Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trljco2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem trljco2 40124
Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 16-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trljco.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trljco.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trljco.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trljco.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trljco2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΊ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
Proof of Theorem trljco2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38746 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 trljco.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 trljco.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 trljco.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6trlcl 39547 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
873adant3 1129 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
93, 4, 5, 6trlcl 39547 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1093adant2 1128 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 trljco.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
123, 11latjcom 18409 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = ((π‘…β€˜πΊ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
132, 8, 10, 12syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = ((π‘…β€˜πΊ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
1411, 4, 5, 6trljco 40123 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐹))) = ((π‘…β€˜πΊ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
15143com23 1123 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐹))) = ((π‘…β€˜πΊ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
1613, 15eqtr4d 2769 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = ((π‘…β€˜πΊ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐹))))
1711, 4, 5, 6trljco 40123 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
184, 5ltrncom 40121 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
1918fveq2d 6888 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐹)))
2019oveq2d 7420 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΊ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ 𝐹))))
2116, 17, 203eqtr4d 2776 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΊ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  joincjn 18273  Latclat 18393  HLchlt 38732  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484  trLctrl 39541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-riotaBAD 38335
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-map 8821  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542
This theorem is referenced by:  cdlemh1  40198
  Copyright terms: Public domain W3C validator