Theorem cnfldnm 25097

Description: The norm of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldnm	⊢ abs = (norm‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11298	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3	2	cnmetdval 25089	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
4	1, 3	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
5		subid1 11578	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
6	5	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
7	4, 6	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑥))
8	7	mpteq2ia 5199	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥(abs ∘ − )0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥))
9		eqid 2760	. . 3 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
10		cnfldbas 21682	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
11		cnfld0 21702	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
12		cnfldds 21690	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
13	9, 10, 11, 12	nmfval 24907	. 2 ⊢ (norm‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥(abs ∘ − )0))
14		absf 15505	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → abs:ℂ⟶ℝ)
16	15	feqmptd 6953	. . 3 ⊢ (⊤ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
17	16	mptru 1576	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥))
18	8, 13, 17	3eqtr4ri 2794	1 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   − cmin 11541  abscabs 15401  ℂ_fldccnfld 21678  normcnm 24895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-cmn 19996  df-mgp 20361  df-ring 20461  df-cring 20462  df-cnfld 21679  df-nm 24901

This theorem is used by:  cnngp  25098  cnnrg  25099  abscn  25166  clmabs  25404  isncvsngp  25470  cnnm  25481  cnncvsabsnegdemo  25486  tcphcph  25558  zringnm  34590  cnzh  34600  rezh  34601