Theorem nthrucw 47316

Description: Some number sets form a chain of proper subsets. This is rephrasing nthruc 16219 as a statement about chains; the hypothesis sets the ordering relation to be "is a proper subset". The theorem talks about singleton 1, natural numbers, natural-or-zero numbers, integers, rational numbers, algebraic reals (the definition includes complex numbers as algebraic so intersection is taken), real numbers and complex numbers, which are proper subsets in order. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
nthrucw.1	⊢ < = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ⊊ 𝑦}

Assertion

Ref	Expression
nthrucw	⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nthrucw

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s8 14816	. . 3 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ++ ⟨“ℂ”⟩)
2		cnex 11119	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		df-s7 14815	. . . . 5 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ++ ⟨“ℝ”⟩)
5		reex 11129	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ V)
7		df-s6 14814	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ++ ⟨“(𝔸 ∩ ℝ)”⟩)
8	5	inex2 5259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V)
10		df-s5 14813	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ++ ⟨“ℚ”⟩)
11		qex 12911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℚ ∈ V)
13		df-s4 14812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ++ ⟨“ℤ”⟩)
14		zex 12533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℤ ∈ V)
16		df-s3 14811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0”⟩ = (⟨“{1}ℕ”⟩ ++ ⟨“ℕ0”⟩)
17		nn0ex 12443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19		df-s2 14810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨“{1}ℕ”⟩ = (⟨“{1}”⟩ ++ ⟨“ℕ”⟩)
20		nnex 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
22		snex 5381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {1} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → {1} ∈ V)
24	23	s1chn 18586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}”⟩ ∈ ( < Chain V))
25		lsws1 14574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({1} ∈ V → (lastS‘⟨“{1}”⟩) = {1})
26	22, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (lastS‘⟨“{1}”⟩) = {1}
27		1nn 12185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℕ
28		1ex 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ V
29	28	snss 4728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℕ ↔ {1} ⊆ ℕ)
30	27, 29	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {1} ⊆ ℕ
31		2nn 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ
32		1re 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
33		1lt2 12347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
34		ltne 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → 2 ≠ 1)
35	32, 33, 34	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ≠ 1
36		nelsn 4610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ≠ 1 → ¬ 2 ∈ {1})
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ¬ 2 ∈ {1}
38	31, 37	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∈ {1})
39		ssnelpss 4054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({1} ⊆ ℕ → ((2 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∈ {1}) → {1} ⊊ ℕ))
40	30, 38, 39	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {1} ⊊ ℕ
41		psseq1 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = {1} → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ {1} ⊊ 𝑦))
42		psseq2 4031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = ℕ → ({1} ⊊ 𝑦 ↔ {1} ⊊ ℕ))
43		nthrucw.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ < = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ⊊ 𝑦}
44	41, 42, 43	brabg 5494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (({1} ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ({1} < ℕ ↔ {1} ⊊ ℕ))
45	22, 20, 44	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({1} < ℕ ↔ {1} ⊊ ℕ)
46	40, 45	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {1} < ℕ
47	26, 46	eqbrtri 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ)
49	48	olcd 875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ))
50	21, 24, 49	chnccats1 18591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}”⟩ ++ ⟨“ℕ”⟩) ∈ ( < Chain V))
51	19, 50	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕ”⟩ ∈ ( < Chain V))
52		lsws2 14866	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℕ ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) = ℕ)
53	20, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) = ℕ
54		nthruz 16220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)
55	54	simpli 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ ⊊ ℕ0
56		psseq1 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = ℕ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ ⊊ 𝑦))
57		psseq2 4031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = ℕ0 → (ℕ ⊊ 𝑦 ↔ ℕ ⊊ ℕ0))
58	56, 57, 43	brabg 5494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (ℕ < ℕ0 ↔ ℕ ⊊ ℕ0))
59	20, 17, 58	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℕ < ℕ0 ↔ ℕ ⊊ ℕ0)
60	55, 59	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ < ℕ0
61	53, 60	eqbrtri 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0)
63	62	olcd 875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0))
64	18, 51, 63	chnccats1 18591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕ”⟩ ++ ⟨“ℕ0”⟩) ∈ ( < Chain V))
65	16, 64	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ∈ ( < Chain V))
66		lsws3 14867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ0 ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) = ℕ0)
67	17, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) = ℕ0
68	54	simpri 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ⊊ ℤ
69		psseq1 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ℕ0 → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ0 ⊊ 𝑦))
70		psseq2 4031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ℤ → (ℕ0 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ0 ⊊ ℤ))
71	69, 70, 43	brabg 5494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ℤ ∈ V) → (ℕ0 < ℤ ↔ ℕ0 ⊊ ℤ))
72	17, 14, 71	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ0 < ℤ ↔ ℕ0 ⊊ ℤ)
73	68, 72	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 < ℤ
74	67, 73	eqbrtri 5106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ)
76	75	olcd 875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ))
77	15, 65, 76	chnccats1 18591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ++ ⟨“ℤ”⟩) ∈ ( < Chain V))
78	13, 77	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ∈ ( < Chain V))
79		lsws4 14868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = ℤ)
80	14, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = ℤ
81		nthruc 16219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))
82	81	simpli 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
83	82	simpri 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ⊊ ℚ
84		psseq1 4030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ℤ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℤ ⊊ 𝑦))
85		psseq2 4031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ℚ → (ℤ ⊊ 𝑦 ↔ ℤ ⊊ ℚ))
86	84, 85, 43	brabg 5494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ℚ ∈ V) → (ℤ < ℚ ↔ ℤ ⊊ ℚ))
87	14, 11, 86	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ < ℚ ↔ ℤ ⊊ ℚ)
88	83, 87	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ < ℚ
89	80, 88	eqbrtri 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ)
91	90	olcd 875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ))
92	12, 78, 91	chnccats1 18591	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ++ ⟨“ℚ”⟩) ∈ ( < Chain V))
93	10, 92	eqeltrid 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ ( < Chain V))
94		s5cli 14845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ Word V
95		lsw 14526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1)))
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1))
97		s5len 14862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = 5
98	97	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1) = (5 − 1)
99		5m1e4 12306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 − 1) = 4
100	98, 99	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1) = 4
101	100	fveq2i 6843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4)
102	96, 101	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4)
103		s4cli 14844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ∈ Word V
104		s4len 14861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = 4
105	10, 103, 104	cats1fvn 14820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4) = ℚ)
106	11, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4) = ℚ
107	102, 106	eqtri 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = ℚ
108		qssaa 26290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
109		qssre 12909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
110	108, 109	ssini 4180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℚ ⊆ (𝔸 ∩ ℝ)
111		2cn 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
112		sqrtcl 15324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℂ)
113	111, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
114		zsscn 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
115		1z 12557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℤ
116		2nn0 12454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℕ0
117		plypow 26170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
118	114, 115, 116, 117	mp3an 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
120		2z 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℤ
121	114, 120	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ)
122		plyconst 26171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (ℂ × {2}) ∈ (Poly‘ℤ))
123	121, 122	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (ℂ × {2}) ∈ (Poly‘ℤ))
124		zaddcl 12567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
126		zmulcl 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
127	126	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
128		neg1z 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -1 ∈ ℤ
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℤ)
130	119, 123, 125, 127, 129	plysub 26184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ))
131	130	mptru 1549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ)
132		0cn 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℂ
133		ovex 7400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥↑2) ∈ V
134	133	rgenw 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥↑2) ∈ V
135		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑥ℂ
136	135	mptfnf 6633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥↑2) ∈ V ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ)
137	134, 136	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ
138		2ex 12258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ∈ V
139		fconstmpt 5693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℂ × {2}) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ 2)
140	138, 139	fnmpti 6641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℂ × {2}) Fn ℂ
141		fnfvof 7648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {2}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ)) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0)))
142	137, 140, 141	mpanl12 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0)))
143	2, 132, 142	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0))
144		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = (0↑2))
145		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))
146		ovex 7400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0↑2) ∈ V
147	144, 145, 146	fvmpt 6947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) = (0↑2))
148	132, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) = (0↑2)
149		sq0 14154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0↑2) = 0
150	148, 149	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) = 0
151	138	fvconst2 7159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((ℂ × {2})‘0) = 2)
152	132, 151	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℂ × {2})‘0) = 2
153	150, 152	oveq12i 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0)) = (0 − 2)
154	143, 153	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (0 − 2)
155		df-neg 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -2 = (0 − 2)
156	154, 155	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = -2
157		2re 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℝ
158	157	renegcli 11455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -2 ∈ ℝ
159		2pos 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 < 2
160		lt0neg2 11657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (2 ∈ ℝ → (0 < 2 ↔ -2 < 0))
161	157, 160	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 < 2 ↔ -2 < 0)
162	159, 161	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -2 < 0
163		ltne 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-2 ∈ ℝ ∧ -2 < 0) → 0 ≠ -2)
164	158, 162, 163	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≠ -2
165	164	necomi 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -2 ≠ 0
166	156, 165	eqnetri 3002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) ≠ 0
167	132, 166	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ ℂ ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) ≠ 0)
168		ne0p 26172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ≠ 0𝑝)
169		nelsn 4610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ≠ 0𝑝 → ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝})
170	167, 168, 169	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝}
171	131, 170	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝})
172		eldif 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝}))
173	171, 172	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})
174		fconstmpt 5693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℂ × {2}) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ 2)
175	138, 174	fnmpti 6641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℂ × {2}) Fn ℂ
176		fnfvof 7648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {2}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ (√‘2) ∈ ℂ)) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2))))
177	137, 175, 176	mpanl12 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2))))
178	2, 113, 177	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2)))
179		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (√‘2) → (𝑥↑2) = ((√‘2)↑2))
180		ovex 7400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((√‘2)↑2) ∈ V
181	179, 145, 180	fvmpt 6947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) = ((√‘2)↑2))
182	113, 181	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) = ((√‘2)↑2)
183		sqrtth 15327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑2) = 2)
184	111, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((√‘2)↑2) = 2
185	182, 184	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) = 2
186	138	fvconst2 7159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ → ((ℂ × {2})‘(√‘2)) = 2)
187	113, 186	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((ℂ × {2})‘(√‘2)) = 2
188	185, 187	oveq12i 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2))) = (2 − 2)
189	178, 188	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (2 − 2)
190		subid 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 − 2) = 0)
191	111, 190	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 − 2) = 0
192	189, 191	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0
193		fveq1 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) → (𝑎‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)))
194	193	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) → ((𝑎‘(√‘2)) = 0 ↔ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0))
195	194	rspcev 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘(√‘2)) = 0)
196		fveq1 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎‘(√‘2)) = (𝑥‘(√‘2)))
197	196	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎‘(√‘2)) = 0 ↔ (𝑥‘(√‘2)) = 0))
198	197	cbvrexvw 3216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘(√‘2)) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0)
199	195, 198	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0)
200	173, 192, 199	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0
201	113, 200	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0)
202		elaa 26282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∈ 𝔸 ↔ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0))
203	201, 202	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∈ 𝔸
204		sqrt2re 16217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
205	203, 204	elini 4139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)
206		sqrt2irr 16216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
207		df-nel 3037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
208	206, 207	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ (√‘2) ∈ ℚ
209	205, 208	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
210		ssnelpss 4054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ⊆ (𝔸 ∩ ℝ) → (((√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
211	110, 209, 210	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)
212		psseq1 4030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ℚ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℚ ⊊ 𝑦))
213		psseq2 4031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝔸 ∩ ℝ) → (ℚ ⊊ 𝑦 ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
214	212, 213, 43	brabg 5494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℚ ∈ V ∧ (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V) → (ℚ < (𝔸 ∩ ℝ) ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
215	11, 8, 214	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ < (𝔸 ∩ ℝ) ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ))
216	211, 215	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ < (𝔸 ∩ ℝ)
217	107, 216	eqbrtri 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ)
218	217	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ))
219	218	olcd 875	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ)))
220	9, 93, 219	chnccats1 18591	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ++ ⟨“(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) ∈ ( < Chain V))
221	7, 220	eqeltrid 2840	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ ( < Chain V))
222		s6cli 14846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ Word V
223		lsw 14526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1)))
224	222, 223	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1))
225		s6len 14863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = 6
226	225	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1) = (6 − 1)
227		6m1e5 12307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 − 1) = 5
228	226, 227	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1) = 5
229	228	fveq2i 6843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5)
230	224, 229	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5)
231	7, 94, 97	cats1fvn 14820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5) = (𝔸 ∩ ℝ))
232	8, 231	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5) = (𝔸 ∩ ℝ)
233	230, 232	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (𝔸 ∩ ℝ)
234		inss2 4178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ⊆ ℝ
235		nnuz 12827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
236		1zzd 12558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
237		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
238		ovexd 7402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑘)) ∈ V)
239		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → 𝑎 = 𝑘)
240	239	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (!‘𝑎) = (!‘𝑘))
241	240	negeqd 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑘))
242	241	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑘)))
243		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎))) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
244	242, 243	fvmptg 6945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ V) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑘) = (2↑-(!‘𝑘)))
245	237, 238, 244	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑘) = (2↑-(!‘𝑘)))
246	245	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑘) = (2↑-(!‘𝑘)))
247	157	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
248		2ne0 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
249	248	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
250		nnnn0 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
251	250	faccld 14246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
252		nnz 12545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℤ)
253		znegcl 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℤ → -(!‘𝑘) ∈ ℤ)
254	251, 252, 253	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → -(!‘𝑘) ∈ ℤ)
255	247, 249, 254	reexpclzd 14211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ)
256	255	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ)
257		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑛 − 1)))) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑛 − 1))))
258	257, 243	aaliou3lem3 26310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℕ → (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘1)))))
259	258	simp1d 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℕ → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))) ∈ dom ⇝ )
260	27, 259	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))) ∈ dom ⇝ )
261	235, 236, 246, 256, 260	isumrecl 15727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ)
262	261	mptru 1549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ
263		aaliou3 26317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸
264		df-nel 3037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸)
265	263, 264	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸
266		elinel1 4141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸)
267	265, 266	mto 197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)
268	262, 267	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ))
269		ssnelpss 4054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) ⊆ ℝ → ((Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)) → (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
270	234, 268, 269	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ
271		psseq1 4030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝔸 ∩ ℝ) → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ 𝑦))
272		psseq2 4031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ℝ → ((𝔸 ∩ ℝ) ⊊ 𝑦 ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
273	271, 272, 43	brabg 5494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝔸 ∩ ℝ) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((𝔸 ∩ ℝ) < ℝ ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
274	8, 5, 273	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) < ℝ ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ)
275	270, 274	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) < ℝ
276	233, 275	eqbrtri 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ
277	276	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ)
278	277	olcd 875	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ))
279	6, 221, 278	chnccats1 18591	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ++ ⟨“ℝ”⟩) ∈ ( < Chain V))
280	4, 279	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ ( < Chain V))
281		s7cli 14847	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ Word V
282		lsw 14526	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)))
283	281, 282	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1))
284		s7len 14864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = 7
285	284	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1) = (7 − 1)
286		7m1e6 12308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 − 1) = 6
287	285, 286	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1) = 6
288	287	fveq2i 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6)
289	4, 222, 225	cats1fvn 14820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6) = ℝ)
290	5, 289	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6) = ℝ
291	288, 290	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)) = ℝ
292	283, 291	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = ℝ
293	81	simpri 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
294	293	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊊ ℂ
295		psseq1 4030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ℝ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℝ ⊊ 𝑦))
296		psseq2 4031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ℂ → (ℝ ⊊ 𝑦 ↔ ℝ ⊊ ℂ))
297	295, 296, 43	brabg 5494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (ℝ < ℂ ↔ ℝ ⊊ ℂ))
298	5, 2, 297	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ < ℂ ↔ ℝ ⊊ ℂ)
299	294, 298	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ℝ < ℂ
300	292, 299	eqbrtri 5106	. . . . . 6 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ
301	300	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ)
302	301	olcd 875	. . . 4 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ))
303	3, 280, 302	chnccats1 18591	. . 3 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ++ ⟨“ℂ”⟩) ∈ ( < Chain V))
304	1, 303	eqeltrid 2840	. 2 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V))
305	304	mptru 1549	1 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889   ⊊ wpss 3890  ∅c0 4273  {csn 4567   class class class wbr 5085  {copab 5147   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  dom cdm 5631   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  7c7 12241  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℚcq 12898  ℝ⁺crp 12942  seqcseq 13963  ↑cexp 14023  !cfa 14235  ♯chash 14292  Word cword 14475  lastSclsw 14524   ++ cconcat 14532  ⟨“cs1 14558  ⟨“cs2 14803  ⟨“cs3 14804  ⟨“cs4 14805  ⟨“cs5 14806  ⟨“cs6 14807  ⟨“cs7 14808  ⟨“cs8 14809  √csqrt 15195   ⇝ cli 15446  Σcsu 15648   Chain cchn 18571  0_𝑝c0p 25636  Polycply 26149  𝔸caa 26280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-s4 14812  df-s5 14813  df-s6 14814  df-s7 14815  df-s8 14816  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-chn 18572  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-0p 25637  df-limc 25833  df-dv 25834  df-dvn 25835  df-cpn 25836  df-ply 26153  df-idp 26154  df-coe 26155  df-dgr 26156  df-quot 26257  df-aa 26281

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