂ × {2}) ∈ (Poly‘ℤ))
123	121, 122	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (ℂ × {2}) ∈ (Poly‘ℤ))
124		zaddcl 12611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
125	124	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
126		zmulcl 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
127	126	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
128		neg1z 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -1 ∈ ℤ
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℤ)
130	119, 123, 125, 127, 129	plysub 26279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ))
131	130	mptru 1567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ)
132		0cn 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℂ
133		ovex 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥↑2) ∈ V
134	133	rgenw 3080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥↑2) ∈ V
135		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑥ℂ
136	135	mptfnf 6656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥↑2) ∈ V ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ)
137	134, 136	mpbi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ
138		2ex 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ∈ V
139		fconstmpt 5709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℂ × {2}) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ 2)
140	138, 139	fnmpti 6664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℂ × {2}) Fn ℂ
141		fnfvof 7677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {2}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ)) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0)))
142	137, 140, 141	mpanl12 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0)))
143	2, 132, 142	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0))
144		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = (0↑2))
145		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))
146		ovex 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0↑2) ∈ V
147	144, 145, 146	fvmpt 6975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) = (0↑2))
148	132, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) = (0↑2)
149		sq0 14205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0↑2) = 0
150	148, 149	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) = 0
151	138	fvconst2 7188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((ℂ × {2})‘0) = 2)
152	132, 151	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℂ × {2})‘0) = 2
153	150, 152	oveq12i 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0)) = (0 − 2)
154	143, 153	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (0 − 2)
155		df-neg 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -2 = (0 − 2)
156	154, 155	eqtr4i 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = -2
157		2re 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℝ
158	157	renegcli 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -2 ∈ ℝ
159		2pos 12322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 < 2
160		lt0neg2 11694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (2 ∈ ℝ → (0 < 2 ↔ -2 < 0))
161	157, 160	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 < 2 ↔ -2 < 0)
162	159, 161	mpbi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -2 < 0
163		ltne 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-2 ∈ ℝ ∧ -2 < 0) → 0 ≠ -2)
164	158, 162, 163	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≠ -2
165	164	necomi 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -2 ≠ 0
166	156, 165	eqnetri 3027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) ≠ 0
167	132, 166	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ ℂ ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) ≠ 0)
168		ne0p 26267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ≠ 0𝑝)
169		nelsn 4625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ≠ 0𝑝 → ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝})
170	167, 168, 169	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝}
171	131, 170	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝})
172		eldif 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝}))
173	171, 172	mpbir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})
174		fconstmpt 5709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℂ × {2}) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ 2)
175	138, 174	fnmpti 6664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℂ × {2}) Fn ℂ
176		fnfvof 7677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {2}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ (√‘2) ∈ ℂ)) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2))))
177	137, 175, 176	mpanl12 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2))))
178	2, 113, 177	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2)))
179		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (√‘2) → (𝑥↑2) = ((√‘2)↑2))
180		ovex 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((√‘2)↑2) ∈ V
181	179, 145, 180	fvmpt 6975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) = ((√‘2)↑2))
182	113, 181	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) = ((√‘2)↑2)
183		sqrtth 15392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑2) = 2)
184	111, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((√‘2)↑2) = 2
185	182, 184	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) = 2
186	138	fvconst2 7188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ → ((ℂ × {2})‘(√‘2)) = 2)
187	113, 186	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((ℂ × {2})‘(√‘2)) = 2
188	185, 187	oveq12i 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2))) = (2 − 2)
189	178, 188	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (2 − 2)
190		subid 11450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 − 2) = 0)
191	111, 190	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 − 2) = 0
192	189, 191	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0
193		fveq1 6866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) → (𝑎‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)))
194	193	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) → ((𝑎‘(√‘2)) = 0 ↔ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0))
195	194	rspcev 3581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘(√‘2)) = 0)
196		fveq1 6866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎‘(√‘2)) = (𝑥‘(√‘2)))
197	196	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎‘(√‘2)) = 0 ↔ (𝑥‘(√‘2)) = 0))
198	197	cbvrexvw 3241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘(√‘2)) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0)
199	195, 198	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0)
200	173, 192, 199	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0
201	113, 200	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0)
202		elaa 26380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∈ 𝔸 ↔ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0))
203	201, 202	mpbir 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∈ 𝔸
204		sqrt2re 16282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
205	203, 204	elini 4151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)
206		sqrt2irr 16281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
207		df-nel 3062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
208	206, 207	mpbi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ (√‘2) ∈ ℚ
209	205, 208	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
210		ssnelpss 4068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ⊆ (𝔸 ∩ ℝ) → (((√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
211	110, 209, 210	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)
212		psseq1 4043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ℚ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℚ ⊊ 𝑦))
213		psseq2 4044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝔸 ∩ ℝ) → (ℚ ⊊ 𝑦 ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
214	212, 213, 43	brabg 5510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℚ ∈ V ∧ (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V) → (ℚ < (𝔸 ∩ ℝ) ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
215	11, 8, 214	mp2an 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ < (𝔸 ∩ ℝ) ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ))
216	211, 215	mpbir 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ < (𝔸 ∩ ℝ)
217	107, 216	eqbrtri 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ)
218	217	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ))
219	218	olcd 885	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ)))
220	9, 93, 219	chnccats1 18657	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ++ ⟨“(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) ∈ ( < Chain V))
221	7, 220	eqeltrid 2866	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ ( < Chain V))
222		s6cli 14897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ Word V
223		lsw 14577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1)))
224	222, 223	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1))
225		s6len 14914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = 6
226	225	oveq1i 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1) = (6 − 1)
227		6m1e5 12348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 − 1) = 5
228	226, 227	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1) = 5
229	228	fveq2i 6870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5)
230	224, 229	eqtri 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5)
231	7, 94, 97	cats1fvn 14871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5) = (𝔸 ∩ ℝ))
232	8, 231	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5) = (𝔸 ∩ ℝ)
233	230, 232	eqtri 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (𝔸 ∩ ℝ)
234		inss2 4189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ⊆ ℝ
235		nnuz 12878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
236		1zzd 12602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
237		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
238		ovexd 7431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑘)) ∈ V)
239		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → 𝑎 = 𝑘)
240	239	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (!‘𝑎) = (!‘𝑘))
241	240	negeqd 11424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑘))
242	241	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑘)))
243		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎))) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
244	242, 243	fvmptg 6973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ V) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑘) = (2↑-(!‘𝑘)))
245	237, 238, 244	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑘) = (2↑-(!‘𝑘)))
246	245	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑘) = (2↑-(!‘𝑘)))
247	157	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
248		2ne0 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
249	248	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
250		nnnn0 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
251	250	faccld 14297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
252		nnz 12589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℤ)
253		znegcl 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℤ → -(!‘𝑘) ∈ ℤ)
254	251, 252, 253	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → -(!‘𝑘) ∈ ℤ)
255	247, 249, 254	reexpclzd 14262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ)
256	255	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ)
257		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑛 − 1)))) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑛 − 1))))
258	257, 243	aaliou3lem3 26408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℕ → (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘1)))))
259	258	simp1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℕ → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))) ∈ dom ⇝ )
260	27, 259	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))) ∈ dom ⇝ )
261	235, 236, 246, 256, 260	isumrecl 15792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ)
262	261	mptru 1567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ
263		aaliou3 26415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸
264		df-nel 3062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸)
265	263, 264	mpbi 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸
266		elinel1 4153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸)
267	265, 266	mto 199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)
268	262, 267	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ))
269		ssnelpss 4068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) ⊆ ℝ → ((Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)) → (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
270	234, 268, 269	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ
271		psseq1 4043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝔸 ∩ ℝ) → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ 𝑦))
272		psseq2 4044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ℝ → ((𝔸 ∩ ℝ) ⊊ 𝑦 ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
273	271, 272, 43	brabg 5510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝔸 ∩ ℝ) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((𝔸 ∩ ℝ) < ℝ ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
274	8, 5, 273	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) < ℝ ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ)
275	270, 274	mpbir 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) < ℝ
276	233, 275	eqbrtri 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ
277	276	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ)
278	277	olcd 885	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ))
279	6, 221, 278	chnccats1 18657	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ++ ⟨“ℝ”⟩) ∈ ( < Chain V))
280	4, 279	eqeltrid 2866	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ ( < Chain V))
281		s7cli 14898	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ Word V
282		lsw 14577	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)))
283	281, 282	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1))
284		s7len 14915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = 7
285	284	oveq1i 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1) = (7 − 1)
286		7m1e6 12349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 − 1) = 6
287	285, 286	eqtri 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1) = 6
288	287	fveq2i 6870	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6)
289	4, 222, 225	cats1fvn 14871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6) = ℝ)
290	5, 289	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6) = ℝ
291	288, 290	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)) = ℝ
292	283, 291	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = ℝ
293	81	simpri 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
294	293	simpri 489	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊊ ℂ
295		psseq1 4043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ℝ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℝ ⊊ 𝑦))
296		psseq2 4044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ℂ → (ℝ ⊊ 𝑦 ↔ ℝ ⊊ ℂ))
297	295, 296, 43	brabg 5510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (ℝ < ℂ ↔ ℝ ⊊ ℂ))
298	5, 2, 297	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ < ℂ ↔ ℝ ⊊ ℂ)
299	294, 298	mpbir 233	. . . . . . 7 ⊢ ℝ < ℂ
300	292, 299	eqbrtri 5121	. . . . . 6 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ
301	300	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ)
302	301	olcd 885	. . . 4 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ))
303	3, 280, 302	chnccats1 18657	. . 3 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ++ ⟨“ℂ”⟩) ∈ ( < Chain V))
304	1, 303	eqeltrid 2866	. 2 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V))
305	304	mptru 1567	1 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560  ⊤wtru 1561   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905  ∅c0 4285  {csn 4582   class class class wbr 5100  {copab 5162   ↦ cmpt 5181   × cxp 5645  dom cdm 5647   Fn wfn 6516  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∘_f cof 7658  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   < clt 11216   ≤ cle 11217   − cmin 11414  -cneg 11415   / cdiv 11844  ℕcn 12210  2c2 12272  4c4 12274  5c5 12275  6c6 12276  7c7 12277  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ℚcq 12949  ℝ⁺crp 12993  seqcseq 14014  ↑cexp 14074  !cfa 14286  ♯chash 14343  Word cword 14526  lastSclsw 14575   ++ cconcat 14583  ⟨“cs1 14609  ⟨“cs2 14854  ⟨“cs3 14855  ⟨“cs4 14856  ⟨“cs5 14857  ⟨“cs6 14858  ⟨“cs7 14859  ⟨“cs8 14860  √csqrt 15260   ⇝ cli 15511  Σcsu 15713   Chain cchn 18637  0_𝑝c0p 25731  Polycply 26244  𝔸caa 26378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-hash 14344  df-word 14527  df-lsw 14576  df-concat 14584  df-s1 14610  df-s2 14861  df-s3 14862  df-s4 14863  df-s5 14864  df-s6 14865  df-s7 14866  df-s8 14867  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-chn 18638  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-lp 23196  df-perf 23197  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-haus 23375  df-cmp 23447  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cncf 24940  df-0p 25732  df-limc 25928  df-dv 25929  df-dvn 25930  df-cpn 25931  df-ply 26248  df-idp 26249  df-coe 26250  df-dgr 26251  df-quot 26355  df-aa 26379

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