Theorem nthrucw 47072

Description: Some number sets form a chain of proper subsets. This is rephrasing nthruc 16175 as a statement about chains; the hypothesis sets the ordering relation to be "is a proper subset". The theorem talks about singleton 1, natural numbers, natural-or-zero numbers, integers, rational numbers, algebraic reals (the definition includes complex numbers as algebraic so intersection is taken), real numbers and complex numbers, which are proper subsets in order. (Contributed by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
nthrucw.1	⊢ < = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ⊊ 𝑦}

Assertion

Ref	Expression
nthrucw	⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nthrucw

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s8 14775	. . 3 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ++ ⟨“ℂ”⟩)
2		cnex 11105	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		df-s7 14774	. . . . 5 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ++ ⟨“ℝ”⟩)
5		reex 11115	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ V)
7		df-s6 14773	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ++ ⟨“(𝔸 ∩ ℝ)”⟩)
8	5	inex2 5261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V)
10		df-s5 14772	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ++ ⟨“ℚ”⟩)
11		qex 12872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℚ ∈ V)
13		df-s4 14771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ = (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ++ ⟨“ℤ”⟩)
14		zex 12495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℤ ∈ V)
16		df-s3 14770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0”⟩ = (⟨“{1}ℕ”⟩ ++ ⟨“ℕ0”⟩)
17		nn0ex 12405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19		df-s2 14769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨“{1}ℕ”⟩ = (⟨“{1}”⟩ ++ ⟨“ℕ”⟩)
20		nnex 12149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
22		snex 5379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {1} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → {1} ∈ V)
24	23	s1chn 18541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}”⟩ ∈ ( < Chain V))
25		lsws1 14533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({1} ∈ V → (lastS‘⟨“{1}”⟩) = {1})
26	22, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (lastS‘⟨“{1}”⟩) = {1}
27		1nn 12154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℕ
28		1ex 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ V
29	28	snss 4739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 ∈ ℕ ↔ {1} ⊆ ℕ)
30	27, 29	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {1} ⊆ ℕ
31		2nn 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ
32		1re 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℝ
33		1lt2 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
34		ltne 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → 2 ≠ 1)
35	32, 33, 34	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ≠ 1
36		nelsn 4621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ≠ 1 → ¬ 2 ∈ {1})
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ¬ 2 ∈ {1}
38	31, 37	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∈ {1})
39		ssnelpss 4064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({1} ⊆ ℕ → ((2 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∈ {1}) → {1} ⊊ ℕ))
40	30, 38, 39	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {1} ⊊ ℕ
41		psseq1 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = {1} → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ {1} ⊊ 𝑦))
42		psseq2 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = ℕ → ({1} ⊊ 𝑦 ↔ {1} ⊊ ℕ))
43		nthrucw.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ < = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ⊊ 𝑦}
44	41, 42, 43	brabg 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (({1} ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ({1} < ℕ ↔ {1} ⊊ ℕ))
45	22, 20, 44	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({1} < ℕ ↔ {1} ⊊ ℕ)
46	40, 45	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {1} < ℕ
47	26, 46	eqbrtri 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ)
49	48	olcd 874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}”⟩) < ℕ))
50	21, 24, 49	chnccats1 18546	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}”⟩ ++ ⟨“ℕ”⟩) ∈ ( < Chain V))
51	19, 50	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕ”⟩ ∈ ( < Chain V))
52		lsws2 14825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℕ ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) = ℕ)
53	20, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) = ℕ
54		nthruz 16176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℕ ⊊ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊊ ℤ)
55	54	simpli 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ ⊊ ℕ0
56		psseq1 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = ℕ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ ⊊ 𝑦))
57		psseq2 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = ℕ0 → (ℕ ⊊ 𝑦 ↔ ℕ ⊊ ℕ0))
58	56, 57, 43	brabg 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (ℕ < ℕ0 ↔ ℕ ⊊ ℕ0))
59	20, 17, 58	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℕ < ℕ0 ↔ ℕ ⊊ ℕ0)
60	55, 59	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ < ℕ0
61	53, 60	eqbrtri 5117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0)
63	62	olcd 874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕ”⟩) < ℕ0))
64	18, 51, 63	chnccats1 18546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕ”⟩ ++ ⟨“ℕ0”⟩) ∈ ( < Chain V))
65	16, 64	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ∈ ( < Chain V))
66		lsws3 14826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ0 ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) = ℕ0)
67	17, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) = ℕ0
68	54	simpri 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ⊊ ℤ
69		psseq1 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ℕ0 → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ0 ⊊ 𝑦))
70		psseq2 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ℤ → (ℕ0 ⊊ 𝑦 ↔ ℕ0 ⊊ ℤ))
71	69, 70, 43	brabg 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ℤ ∈ V) → (ℕ0 < ℤ ↔ ℕ0 ⊊ ℤ))
72	17, 14, 71	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℕ0 < ℤ ↔ ℕ0 ⊊ ℤ)
73	68, 72	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 < ℤ
74	67, 73	eqbrtri 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ)
76	75	olcd 874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0”⟩) < ℤ))
77	15, 65, 76	chnccats1 18546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0”⟩ ++ ⟨“ℤ”⟩) ∈ ( < Chain V))
78	13, 77	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ∈ ( < Chain V))
79		lsws4 14827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ ∈ V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = ℤ)
80	14, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = ℤ
81		nthruc 16175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))
82	81	simpli 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
83	82	simpri 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ⊊ ℚ
84		psseq1 4040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ℤ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℤ ⊊ 𝑦))
85		psseq2 4041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ℚ → (ℤ ⊊ 𝑦 ↔ ℤ ⊊ ℚ))
86	84, 85, 43	brabg 5485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ ℚ ∈ V) → (ℤ < ℚ ↔ ℤ ⊊ ℚ))
87	14, 11, 86	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ < ℚ ↔ ℤ ⊊ ℚ)
88	83, 87	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ < ℚ
89	80, 88	eqbrtri 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ)
91	90	olcd 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) < ℚ))
92	12, 78, 91	chnccats1 18546	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ++ ⟨“ℚ”⟩) ∈ ( < Chain V))
93	10, 92	eqeltrid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ ( < Chain V))
94		s5cli 14804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ Word V
95		lsw 14485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1)))
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1))
97		s5len 14821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = 5
98	97	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1) = (5 − 1)
99		5m1e4 12268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 − 1) = 4
100	98, 99	eqtri 2757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1) = 4
101	100	fveq2i 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4)
102	96, 101	eqtri 2757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4)
103		s4cli 14803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩ ∈ Word V
104		s4len 14820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤ”⟩) = 4
105	10, 103, 104	cats1fvn 14779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4) = ℚ)
106	11, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩‘4) = ℚ
107	102, 106	eqtri 2757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) = ℚ
108		qssaa 26286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
109		qssre 12870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
110	108, 109	ssini 4190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℚ ⊆ (𝔸 ∩ ℝ)
111		2cn 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
112		sqrtcl 15283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℂ)
113	111, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
114		zsscn 12494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
115		1z 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℤ
116		2nn0 12416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℕ0
117		plypow 26164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
118	114, 115, 116, 117	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
120		2z 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℤ
121	114, 120	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ)
122		plyconst 26165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (ℂ × {2}) ∈ (Poly‘ℤ))
123	121, 122	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (ℂ × {2}) ∈ (Poly‘ℤ))
124		zaddcl 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
126		zmulcl 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
127	126	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
128		neg1z 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -1 ∈ ℤ
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℤ)
130	119, 123, 125, 127, 129	plysub 26178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ))
131	130	mptru 1548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ)
132		0cn 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℂ
133		ovex 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥↑2) ∈ V
134	133	rgenw 3053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥↑2) ∈ V
135		nfcv 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑥ℂ
136	135	mptfnf 6625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥↑2) ∈ V ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ)
137	134, 136	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ
138		2ex 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ∈ V
139		fconstmpt 5684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℂ × {2}) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ 2)
140	138, 139	fnmpti 6633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℂ × {2}) Fn ℂ
141		fnfvof 7637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {2}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ)) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0)))
142	137, 140, 141	mpanl12 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0)))
143	2, 132, 142	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0))
144		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = (0↑2))
145		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))
146		ovex 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (0↑2) ∈ V
147	144, 145, 146	fvmpt 6939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) = (0↑2))
148	132, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) = (0↑2)
149		sq0 14113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0↑2) = 0
150	148, 149	eqtri 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) = 0
151	138	fvconst2 7148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((ℂ × {2})‘0) = 2)
152	132, 151	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℂ × {2})‘0) = 2
153	150, 152	oveq12i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘0) − ((ℂ × {2})‘0)) = (0 − 2)
154	143, 153	eqtri 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = (0 − 2)
155		df-neg 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -2 = (0 − 2)
156	154, 155	eqtr4i 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) = -2
157		2re 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℝ
158	157	renegcli 11440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -2 ∈ ℝ
159		2pos 12246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 < 2
160		lt0neg2 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (2 ∈ ℝ → (0 < 2 ↔ -2 < 0))
161	157, 160	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 < 2 ↔ -2 < 0)
162	159, 161	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -2 < 0
163		ltne 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-2 ∈ ℝ ∧ -2 < 0) → 0 ≠ -2)
164	158, 162, 163	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≠ -2
165	164	necomi 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ -2 ≠ 0
166	156, 165	eqnetri 3000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) ≠ 0
167	132, 166	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ ℂ ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) ≠ 0)
168		ne0p 26166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘0) ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ≠ 0𝑝)
169		nelsn 4621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ≠ 0𝑝 → ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝})
170	167, 168, 169	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝}
171	131, 170	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝})
172		eldif 3909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ¬ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ {0𝑝}))
173	171, 172	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})
174		fconstmpt 5684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℂ × {2}) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ 2)
175	138, 174	fnmpti 6633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℂ × {2}) Fn ℂ
176		fnfvof 7637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {2}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ (√‘2) ∈ ℂ)) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2))))
177	137, 175, 176	mpanl12 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2))))
178	2, 113, 177	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2)))
179		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (√‘2) → (𝑥↑2) = ((√‘2)↑2))
180		ovex 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((√‘2)↑2) ∈ V
181	179, 145, 180	fvmpt 6939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) = ((√‘2)↑2))
182	113, 181	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) = ((√‘2)↑2)
183		sqrtth 15286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑2) = 2)
184	111, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((√‘2)↑2) = 2
185	182, 184	eqtri 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) = 2
186	138	fvconst2 7148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ → ((ℂ × {2})‘(√‘2)) = 2)
187	113, 186	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((ℂ × {2})‘(√‘2)) = 2
188	185, 187	oveq12i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))‘(√‘2)) − ((ℂ × {2})‘(√‘2))) = (2 − 2)
189	178, 188	eqtri 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = (2 − 2)
190		subid 11398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 − 2) = 0)
191	111, 190	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 − 2) = 0
192	189, 191	eqtri 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0
193		fveq1 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) → (𝑎‘(√‘2)) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)))
194	193	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) → ((𝑎‘(√‘2)) = 0 ↔ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0))
195	194	rspcev 3574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0) → ∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘(√‘2)) = 0)
196		fveq1 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎‘(√‘2)) = (𝑥‘(√‘2)))
197	196	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎‘(√‘2)) = 0 ↔ (𝑥‘(√‘2)) = 0))
198	197	cbvrexvw 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑎 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑎‘(√‘2)) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0)
199	195, 198	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∘f − (ℂ × {2}))‘(√‘2)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0)
200	173, 192, 199	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0
201	113, 200	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0)
202		elaa 26278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ∈ 𝔸 ↔ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘2)) = 0))
203	201, 202	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∈ 𝔸
204		sqrt2re 16173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
205	203, 204	elini 4149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)
206		sqrt2irr 16172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
207		df-nel 3035	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((√‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
208	206, 207	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ (√‘2) ∈ ℚ
209	205, 208	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
210		ssnelpss 4064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ ⊆ (𝔸 ∩ ℝ) → (((√‘2) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
211	110, 209, 210	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)
212		psseq1 4040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ℚ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℚ ⊊ 𝑦))
213		psseq2 4041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝔸 ∩ ℝ) → (ℚ ⊊ 𝑦 ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
214	212, 213, 43	brabg 5485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℚ ∈ V ∧ (𝔸 ∩ ℝ) ∈ V) → (ℚ < (𝔸 ∩ ℝ) ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ)))
215	11, 8, 214	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ < (𝔸 ∩ ℝ) ↔ ℚ ⊊ (𝔸 ∩ ℝ))
216	211, 215	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ < (𝔸 ∩ ℝ)
217	107, 216	eqbrtri 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ)
218	217	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ))
219	218	olcd 874	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩) < (𝔸 ∩ ℝ)))
220	9, 93, 219	chnccats1 18546	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ”⟩ ++ ⟨“(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) ∈ ( < Chain V))
221	7, 220	eqeltrid 2838	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ ( < Chain V))
222		s6cli 14805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ Word V
223		lsw 14485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1)))
224	222, 223	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1))
225		s6len 14822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = 6
226	225	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1) = (6 − 1)
227		6m1e5 12269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 − 1) = 5
228	226, 227	eqtri 2757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1) = 5
229	228	fveq2i 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5)
230	224, 229	eqtri 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5)
231	7, 94, 97	cats1fvn 14779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5) = (𝔸 ∩ ℝ))
232	8, 231	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩‘5) = (𝔸 ∩ ℝ)
233	230, 232	eqtri 2757	. . . . . . . . 9 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) = (𝔸 ∩ ℝ)
234		inss2 4188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ⊆ ℝ
235		nnuz 12788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
236		1zzd 12520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
237		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
238		ovexd 7391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑘)) ∈ V)
239		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → 𝑎 = 𝑘)
240	239	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (!‘𝑎) = (!‘𝑘))
241	240	negeqd 11372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑘))
242	241	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑘 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑘)))
243		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎))) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
244	242, 243	fvmptg 6937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ V) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑘) = (2↑-(!‘𝑘)))
245	237, 238, 244	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑘) = (2↑-(!‘𝑘)))
246	245	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑘) = (2↑-(!‘𝑘)))
247	157	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
248		2ne0 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
249	248	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
250		nnnn0 12406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
251	250	faccld 14205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
252		nnz 12507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℤ)
253		znegcl 12524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((!‘𝑘) ∈ ℤ → -(!‘𝑘) ∈ ℤ)
254	251, 252, 253	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → -(!‘𝑘) ∈ ℤ)
255	247, 249, 254	reexpclzd 14170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ)
256	255	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ)
257		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑛 − 1)))) = (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) ↦ ((2↑-(!‘1)) · ((1 / 2)↑(𝑛 − 1))))
258	257, 243	aaliou3lem3 26306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ ℕ → (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ≥‘1)((𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))‘𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘1)))))
259	258	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℕ → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))) ∈ dom ⇝ )
260	27, 259	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))) ∈ dom ⇝ )
261	235, 236, 246, 256, 260	isumrecl 15686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ)
262	261	mptru 1548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ
263		aaliou3 26313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸
264		df-nel 3035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸)
265	263, 264	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸
266		elinel1 4151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸)
267	265, 266	mto 197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)
268	262, 267	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ))
269		ssnelpss 4064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) ⊆ ℝ → ((Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ (𝔸 ∩ ℝ)) → (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
270	234, 268, 269	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ
271		psseq1 4040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝔸 ∩ ℝ) → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ 𝑦))
272		psseq2 4041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ℝ → ((𝔸 ∩ ℝ) ⊊ 𝑦 ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
273	271, 272, 43	brabg 5485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝔸 ∩ ℝ) ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((𝔸 ∩ ℝ) < ℝ ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ))
274	8, 5, 273	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝔸 ∩ ℝ) < ℝ ↔ (𝔸 ∩ ℝ) ⊊ ℝ)
275	270, 274	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔸 ∩ ℝ) < ℝ
276	233, 275	eqbrtri 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ
277	276	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ)
278	277	olcd 874	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩) < ℝ))
279	6, 221, 278	chnccats1 18546	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)”⟩ ++ ⟨“ℝ”⟩) ∈ ( < Chain V))
280	4, 279	eqeltrid 2838	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ ( < Chain V))
281		s7cli 14806	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ Word V
282		lsw 14485	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ∈ Word V → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)))
283	281, 282	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1))
284		s7len 14823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = 7
285	284	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1) = (7 − 1)
286		7m1e6 12270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 − 1) = 6
287	285, 286	eqtri 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1) = 6
288	287	fveq2i 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)) = (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6)
289	4, 222, 225	cats1fvn 14779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ V → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6) = ℝ)
290	5, 289	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘6) = ℝ
291	288, 290	eqtri 2757	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩‘((♯‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) − 1)) = ℝ
292	283, 291	eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) = ℝ
293	81	simpri 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
294	293	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊊ ℂ
295		psseq1 4040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ℝ → (𝑥 ⊊ 𝑦 ↔ ℝ ⊊ 𝑦))
296		psseq2 4041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ℂ → (ℝ ⊊ 𝑦 ↔ ℝ ⊊ ℂ))
297	295, 296, 43	brabg 5485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (ℝ < ℂ ↔ ℝ ⊊ ℂ))
298	5, 2, 297	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ < ℂ ↔ ℝ ⊊ ℂ)
299	294, 298	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ℝ < ℂ
300	292, 299	eqbrtri 5117	. . . . . 6 ⊢ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ
301	300	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ)
302	301	olcd 874	. . . 4 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ = ∅ ∨ (lastS‘⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩) < ℂ))
303	3, 280, 302	chnccats1 18546	. . 3 ⊢ (⊤ → (⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝ”⟩ ++ ⟨“ℂ”⟩) ∈ ( < Chain V))
304	1, 303	eqeltrid 2838	. 2 ⊢ (⊤ → ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V))
305	304	mptru 1548	1 ⊢ ⟨“{1}ℕℕ0ℤℚ(𝔸 ∩ ℝ)ℝℂ”⟩ ∈ ( < Chain V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∉ wnel 3034  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  ∅c0 4283  {csn 4578   class class class wbr 5096  {copab 5158   ↦ cmpt 5177   × cxp 5620  dom cdm 5622   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362  -cneg 11363   / cdiv 11792  ℕcn 12143  2c2 12198  4c4 12200  5c5 12201  6c6 12202  7c7 12203  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ℚcq 12859  ℝ⁺crp 12903  seqcseq 13922  ↑cexp 13982  !cfa 14194  ♯chash 14251  Word cword 14434  lastSclsw 14483   ++ cconcat 14491  ⟨“cs1 14517  ⟨“cs2 14762  ⟨“cs3 14763  ⟨“cs4 14764  ⟨“cs5 14765  ⟨“cs6 14766  ⟨“cs7 14767  ⟨“cs8 14768  √csqrt 15154   ⇝ cli 15405  Σcsu 15607   Chain cchn 18526  0_𝑝c0p 25624  Polycply 26143  𝔸caa 26276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-hash 14252  df-word 14435  df-lsw 14484  df-concat 14492  df-s1 14518  df-s2 14769  df-s3 14770  df-s4 14771  df-s5 14772  df-s6 14773  df-s7 14774  df-s8 14775  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-chn 18527  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-cmp 23329  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-0p 25625  df-limc 25821  df-dv 25822  df-dvn 25823  df-cpn 25824  df-ply 26147  df-idp 26148  df-coe 26149  df-dgr 26150  df-quot 26253  df-aa 26277

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