MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2res Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnmpt2res 23180
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
cnmpt1res.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt1res.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
cnmpt2res.7 𝑁 = (𝑀 β†Ύt π‘Š)
cnmpt2res.8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmpt2res.9 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝑍)
cnmpt2res.10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝑀) Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2res (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Š ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝑁) Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,π‘Š   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)   𝐿(π‘₯,𝑦)   𝑀(π‘₯,𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem cnmpt2res
StepHypRef Expression
1 cnmpt2res.10 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝑀) Cn 𝐿))
2 cnmpt1res.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
3 cnmpt2res.9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝑍)
4 xpss12 5691 . . . . 5 ((π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ π‘Š βŠ† 𝑍) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Š) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑍))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Γ— π‘Š) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑍))
6 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
7 cnmpt2res.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
8 txtopon 23094 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— 𝑍)))
96, 7, 8syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— 𝑍)))
10 toponuni 22415 . . . . 5 ((𝐽 Γ—t 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— 𝑍)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑍) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀))
119, 10syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— 𝑍) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀))
125, 11sseqtrd 4022 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Γ— π‘Š) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀))
13 eqid 2732 . . . 4 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀)
1413cnrest 22788 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝑀) Cn 𝐿) ∧ (π‘Œ Γ— π‘Š) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Š)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) Cn 𝐿))
151, 12, 14syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Š)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) Cn 𝐿))
16 resmpo 7527 . . 3 ((π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ π‘Š βŠ† 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Š)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))
172, 3, 16syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Š)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))
18 topontop 22414 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
196, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
20 topontop 22414 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘) β†’ 𝑀 ∈ Top)
217, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Top)
22 toponmax 22427 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
236, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
2423, 2ssexd 5324 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
25 toponmax 22427 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘) β†’ 𝑍 ∈ 𝑀)
267, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑀)
2726, 3ssexd 5324 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ V)
28 txrest 23134 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ Top) ∧ (π‘Œ ∈ V ∧ π‘Š ∈ V)) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Γ—t (𝑀 β†Ύt π‘Š)))
2919, 21, 24, 27, 28syl22anc 837 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Γ—t (𝑀 β†Ύt π‘Š)))
30 cnmpt1res.2 . . . . 5 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
31 cnmpt2res.7 . . . . 5 𝑁 = (𝑀 β†Ύt π‘Š)
3230, 31oveq12i 7420 . . . 4 (𝐾 Γ—t 𝑁) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Γ—t (𝑀 β†Ύt π‘Š))
3329, 32eqtr4di 2790 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) = (𝐾 Γ—t 𝑁))
3433oveq1d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) Cn 𝐿) = ((𝐾 Γ—t 𝑁) Cn 𝐿))
3515, 17, 343eltr3d 2847 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Š ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝑁) Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   β†Ύt crest 17365  Topctop 22394  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727   Γ—t ctx 23063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cn 22730  df-tx 23065
This theorem is referenced by:  efmndtmd  23604  submtmd  23607  iimulcn  24453  cxpcn2  26251  cxpcn3  26253  cvxsconn  34229  cvmlift2lem6  34294  cvmlift2lem12  34300  gg-iimulcn  35164
  Copyright terms: Public domain W3C validator