Theorem nthrucw 47667

Description: Some number sets form a chain of proper subsets. This is rephrasing nthruc 16332 as a statement about chains; the hypothesis sets the ordering relation to be "is a proper subset". The theorem talks about singleton 1, natural numbers, natural-or-zero numbers, integers, rational numbers, algebraic reals (the definition includes complex numbers as algebraic so intersection is taken), real numbers and complex numbers, which are proper subsets in order. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
nthrucw.1	⊢ < = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ⊊ 𝑦}

Assertion

Ref	Expression
nthrucw	⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   < (𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem nthrucw

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s8 14917	. . 3 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ++ ⟨“ℂ”⟩)
2		cnex 11198	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		df-s7 14916	. . . . 5 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ++ ⟨“ℝ”⟩)
5		reex 11208	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ V)
7		df-s6 14915	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ++ ⟨“(𝔸 ∩ ℝ)”⟩)
8	5	inex2 5289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V)
10		df-s5 14914	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ++ ⟨“ℚ”⟩)
11		qex 13003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℚ ∈ V)
13		df-s4 14913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ++ ⟨“ℤ”⟩)
14		zex 12617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℤ ∈ V)
16		df-s3 14912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0”⟩ = (⟨“{1}ℕ”⟩ ++ ⟨“ℕ0”⟩)
17		nn0ex 12527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19		df-s2 14911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨“{1}ℕ”⟩ = (⟨“{1}”⟩ ++ ⟨“ℕ”⟩)
20		nnex 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
22		snex 5412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {1} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → {1} ∈ V)
24	23	s1chn 18700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}”⟩ ∈ ( < Chain V))
25		lsws1 14671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({1} ∈ V → (lastS‘⟨“{1}”⟩) = {1})
26	22, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (lastS‘⟨“{1}”⟩) = {1}
27		1nn 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℕ
28		1ex 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ V
29	28	snss 4752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℕ ↔ {1} ⊆ ℕ)
30	27, 29	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {1} ⊆ ℕ
31		2nn 12331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ
32		1re 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
33		1lt2 12430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
34	32, 33	gtneii 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ≠ 1
35		nelsn 4634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ≠ 1 → ¬ 2 ∈ {1})
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ¬ 2 ∈ {1}
37	31, 36	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∈ {1})
38		ssnelpss 4070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({1} ⊆ ℕ → ((2 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∈ {1}) → {1} ⊊ ℕ))
39	30, 37, 38	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {1} ⊊ ℕ
40		psseq1 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = {1} → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ {1} ⊊ 𝑦))
41		psseq2 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = ℕ → ({1} ⊊ 𝑦 ↔ {1} ⊊ ℕ))
42		nthrucw.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ < = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ⊊ 𝑦}
43	22, 20, 40, 41, 42	brab 5530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({1} < ℕ ↔ {1} ⊊ ℕ)
44	39, 43	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {1} < ℕ
45	26, 44	eqbrtri 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ)
47	46	olcd 888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ))
48	21, 24, 47	chnccats1 18705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}”⟩ ++ ⟨“ℕ”⟩) ∈ ( < Chain V))
49	19, 48	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕ”⟩ ∈ ( < Chain V))
50		lsws2 14967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℕ ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) = ℕ)
51	20, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) = ℕ
52		nthruz 16333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)
53	52	simpli 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ ⊊ ℕ0
54		psseq1 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = ℕ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ ⊊ 𝑦))
55		psseq2 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ℕ0 → (ℕ ⊊ 𝑦 ↔ ℕ ⊊ ℕ0))
56	20, 17, 54, 55, 42	brab 5530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℕ < ℕ0 ↔ ℕ ⊊ ℕ0)
57	53, 56	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ < ℕ0
58	51, 57	eqbrtri 5134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0)
60	59	olcd 888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0))
61	18, 49, 60	chnccats1 18705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕ”⟩ ++ ⟨“ℕ0”⟩) ∈ ( < Chain V))
62	16, 61	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ∈ ( < Chain V))
63		lsws3 14968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ0 ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) = ℕ0)
64	17, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) = ℕ0
65	52	simpri 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ⊊ ℤ
66		psseq1 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ℕ0 → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ0 ⊊ 𝑦))
67		psseq2 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ℤ → (ℕ0 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ0 ⊊ ℤ))
68	17, 14, 66, 67, 42	brab 5530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ0 < ℤ ↔ ℕ0 ⊊ ℤ)
69	65, 68	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 < ℤ
70	64, 69	eqbrtri 5134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ)
72	71	olcd 888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ))
73	15, 62, 72	chnccats1 18705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ++ ⟨“ℤ”⟩) ∈ ( < Chain V))
74	13, 73	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ∈ ( < Chain V))
75		lsws4 14969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = ℤ)
76	14, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = ℤ
77		nthruc 16332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))
78	77	simpli 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
79	78	simpri 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ⊊ ℚ
80		psseq1 4045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ℤ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℤ ⊊ 𝑦))
81		psseq2 4046	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ℚ → (ℤ ⊊ 𝑦 ↔ ℤ ⊊ ℚ))
82	14, 11, 80, 81, 42	brab 5530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ < ℚ ↔ ℤ ⊊ ℚ)
83	79, 82	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ < ℚ
84	76, 83	eqbrtri 5134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ)
86	85	olcd 888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ))
87	12, 74, 86	chnccats1 18705	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ++ ⟨“ℚ”⟩) ∈ ( < Chain V))
88	10, 87	eqeltrid 2869	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ ( < Chain V))
89		s5cli 14946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ Word V
90		lsw 14621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1)))
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1))
92		s5len 14963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = 5
93	92	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1) = (5 − 1)
94		5m1e4 12387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 − 1) = 4
95	93, 94	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1) = 4
96	95	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4)
97		s4cli 14945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ∈ Word V
98		s4len 14962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = 4
99	10, 97, 98	cats1fvn 14921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4) = ℚ)
100	11, 99	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4) = ℚ
101	91, 96, 100	3eqtri 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = ℚ
102		qssaa 26538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
103		qssre 13001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
104	102, 103	ssini 4192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℚ ⊆ (𝔸 ∩ ℝ)
105		sqrtnnaa 47664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℕ → (√‘2) ∈ 𝔸)
106	31, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∈ 𝔸
107		sqrt2re 16330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
108	106, 107	elini 4152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)
109		sqrt2irr 16329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
110	109	neli 3068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ (√‘2) ∈ ℚ
111	108, 110	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
112		ssnelpss 4070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ⊆ (𝔸 ∩ ℝ) → (((√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
113	104, 111, 112	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)
114		psseq1 4045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ℚ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℚ ⊊ 𝑦))
115		psseq2 4046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝔸 ∩ ℝ) → (ℚ ⊊ 𝑦 ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
116	11, 8, 114, 115, 42	brab 5530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ < (𝔸 ∩ ℝ) ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ))
117	113, 116	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ < (𝔸 ∩ ℝ)
118	101, 117	eqbrtri 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ)
119	118	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ))
120	119	olcd 888	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ)))
121	9, 88, 120	chnccats1 18705	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ++ ⟨“(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) ∈ ( < Chain V))
122	7, 121	eqeltrid 2869	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ ( < Chain V))
123		s6cli 14947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ Word V
124		lsw 14621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1)))
125	123, 124	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1))
126		s6len 14964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = 6
127	126	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1) = (6 − 1)
128		6m1e5 12388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 − 1) = 5
129	127, 128	eqtri 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1) = 5
130	129	fveq2i 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5)
131	7, 89, 92	cats1fvn 14921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5) = (𝔸 ∩ ℝ))
132	8, 131	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5) = (𝔸 ∩ ℝ)
133	125, 130, 132	3eqtri 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (𝔸 ∩ ℝ)
134		inss2 4190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ⊆ ℝ
135		aaliou3r 26568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ
136		aaliou3 26567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸
137	136	neli 3068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸
138		elinel1 4154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸)
139	137, 138	mto 200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)
140	135, 139	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ))
141		ssnelpss 4070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) ⊆ ℝ → ((Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)) → (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
142	134, 140, 141	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ
143		psseq1 4045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝔸 ∩ ℝ) → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ 𝑦))
144		psseq2 4046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ℝ → ((𝔸 ∩ ℝ) ⊊ 𝑦 ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
145	8, 5, 143, 144, 42	brab 5530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) < ℝ ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ)
146	142, 145	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) < ℝ
147	133, 146	eqbrtri 5134	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ
148	147	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ)
149	148	olcd 888	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ))
150	6, 122, 149	chnccats1 18705	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ++ ⟨“ℝ”⟩) ∈ ( < Chain V))
151	4, 150	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ ( < Chain V))
152		s7cli 14948	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ Word V
153		lsw 14621	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)))
154	152, 153	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1))
155		s7len 14965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = 7
156	155	oveq1i 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1) = (7 − 1)
157		7m1e6 12389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 − 1) = 6
158	156, 157	eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1) = 6
159	158	fveq2i 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6)
160	4, 123, 126	cats1fvn 14921	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6) = ℝ)
161	5, 160	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6) = ℝ
162	154, 159, 161	3eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = ℝ
163	77	simpri 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
164	163	simpri 491	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊊ ℂ
165		psseq1 4045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ℝ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℝ ⊊ 𝑦))
166		psseq2 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ℂ → (ℝ ⊊ 𝑦 ↔ ℝ ⊊ ℂ))
167	5, 2, 165, 166, 42	brab 5530	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ < ℂ ↔ ℝ ⊊ ℂ)
168	164, 167	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ℝ < ℂ
169	162, 168	eqbrtri 5134	. . . . . 6 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ
170	169	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ)
171	170	olcd 888	. . . 4 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ))
172	3, 151, 171	chnccats1 18705	. . 3 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ++ ⟨“ℂ”⟩) ∈ ( < Chain V))
173	1, 172	eqeltrid 2869	. 2 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V))
174	173	mptru 1577	1 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   ⊊ wpss 3907  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111  {copab 5175  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116  1c1 11118   − cmin 11458  -cneg 11459  ℕcn 12250  2c2 12312  4c4 12314  5c5 12315  6c6 12316  7c7 12317  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ℚcq 12990  ↑cexp 14117  !cfa 14329  ♯chash 14386  Word cword 14570  lastSclsw 14619   ++ cconcat 14627  ⟨“cs1 14654  ⟨“cs2 14904  ⟨“cs3 14905  ⟨“cs4 14906  ⟨“cs5 14907  ⟨“cs6 14908  ⟨“cs7 14909  ⟨“cs8 14910  √csqrt 15310  Σcsu 15763   Chain cchn 18685  𝔸caa 26528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-hash 14387  df-word 14571  df-lsw 14620  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-s4 14913  df-s5 14914  df-s6 14915  df-s7 14916  df-s8 14917  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-chn 18686  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-cmp 23596  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cncf 25090  df-0p 25882  df-limc 26078  df-dv 26079  df-dvn 26080  df-cpn 26081  df-ply 26398  df-idp 26399  df-coe 26400  df-dgr 26401  df-quot 26505  df-aa 26529

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