MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt2res 23701
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
cnmpt1res.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1res.5 (𝜑𝑌𝑋)
cnmpt2res.7 𝑁 = (𝑀t 𝑊)
cnmpt2res.8 (𝜑𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍))
cnmpt2res.9 (𝜑𝑊𝑍)
cnmpt2res.10 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝑀) Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2res (𝜑 → (𝑥𝑌, 𝑦𝑊𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝑁) Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑊   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2res
StepHypRef Expression
1 cnmpt2res.10 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝑀) Cn 𝐿))
2 cnmpt1res.5 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
3 cnmpt2res.9 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑍)
4 xpss12 5704 . . . . 5 ((𝑌𝑋𝑊𝑍) → (𝑌 × 𝑊) ⊆ (𝑋 × 𝑍))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 × 𝑊) ⊆ (𝑋 × 𝑍))
6 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 cnmpt2res.8 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍))
8 txtopon 23615 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍)) → (𝐽 ×t 𝑀) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑍)))
96, 7, 8syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝑀) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑍)))
10 toponuni 22936 . . . . 5 ((𝐽 ×t 𝑀) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑍)) → (𝑋 × 𝑍) = (𝐽 ×t 𝑀))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝐽 ×t 𝑀))
125, 11sseqtrd 4036 . . 3 (𝜑 → (𝑌 × 𝑊) ⊆ (𝐽 ×t 𝑀))
13 eqid 2735 . . . 4 (𝐽 ×t 𝑀) = (𝐽 ×t 𝑀)
1413cnrest 23309 . . 3 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝑀) Cn 𝐿) ∧ (𝑌 × 𝑊) ⊆ (𝐽 ×t 𝑀)) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ↾ (𝑌 × 𝑊)) ∈ (((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) Cn 𝐿))
151, 12, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ↾ (𝑌 × 𝑊)) ∈ (((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) Cn 𝐿))
16 resmpo 7553 . . 3 ((𝑌𝑋𝑊𝑍) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ↾ (𝑌 × 𝑊)) = (𝑥𝑌, 𝑦𝑊𝐴))
172, 3, 16syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑍𝐴) ↾ (𝑌 × 𝑊)) = (𝑥𝑌, 𝑦𝑊𝐴))
18 topontop 22935 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
196, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
20 topontop 22935 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍) → 𝑀 ∈ Top)
217, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Top)
22 toponmax 22948 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
236, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐽)
2423, 2ssexd 5330 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ V)
25 toponmax 22948 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (TopOn‘𝑍) → 𝑍𝑀)
267, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑀)
2726, 3ssexd 5330 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ V)
28 txrest 23655 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑀 ∈ Top) ∧ (𝑌 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ V)) → ((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) = ((𝐽t 𝑌) ×t (𝑀t 𝑊)))
2919, 21, 24, 27, 28syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) = ((𝐽t 𝑌) ×t (𝑀t 𝑊)))
30 cnmpt1res.2 . . . . 5 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
31 cnmpt2res.7 . . . . 5 𝑁 = (𝑀t 𝑊)
3230, 31oveq12i 7443 . . . 4 (𝐾 ×t 𝑁) = ((𝐽t 𝑌) ×t (𝑀t 𝑊))
3329, 32eqtr4di 2793 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) = (𝐾 ×t 𝑁))
3433oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (((𝐽 ×t 𝑀) ↾t (𝑌 × 𝑊)) Cn 𝐿) = ((𝐾 ×t 𝑁) Cn 𝐿))
3515, 17, 343eltr3d 2853 1 (𝜑 → (𝑥𝑌, 𝑦𝑊𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝑁) Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963   cuni 4912   × cxp 5687  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  t crest 17467  Topctop 22915  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   ×t ctx 23584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251  df-tx 23586
This theorem is referenced by:  efmndtmd  24125  submtmd  24128  iimulcn  24981  iimulcnOLD  24982  cxpcn2  26804  cxpcn3  26806  cvxsconn  35228  cvmlift2lem6  35293  cvmlift2lem12  35299
  Copyright terms: Public domain W3C validator