Theorem cnfldnm 23676

Description: The norm of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldnm	⊢ abs = (norm‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10825	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3	2	cnmetdval 23668	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
4	1, 3	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
5		subid1 11098	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
6	5	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
7	4, 6	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑥))
8	7	mpteq2ia 5146	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥(abs ∘ − )0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥))
9		eqid 2737	. . 3 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
10		cnfldbas 20367	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
11		cnfld0 20387	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
12		cnfldds 20373	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
13	9, 10, 11, 12	nmfval 23486	. 2 ⊢ (norm‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥(abs ∘ − )0))
14		absf 14901	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → abs:ℂ⟶ℝ)
16	15	feqmptd 6780	. . 3 ⊢ (⊤ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
17	16	mptru 1550	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥))
18	8, 13, 17	3eqtr4ri 2776	1 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1543  ⊤wtru 1544   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5135   ∘ ccom 5555  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729   − cmin 11062  abscabs 14797  ℂ_fldccnfld 20363  normcnm 23474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-cmn 19172  df-mgp 19505  df-ring 19564  df-cring 19565  df-cnfld 20364  df-nm 23480

This theorem is referenced by:  cnngp  23677  cnnrg  23678  abscn  23743  clmabs  23980  isncvsngp  24046  cnnm  24057  cnncvsabsnegdemo  24062  tcphcph  24134  zringnm  31622  cnzh  31632  rezh  31633