MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt2res 21852
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
cnmpt1res.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1res.5 (𝜑𝑌𝑋)
cnmpt2res.7 𝑁 = (𝑀t 𝑊)
cnmpt2res.8 (𝜑𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍))
cnmpt2res.9 (𝜑𝑊𝑍)
cnmpt2res.10 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝑀) Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2res (𝜑 → (𝑥𝑌, 𝑦𝑊𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝑁) Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑊   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2res
StepHypRef Expression
1 cnmpt2res.10 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝑀) Cn 𝐿))
2 cnmpt1res.5 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
3 cnmpt2res.9 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑍)
4 xpss12 5358 . . . . 5 ((𝑌𝑋𝑊𝑍) → (𝑌 × 𝑊) ⊆ (𝑋 × 𝑍))
52, 3, 4syl2anc 581 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 × 𝑊) ⊆ (𝑋 × 𝑍))
6 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 cnmpt2res.8 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍))
8 txtopon 21766 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍)) → (𝐽 ×t 𝑀) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑍)))
96, 7, 8syl2anc 581 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝑀) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑍)))
10 toponuni 21090 . . . . 5 ((𝐽 ×t 𝑀) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑍)) → (𝑋 × 𝑍) = (𝐽 ×t 𝑀))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝐽 ×t 𝑀))
125, 11sseqtrd 3867 . . 3 (𝜑 → (𝑌 × 𝑊) ⊆ (𝐽 ×t 𝑀))
13 eqid 2826 . . . 4 (𝐽 ×t 𝑀) = (𝐽 ×t 𝑀)
1413cnrest 21461 . . 3 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝑀) Cn 𝐿) ∧ (𝑌 × 𝑊) ⊆ (𝐽 ×t 𝑀)) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ↾ (𝑌 × 𝑊)) ∈ (((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) Cn 𝐿))
151, 12, 14syl2anc 581 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ↾ (𝑌 × 𝑊)) ∈ (((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) Cn 𝐿))
16 resmpt2 7019 . . 3 ((𝑌𝑋𝑊𝑍) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ↾ (𝑌 × 𝑊)) = (𝑥𝑌, 𝑦𝑊𝐴))
172, 3, 16syl2anc 581 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ↾ (𝑌 × 𝑊)) = (𝑥𝑌, 𝑦𝑊𝐴))
18 topontop 21089 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
196, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
20 topontop 21089 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍) → 𝑀 ∈ Top)
217, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Top)
22 toponmax 21102 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
236, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐽)
2423, 2ssexd 5031 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ V)
25 toponmax 21102 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍) → 𝑍𝑀)
267, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑀)
2726, 3ssexd 5031 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ V)
28 txrest 21806 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ Top) ∧ (𝑌 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ V)) → ((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) = ((𝐽t 𝑌) ×t (𝑀t 𝑊)))
2919, 21, 24, 27, 28syl22anc 874 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) = ((𝐽t 𝑌) ×t (𝑀t 𝑊)))
30 cnmpt1res.2 . . . . 5 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
31 cnmpt2res.7 . . . . 5 𝑁 = (𝑀t 𝑊)
3230, 31oveq12i 6918 . . . 4 (𝐾 ×t 𝑁) = ((𝐽t 𝑌) ×t (𝑀t 𝑊))
3329, 32syl6eqr 2880 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) = (𝐾 ×t 𝑁))
3433oveq1d 6921 . 2 (𝜑 → (((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) Cn 𝐿) = ((𝐾 ×t 𝑁) Cn 𝐿))
3515, 17, 343eltr3d 2921 1 (𝜑 → (𝑥𝑌, 𝑦𝑊𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝑁) Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3415  wss 3799   cuni 4659   × cxp 5341  cres 5345  cfv 6124  (class class class)co 6906  cmpt2 6908  t crest 16435  Topctop 21069  TopOnctopon 21086   Cn ccn 21400   ×t ctx 21735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-fin 8227  df-fi 8587  df-rest 16437  df-topgen 16458  df-top 21070  df-topon 21087  df-bases 21122  df-cn 21403  df-tx 21737
This theorem is referenced by:  symgtgp  22276  submtmd  22279  iimulcn  23108  cxpcn2  24890  cxpcn3  24892  cvxsconn  31772  cvmlift2lem6  31837  cvmlift2lem12  31843
  Copyright terms: Public domain W3C validator