Theorem pncan2 11417

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pncan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcom 11350	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
2	1	oveq1d 7377	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴))
3		pncan 11416	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐵)
4	2, 3	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
5	4	ancoms 459	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362  ℂcc 11058   + caddc 11063   − cmin 11394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-ltxr 11203  df-sub 11396

This theorem is referenced by:  subid  11429  pnpcan  11449  pnncan  11451  pncan2d  11523  fzrev3  13517  fzrevral3  13538  fzosubel2  13642  facndiv  14198  bcnp1n  14224  lswccatn0lsw  14491  swrds1  14566  swrdccat2  14569  swrdccat3b  14640  revccat  14666  trireciplem  15758  psgnunilem2  19291  efgredleme  19539  pjthlem1  24838  uniioombllem3  24986  dyadovol  24994  dvfsumle  25422  qaa  25720  geolim3  25736  pserdv2  25826  logtayl  26052  tanatan  26306  atans2  26318  efrlim  26356  ppidif  26549  ppiub  26589  bposlem9  26677  pntrsumo1  26950  pntpbnd1a  26970  pntpbnd2  26972  pntlemr  26987  axsegconlem10  27938  crctcshwlkn0lem6  28823  pjhthlem1  30396  hst1h  31232  ballotlem2  33177  ballotlemfmpn  33183  lzenom  41151  acongrep  41362  fouriersw  44592