MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvconst 25797
Description: Derivative of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvconst (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = (β„‚ Γ— {0}))

Proof of Theorem dvconst
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 6773 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚)
2 simpr2 1192 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
3 fvconst2g 7198 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘§) = 𝐴)
42, 3syldan 590 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘§) = 𝐴)
5 fvconst2g 7198 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) = 𝐴)
653ad2antr1 1185 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) = 𝐴)
74, 6oveq12d 7422 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘§) βˆ’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘₯)) = (𝐴 βˆ’ 𝐴))
8 subid 11480 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = 0)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = 0)
107, 9eqtrd 2766 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘§) βˆ’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘₯)) = 0)
1110oveq1d 7419 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ ((((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘§) βˆ’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (0 / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
12 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
132, 12subcld 11572 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
14 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ 𝑧 β‰  π‘₯)
152, 12, 14subne0d 11581 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) β‰  0)
1613, 15div0d 11990 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (0 / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 0)
1711, 16eqtrd 2766 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ ((((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘§) βˆ’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 0)
18 0cn 11207 . 2 0 ∈ β„‚
191, 17, 18dvidlem 25795 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = (β„‚ Γ— {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  {csn 4623   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  0cc0 11109   βˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872   D cdv 25743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-icc 13334  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747
This theorem is referenced by:  dvcmul  25826  dvcmulf  25827  dvexp2  25837  dvmptc  25841  dvef  25863  dvsconst  43646  binomcxplemnotnn0  43672
  Copyright terms: Public domain W3C validator