Theorem dvconst 26198

Description: Derivative of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvconst	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))

Proof of Theorem dvconst

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6759	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
2		simpr2 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℂ)
3		fvconst2g 7196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑧) = 𝐴)
4	2, 3	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑧) = 𝐴)
5		fvconst2g 7196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
6	5	3ad2antr1 1207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
7	4, 6	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑧) − ((ℂ × {𝐴})‘𝑥)) = (𝐴 − 𝐴))
8		subid 11548	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
10	7, 9	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑧) − ((ℂ × {𝐴})‘𝑥)) = 0)
11	10	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → ((((ℂ × {𝐴})‘𝑧) − ((ℂ × {𝐴})‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (0 / (𝑧 − 𝑥)))
12		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	2, 12	subcld 11640	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
14		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → 𝑧 ≠ 𝑥)
15	2, 12, 14	subne0d 11650	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (𝑧 − 𝑥) ≠ 0)
16	13, 15	div0d 12061	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → (0 / (𝑧 − 𝑥)) = 0)
17	11, 16	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 𝑥)) → ((((ℂ × {𝐴})‘𝑧) − ((ℂ × {𝐴})‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 0)
18		0cn 11269	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
19	1, 17, 18	dvidlem 26196	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {csn 4583   × cxp 5645  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  0cc0 11171   − cmin 11512   / cdiv 11942   D cdv 26144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-icc 13452  df-fz 13609  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-struct 17286  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-rest 17554  df-topn 17555  df-topgen 17575  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-lp 23415  df-perf 23416  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-haus 23594  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-xms 24600  df-ms 24601  df-cncf 25160  df-limc 26147  df-dv 26148

This theorem is used by:  dvcmul  26225  dvcmulf  26226  dvexp2  26235  dvmptc  26239  dvef  26261  dvsconst  45258  binomcxplemnotnn0  45284