MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2res Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnmpt2res 23599
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
cnmpt1res.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt1res.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
cnmpt2res.7 𝑁 = (𝑀 β†Ύt π‘Š)
cnmpt2res.8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmpt2res.9 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝑍)
cnmpt2res.10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝑀) Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2res (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Š ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝑁) Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,π‘Š   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)   𝐿(π‘₯,𝑦)   𝑀(π‘₯,𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem cnmpt2res
StepHypRef Expression
1 cnmpt2res.10 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝑀) Cn 𝐿))
2 cnmpt1res.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
3 cnmpt2res.9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝑍)
4 xpss12 5687 . . . . 5 ((π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ π‘Š βŠ† 𝑍) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Š) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑍))
52, 3, 4syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Γ— π‘Š) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑍))
6 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
7 cnmpt2res.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
8 txtopon 23513 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— 𝑍)))
96, 7, 8syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— 𝑍)))
10 toponuni 22834 . . . . 5 ((𝐽 Γ—t 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— 𝑍)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑍) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀))
119, 10syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— 𝑍) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀))
125, 11sseqtrd 4013 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Γ— π‘Š) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀))
13 eqid 2725 . . . 4 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀)
1413cnrest 23207 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝑀) Cn 𝐿) ∧ (π‘Œ Γ— π‘Š) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Š)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) Cn 𝐿))
151, 12, 14syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Š)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) Cn 𝐿))
16 resmpo 7537 . . 3 ((π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ π‘Š βŠ† 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Š)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))
172, 3, 16syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Š)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Š ↦ 𝐴))
18 topontop 22833 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
196, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
20 topontop 22833 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘) β†’ 𝑀 ∈ Top)
217, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Top)
22 toponmax 22846 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
236, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
2423, 2ssexd 5319 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
25 toponmax 22846 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘) β†’ 𝑍 ∈ 𝑀)
267, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑀)
2726, 3ssexd 5319 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ V)
28 txrest 23553 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ Top) ∧ (π‘Œ ∈ V ∧ π‘Š ∈ V)) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Γ—t (𝑀 β†Ύt π‘Š)))
2919, 21, 24, 27, 28syl22anc 837 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Γ—t (𝑀 β†Ύt π‘Š)))
30 cnmpt1res.2 . . . . 5 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
31 cnmpt2res.7 . . . . 5 𝑁 = (𝑀 β†Ύt π‘Š)
3230, 31oveq12i 7428 . . . 4 (𝐾 Γ—t 𝑁) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Γ—t (𝑀 β†Ύt π‘Š))
3329, 32eqtr4di 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) = (𝐾 Γ—t 𝑁))
3433oveq1d 7431 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐽 Γ—t 𝑀) β†Ύt (π‘Œ Γ— π‘Š)) Cn 𝐿) = ((𝐾 Γ—t 𝑁) Cn 𝐿))
3515, 17, 343eltr3d 2839 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Š ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝑁) Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939  βˆͺ cuni 4903   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   β†Ύt crest 17401  Topctop 22813  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23146   Γ—t ctx 23482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-map 8845  df-en 8963  df-fin 8966  df-fi 9434  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cn 23149  df-tx 23484
This theorem is referenced by:  efmndtmd  24023  submtmd  24026  iimulcn  24879  iimulcnOLD  24880  cxpcn2  26699  cxpcn3  26701  cvxsconn  34910  cvmlift2lem6  34975  cvmlift2lem12  34981
  Copyright terms: Public domain W3C validator