Theorem trljco2 38751

Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 16-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trljco.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
trljco.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trljco.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trljco.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trljco2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))))

Proof of Theorem trljco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 37374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		trljco.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		trljco.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		trljco.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	trlcl 38174	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
8	7	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
9	3, 4, 5, 6	trlcl 38174	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
10	9	3adant2 1130	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
11		trljco.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	3, 11	latjcom 18163	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘𝐹)))
13	2, 8, 10, 12	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘𝐹)))
14	11, 4, 5, 6	trljco 38750	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐹))) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘𝐹)))
15	14	3com23 1125	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐹))) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘𝐹)))
16	13, 15	eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐹))))
17	11, 4, 5, 6	trljco 38750	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))
18	4, 5	ltrncom 38748	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
19	18	fveq2d 6775	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐹)))
20	19	oveq2d 7287	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐹))))
21	16, 17, 20	3eqtr4d 2790	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ∘ ccom 5594  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  joincjn 18027  Latclat 18147  HLchlt 37360  LHypclh 37994  LTrncltrn 38111  trLctrl 38168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-riotaBAD 36963

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-undef 8080  df-map 8600  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-oml 37189  df-covers 37276  df-ats 37277  df-atl 37308  df-cvlat 37332  df-hlat 37361  df-llines 37508  df-lplanes 37509  df-lvols 37510  df-lines 37511  df-psubsp 37513  df-pmap 37514  df-padd 37806  df-lhyp 37998  df-laut 37999  df-ldil 38114  df-ltrn 38115  df-trl 38169

This theorem is referenced by:  cdlemh1  38825