Theorem pncan2 10695

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pncan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcom 10628	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
2	1	oveq1d 6993	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴))
3		pncan 10694	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐵)
4	2, 3	eqtr3d 2816	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
5	4	ancoms 451	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  (class class class)co 6978  ℂcc 10335   + caddc 10340   − cmin 10672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-po 5327  df-so 5328  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-ltxr 10481  df-sub 10674

This theorem is referenced by:  subid  10708  pnpcan  10728  pnncan  10730  pncan2d  10802  fzrev3  12792  fzrevral3  12813  fzosubel2  12915  facndiv  13466  bcnp1n  13492  lswccatn0lsw  13757  swrds1  13847  swrdccat3b  13948  swrdccat3bOLD  13949  revccat  13988  trireciplem  15080  psgnunilem2  18388  efgredleme  18631  pjthlem1  23746  uniioombllem3  23892  dyadovol  23900  dvfsumle  24324  qaa  24618  geolim3  24634  pserdv2  24724  logtayl  24947  tanatan  25201  atans2  25213  efrlim  25252  ppidif  25445  ppiub  25485  bposlem9  25573  pntrsumo1  25846  pntpbnd1a  25866  pntpbnd2  25868  pntlemr  25883  axsegconlem10  26418  crctcshwlkn0lem6  27304  pjhthlem1  28952  hst1h  29788  ballotlem2  31392  ballotlemfmpn  31398  lzenom  38762  acongrep  38973  fouriersw  41948