Theorem wlkp1lem4 29872

Description: Lemma for wlkp1 29877. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Proof of Theorem wlkp1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	2	wlkf 29812	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
4		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	wlkp 29814	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
6	3, 5	jca 519	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)))
8		wlkp1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
9		wlkp1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
10	8, 9	eleqtrrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝑆))
11	10	elfvexd 6903	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
12	11	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝑆 ∈ V)
13		wlkp1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14		simprl 780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
15		snex 5396	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ V
16		unexg 7726	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ V) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) ∈ V)
17	14, 15, 16	sylancl 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) ∈ V)
18	13, 17	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝐻 ∈ V)
19		wlkp1.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
20		ovex 7429	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) ∈ V
21		fvex 6880	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
22	20, 21	fpm 8857	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → 𝑃 ∈ ((Vtx‘𝐺) ↑pm (0...(♯‘𝐹))))
23	22	ad2antll 739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝑃 ∈ ((Vtx‘𝐺) ↑pm (0...(♯‘𝐹))))
24		snex 5396	. . . . 5 ⊢ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩} ∈ V
25		unexg 7726	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ((Vtx‘𝐺) ↑pm (0...(♯‘𝐹))) ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩} ∈ V) → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ V)
26	23, 24, 25	sylancl 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ V)
27	19, 26	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝑄 ∈ V)
28	12, 18, 27	3jca 1141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
29	7, 28	mpdan 697	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  {csn 4582  {cpr 4584  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  Fun wfun 6515  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_pm cpm 8809  Fincfn 8927  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076  ...cfz 13512  ♯chash 14343  Word cword 14526  Vtxcvtx 29194  iEdgciedg 29195  Edgcedg 29245  Walkscwlks 29794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-wlks 29797

This theorem is referenced by:  wlkp1  29877