Theorem nthrucw 47244

Description: Some number sets form a chain of proper subsets. This is rephrasing nthruc 16189 as a statement about chains; the hypothesis sets the ordering relation to be "is a proper subset". The theorem talks about singleton 1, natural numbers, natural-or-zero numbers, integers, rational numbers, algebraic reals (the definition includes complex numbers as algebraic so intersection is taken), real numbers and complex numbers, which are proper subsets in order. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
nthrucw.1	⊢ < = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ⊊ 𝑦}

Assertion

Ref	Expression
nthrucw	⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nthrucw

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s8 14789	. . 3 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ++ ⟨“ℂ”⟩)
2		cnex 11119	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		df-s7 14788	. . . . 5 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ++ ⟨“ℝ”⟩)
5		reex 11129	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ V)
7		df-s6 14787	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ++ ⟨“(𝔸 ∩ ℝ)”⟩)
8	5	inex2 5265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V)
10		df-s5 14786	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ++ ⟨“ℚ”⟩)
11		qex 12886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℚ ∈ V)
13		df-s4 14785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ++ ⟨“ℤ”⟩)
14		zex 12509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℤ ∈ V)
16		df-s3 14784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0”⟩ = (⟨“{1}ℕ”⟩ ++ ⟨“ℕ0”⟩)
17		nn0ex 12419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19		df-s2 14783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨“{1}ℕ”⟩ = (⟨“{1}”⟩ ++ ⟨“ℕ”⟩)
20		nnex 12163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
22		snex 5385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {1} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → {1} ∈ V)
24	23	s1chn 18555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}”⟩ ∈ ( < Chain V))
25		lsws1 14547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({1} ∈ V → (lastS‘⟨“{1}”⟩) = {1})
26	22, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (lastS‘⟨“{1}”⟩) = {1}
27		1nn 12168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℕ
28		1ex 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ V
29	28	snss 4743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℕ ↔ {1} ⊆ ℕ)
30	27, 29	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {1} ⊆ ℕ
31		2nn 12230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ
32		1re 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
33		1lt2 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
34		ltne 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → 2 ≠ 1)
35	32, 33, 34	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ≠ 1
36		nelsn 4625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ≠ 1 → ¬ 2 ∈ {1})
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ¬ 2 ∈ {1}
38	31, 37	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∈ {1})
39		ssnelpss 4068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({1} ⊆ ℕ → ((2 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∈ {1}) → {1} ⊊ ℕ))
40	30, 38, 39	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {1} ⊊ ℕ
41		psseq1 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = {1} → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ {1} ⊊ 𝑦))
42		psseq2 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = ℕ → ({1} ⊊ 𝑦 ↔ {1} ⊊ ℕ))
43		nthrucw.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ < = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ⊊ 𝑦}
44	41, 42, 43	brabg 5495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (({1} ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ({1} < ℕ ↔ {1} ⊊ ℕ))
45	22, 20, 44	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({1} < ℕ ↔ {1} ⊊ ℕ)
46	40, 45	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {1} < ℕ
47	26, 46	eqbrtri 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ)
49	48	olcd 875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ))
50	21, 24, 49	chnccats1 18560	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}”⟩ ++ ⟨“ℕ”⟩) ∈ ( < Chain V))
51	19, 50	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕ”⟩ ∈ ( < Chain V))
52		lsws2 14839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℕ ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) = ℕ)
53	20, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) = ℕ
54		nthruz 16190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)
55	54	simpli 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ ⊊ ℕ0
56		psseq1 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = ℕ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ ⊊ 𝑦))
57		psseq2 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = ℕ0 → (ℕ ⊊ 𝑦 ↔ ℕ ⊊ ℕ0))
58	56, 57, 43	brabg 5495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (ℕ < ℕ0 ↔ ℕ ⊊ ℕ0))
59	20, 17, 58	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℕ < ℕ0 ↔ ℕ ⊊ ℕ0)
60	55, 59	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ < ℕ0
61	53, 60	eqbrtri 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0)
63	62	olcd 875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0))
64	18, 51, 63	chnccats1 18560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕ”⟩ ++ ⟨“ℕ0”⟩) ∈ ( < Chain V))
65	16, 64	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ∈ ( < Chain V))
66		lsws3 14840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ0 ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) = ℕ0)
67	17, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) = ℕ0
68	54	simpri 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ⊊ ℤ
69		psseq1 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ℕ0 → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ0 ⊊ 𝑦))
70		psseq2 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ℤ → (ℕ0 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ0 ⊊ ℤ))
71	69, 70, 43	brabg 5495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ℤ ∈ V) → (ℕ0 < ℤ ↔ ℕ0 ⊊ ℤ))
72	17, 14, 71	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ0 < ℤ ↔ ℕ0 ⊊ ℤ)
73	68, 72	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 < ℤ
74	67, 73	eqbrtri 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ)
76	75	olcd 875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ))
77	15, 65, 76	chnccats1 18560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ++ ⟨“ℤ”⟩) ∈ ( < Chain V))
78	13, 77	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ∈ ( < Chain V))
79		lsws4 14841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = ℤ)
80	14, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = ℤ
81		nthruc 16189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))
82	81	simpli 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
83	82	simpri 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ⊊ ℚ
84		psseq1 4044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ℤ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℤ ⊊ 𝑦))
85		psseq2 4045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ℚ → (ℤ ⊊ 𝑦 ↔ ℤ ⊊ ℚ))
86	84, 85, 43	brabg 5495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ℚ ∈ V) → (ℤ < ℚ ↔ ℤ ⊊ ℚ))
87	14, 11, 86	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ < ℚ ↔ ℤ ⊊ ℚ)
88	83, 87	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ < ℚ
89	80, 88	eqbrtri 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ)
91	90	olcd 875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ))
92	12, 78, 91	chnccats1 18560	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ++ ⟨“ℚ”⟩) ∈ ( < Chain V))
93	10, 92	eqeltrid 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ ( < Chain V))
94		s5cli 14818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ Word V
95		lsw 14499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1)))
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1))
97		s5len 14835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = 5
98	97	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1) = (5 − 1)
99		5m1e4 12282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 − 1) = 4
100	98, 99	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1) = 4
101	100	fveq2i 6845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4)
102	96, 101	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4)
103		s4cli 14817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ∈ Word V
104		s4len 14834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = 4
105	10, 103, 104	cats1fvn 14793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4) = ℚ)
106	11, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4) = ℚ
107	102, 106	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = ℚ
108		qssaa 26300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
109		qssre 12884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
110	108, 109	ssini 4194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℚ ⊆ (𝔸 ∩ ℝ)
111		2cn 12232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
112		sqrtcl 15297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℂ)
113	111, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
114		zsscn 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
115		1z 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℤ
116		2nn0 12430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℕ0
117		plypow 26178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
118	114, 115, 116, 117	mp3an 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
120		2z 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℤ
121	114, 120	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ)
122		plyconst 26179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (ℂ × {2}) ∈ (Poly‘ℤ))
123	121, 122	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (ℂ × {2}) ∈ (Poly‘ℤ))
124		zaddcl 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
126		zmulcl 12552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
127	126	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
128		neg1z 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -1 ∈ ℤ
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℤ)
130	119, 123, 125, 127, 129	plysub 26192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ))
131	130	mptru 1549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ)
132		0cn 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℂ
133		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥↑2) ∈ V
134	133	rgenw 3056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥↑2) ∈ V
135		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑥ℂ
136	135	mptfnf 6635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥↑2) ∈ V ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ)
137	134, 136	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ
138		2ex 12234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ∈ V
139		fconstmpt 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℂ × {2}) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ 2)
140	138, 139	fnmpti 6643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℂ × {2}) Fn ℂ
141		fnfvof 7649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {2}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ)) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0)))
142	137, 140, 141	mpanl12 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0)))
143	2, 132, 142	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0))
144		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = (0↑2))
145		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))
146		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0↑2) ∈ V
147	144, 145, 146	fvmpt 6949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) = (0↑2))
148	132, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) = (0↑2)
149		sq0 14127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0↑2) = 0
150	148, 149	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) = 0
151	138	fvconst2 7160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((ℂ × {2})‘0) = 2)
152	132, 151	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℂ × {2})‘0) = 2
153	150, 152	oveq12i 7380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0)) = (0 − 2)
154	143, 153	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (0 − 2)
155		df-neg 11379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -2 = (0 − 2)
156	154, 155	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = -2
157		2re 12231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℝ
158	157	renegcli 11454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -2 ∈ ℝ
159		2pos 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 < 2
160		lt0neg2 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (2 ∈ ℝ → (0 < 2 ↔ -2 < 0))
161	157, 160	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 < 2 ↔ -2 < 0)
162	159, 161	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -2 < 0
163		ltne 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-2 ∈ ℝ ∧ -2 < 0) → 0 ≠ -2)
164	158, 162, 163	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≠ -2
165	164	necomi 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -2 ≠ 0
166	156, 165	eqnetri 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) ≠ 0
167	132, 166	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ ℂ ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) ≠ 0)
168		ne0p 26180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ≠ 0𝑝)
169		nelsn 4625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ≠ 0𝑝 → ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝})
170	167, 168, 169	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝}
171	131, 170	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝})
172		eldif 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝}))
173	171, 172	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})
174		fconstmpt 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℂ × {2}) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ 2)
175	138, 174	fnmpti 6643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℂ × {2}) Fn ℂ
176		fnfvof 7649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {2}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ (√‘2) ∈ ℂ)) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2))))
177	137, 175, 176	mpanl12 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2))))
178	2, 113, 177	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2)))
179		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (√‘2) → (𝑥↑2) = ((√‘2)↑2))
180		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((√‘2)↑2) ∈ V
181	179, 145, 180	fvmpt 6949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) = ((√‘2)↑2))
182	113, 181	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) = ((√‘2)↑2)
183		sqrtth 15300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑2) = 2)
184	111, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((√‘2)↑2) = 2
185	182, 184	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) = 2
186	138	fvconst2 7160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ → ((ℂ × {2})‘(√‘2)) = 2)
187	113, 186	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((ℂ × {2})‘(√‘2)) = 2
188	185, 187	oveq12i 7380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2))) = (2 − 2)
189	178, 188	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (2 − 2)
190		subid 11412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 − 2) = 0)
191	111, 190	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 − 2) = 0
192	189, 191	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0
193		fveq1 6841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) → (𝑎‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)))
194	193	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) → ((𝑎‘(√‘2)) = 0 ↔ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0))
195	194	rspcev 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘(√‘2)) = 0)
196		fveq1 6841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎‘(√‘2)) = (𝑥‘(√‘2)))
197	196	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎‘(√‘2)) = 0 ↔ (𝑥‘(√‘2)) = 0))
198	197	cbvrexvw 3217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘(√‘2)) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0)
199	195, 198	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0)
200	173, 192, 199	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0
201	113, 200	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0)
202		elaa 26292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∈ 𝔸 ↔ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0))
203	201, 202	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∈ 𝔸
204		sqrt2re 16187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
205	203, 204	elini 4153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)
206		sqrt2irr 16186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
207		df-nel 3038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
208	206, 207	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ (√‘2) ∈ ℚ
209	205, 208	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
210		ssnelpss 4068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ⊆ (𝔸 ∩ ℝ) → (((√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
211	110, 209, 210	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)
212		psseq1 4044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ℚ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℚ ⊊ 𝑦))
213		psseq2 4045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝔸 ∩ ℝ) → (ℚ ⊊ 𝑦 ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
214	212, 213, 43	brabg 5495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℚ ∈ V ∧ (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V) → (ℚ < (𝔸 ∩ ℝ) ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
215	11, 8, 214	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ < (𝔸 ∩ ℝ) ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ))
216	211, 215	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ < (𝔸 ∩ ℝ)
217	107, 216	eqbrtri 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ)
218	217	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ))
219	218	olcd 875	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ)))
220	9, 93, 219	chnccats1 18560	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ++ ⟨“(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) ∈ ( < Chain V))
221	7, 220	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ ( < Chain V))
222		s6cli 14819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ Word V
223		lsw 14499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1)))
224	222, 223	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1))
225		s6len 14836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = 6
226	225	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1) = (6 − 1)
227		6m1e5 12283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 − 1) = 5
228	226, 227	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1) = 5
229	228	fveq2i 6845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5)
230	224, 229	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5)
231	7, 94, 97	cats1fvn 14793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5) = (𝔸 ∩ ℝ))
232	8, 231	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5) = (𝔸 ∩ ℝ)
233	230, 232	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (𝔸 ∩ ℝ)
234		inss2 4192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ⊆ ℝ
235		nnuz 12802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
236		1zzd 12534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
237		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
238		ovexd 7403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑘)) ∈ V)
239		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → 𝑎 = 𝑘)
240	239	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (!‘𝑎) = (!‘𝑘))
241	240	negeqd 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑘))
242	241	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑘)))
243		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎))) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
244	242, 243	fvmptg 6947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ V) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑘) = (2↑-(!‘𝑘)))
245	237, 238, 244	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑘) = (2↑-(!‘𝑘)))
246	245	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑘) = (2↑-(!‘𝑘)))
247	157	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
248		2ne0 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
249	248	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
250		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
251	250	faccld 14219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
252		nnz 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℤ)
253		znegcl 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℤ → -(!‘𝑘) ∈ ℤ)
254	251, 252, 253	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → -(!‘𝑘) ∈ ℤ)
255	247, 249, 254	reexpclzd 14184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ)
256	255	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ)
257		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑛 − 1)))) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑛 − 1))))
258	257, 243	aaliou3lem3 26320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℕ → (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘1)))))
259	258	simp1d 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℕ → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))) ∈ dom ⇝ )
260	27, 259	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))) ∈ dom ⇝ )
261	235, 236, 246, 256, 260	isumrecl 15700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ)
262	261	mptru 1549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ
263		aaliou3 26327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸
264		df-nel 3038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸)
265	263, 264	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸
266		elinel1 4155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸)
267	265, 266	mto 197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)
268	262, 267	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ))
269		ssnelpss 4068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) ⊆ ℝ → ((Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)) → (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
270	234, 268, 269	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ
271		psseq1 4044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝔸 ∩ ℝ) → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ 𝑦))
272		psseq2 4045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ℝ → ((𝔸 ∩ ℝ) ⊊ 𝑦 ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
273	271, 272, 43	brabg 5495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝔸 ∩ ℝ) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((𝔸 ∩ ℝ) < ℝ ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
274	8, 5, 273	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) < ℝ ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ)
275	270, 274	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) < ℝ
276	233, 275	eqbrtri 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ
277	276	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ)
278	277	olcd 875	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ))
279	6, 221, 278	chnccats1 18560	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ++ ⟨“ℝ”⟩) ∈ ( < Chain V))
280	4, 279	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ ( < Chain V))
281		s7cli 14820	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ Word V
282		lsw 14499	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)))
283	281, 282	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1))
284		s7len 14837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = 7
285	284	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1) = (7 − 1)
286		7m1e6 12284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 − 1) = 6
287	285, 286	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1) = 6
288	287	fveq2i 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6)
289	4, 222, 225	cats1fvn 14793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6) = ℝ)
290	5, 289	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6) = ℝ
291	288, 290	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)) = ℝ
292	283, 291	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = ℝ
293	81	simpri 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
294	293	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊊ ℂ
295		psseq1 4044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ℝ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℝ ⊊ 𝑦))
296		psseq2 4045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ℂ → (ℝ ⊊ 𝑦 ↔ ℝ ⊊ ℂ))
297	295, 296, 43	brabg 5495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (ℝ < ℂ ↔ ℝ ⊊ ℂ))
298	5, 2, 297	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ < ℂ ↔ ℝ ⊊ ℂ)
299	294, 298	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ℝ < ℂ
300	292, 299	eqbrtri 5121	. . . . . 6 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ
301	300	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ)
302	301	olcd 875	. . . 4 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ))
303	3, 280, 302	chnccats1 18560	. . 3 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ++ ⟨“ℂ”⟩) ∈ ( < Chain V))
304	1, 303	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V))
305	304	mptru 1549	1 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100  {copab 5162   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  dom cdm 5632   Fn wfn 6495  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  7c7 12217  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ℚcq 12873  ℝ⁺crp 12917  seqcseq 13936  ↑cexp 13996  !cfa 14208  ♯chash 14265  Word cword 14448  lastSclsw 14497   ++ cconcat 14505  ⟨“cs1 14531  ⟨“cs2 14776  ⟨“cs3 14777  ⟨“cs4 14778  ⟨“cs5 14779  ⟨“cs6 14780  ⟨“cs7 14781  ⟨“cs8 14782  √csqrt 15168   ⇝ cli 15419  Σcsu 15621   Chain cchn 18540  0_𝑝c0p 25638  Polycply 26157  𝔸caa 26290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-hash 14266  df-word 14449  df-lsw 14498  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784  df-s4 14785  df-s5 14786  df-s6 14787  df-s7 14788  df-s8 14789  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-chn 18541  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-0p 25639  df-limc 25835  df-dv 25836  df-dvn 25837  df-cpn 25838  df-ply 26161  df-idp 26162  df-coe 26163  df-dgr 26164  df-quot 26267  df-aa 26291

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