Theorem cnfldnm 22910

Description: The norm of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldnm	⊢ abs = (norm‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10320	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3	2	cnmetdval 22902	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
4	1, 3	mpan2 683	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
5		subid1 10593	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
6	5	fveq2d 6415	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
7	4, 6	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑥))
8	7	mpteq2ia 4933	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥(abs ∘ − )0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥))
9		eqid 2799	. . 3 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
10		cnfldbas 20072	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
11		cnfld0 20092	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
12		cnfldds 20078	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
13	9, 10, 11, 12	nmfval 22721	. 2 ⊢ (norm‘ℂfld) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥(abs ∘ − )0))
14		absf 14418	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → abs:ℂ⟶ℝ)
16	15	feqmptd 6474	. . 3 ⊢ (⊤ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
17	16	mptru 1661	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥))
18	8, 13, 17	3eqtr4ri 2832	1 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1653  ⊤wtru 1654   ∈ wcel 2157   ↦ cmpt 4922   ∘ ccom 5316  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  ℝcr 10223  0cc0 10224   − cmin 10556  abscabs 14315  ℂ_fldccnfld 20068  normcnm 22709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-cmn 18510  df-mgp 18806  df-ring 18865  df-cring 18866  df-cnfld 20069  df-nm 22715

This theorem is referenced by:  cnngp  22911  cnnrg  22912  abscn  22977  clmabs  23210  isncvsngp  23276  cnnm  23287  cnncvsabsnegdemo  23292  tcphcph  23363  zringnm  30520  cnzh  30530  rezh  30531