MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvconst 25864
Description: Derivative of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvconst (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = (β„‚ Γ— {0}))

Proof of Theorem dvconst
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 6789 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚)
2 simpr2 1192 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
3 fvconst2g 7218 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘§) = 𝐴)
42, 3syldan 589 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘§) = 𝐴)
5 fvconst2g 7218 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) = 𝐴)
653ad2antr1 1185 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘₯) = 𝐴)
74, 6oveq12d 7442 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘§) βˆ’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘₯)) = (𝐴 βˆ’ 𝐴))
8 subid 11515 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = 0)
98adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = 0)
107, 9eqtrd 2767 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘§) βˆ’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘₯)) = 0)
1110oveq1d 7439 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ ((((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘§) βˆ’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (0 / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
12 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
132, 12subcld 11607 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
14 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ 𝑧 β‰  π‘₯)
152, 12, 14subne0d 11616 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) β‰  0)
1613, 15div0d 12025 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ (0 / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 0)
1711, 16eqtrd 2767 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 β‰  π‘₯)) β†’ ((((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘§) βˆ’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 0)
18 0cn 11242 . 2 0 ∈ β„‚
191, 17, 18dvidlem 25862 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = (β„‚ Γ— {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  {csn 4630   Γ— cxp 5678  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„‚cc 11142  0cc0 11144   βˆ’ cmin 11480   / cdiv 11907   D cdv 25810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-icc 13369  df-fz 13523  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-struct 17121  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-rest 17409  df-topn 17410  df-topgen 17430  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814
This theorem is referenced by:  dvcmul  25893  dvcmulf  25894  dvexp2  25904  dvmptc  25908  dvef  25930  dvsconst  43770  binomcxplemnotnn0  43796
  Copyright terms: Public domain W3C validator