Theorem trljco2 38492

Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 16-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trljco.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
trljco.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trljco.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trljco.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trljco2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))))

Proof of Theorem trljco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 37115	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		trljco.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		trljco.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		trljco.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	trlcl 37915	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
8	7	3adant3 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
9	3, 4, 5, 6	trlcl 37915	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
10	9	3adant2 1133	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
11		trljco.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	3, 11	latjcom 17953	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘𝐹)))
13	2, 8, 10, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘𝐹)))
14	11, 4, 5, 6	trljco 38491	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐹))) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘𝐹)))
15	14	3com23 1128	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐹))) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘𝐹)))
16	13, 15	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐹))))
17	11, 4, 5, 6	trljco 38491	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))
18	4, 5	ltrncom 38489	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))
19	18	fveq2d 6721	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐹)))
20	19	oveq2d 7229	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ 𝐹))))
21	16, 17, 20	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((𝑅‘𝐺) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∘ ccom 5555  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  joincjn 17818  Latclat 17937  HLchlt 37101  LHypclh 37735  LTrncltrn 37852  trLctrl 37909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-riotaBAD 36704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-undef 8015  df-map 8510  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251  df-lines 37252  df-psubsp 37254  df-pmap 37255  df-padd 37547  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910

This theorem is referenced by:  cdlemh1  38566