Theorem cnfldnm 24664

Description: The norm of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldnm	⊢ abs = (norm‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11107	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3	2	cnmetdval 24656	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
4	1, 3	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
5		subid1 11384	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
6	5	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
7	4, 6	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑥))
8	7	mpteq2ia 5187	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥(abs ∘ − )0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥))
9		eqid 2729	. . 3 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
10		cnfldbas 21265	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
11		cnfld0 21299	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
12		cnfldds 21273	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
13	9, 10, 11, 12	nmfval 24474	. 2 ⊢ (norm‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥(abs ∘ − )0))
14		absf 15245	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → abs:ℂ⟶ℝ)
16	15	feqmptd 6891	. . 3 ⊢ (⊤ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
17	16	mptru 1547	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥))
18	8, 13, 17	3eqtr4ri 2763	1 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5173   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009   − cmin 11347  abscabs 15141  ℂ_fldccnfld 21261  normcnm 24462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-cmn 19661  df-mgp 20026  df-ring 20120  df-cring 20121  df-cnfld 21262  df-nm 24468

This theorem is referenced by:  cnngp  24665  cnnrg  24666  abscn  24733  clmabs  24981  isncvsngp  25047  cnnm  25058  cnncvsabsnegdemo  25063  tcphcph  25135  zringnm  33931  cnzh  33941  rezh  33942