Theorem wlkp1lem4 30312

Description: Lemma for wlkp1 30317. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Proof of Theorem wlkp1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	2	wlkf 30252	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	wlkp 30254	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
6	3, 5	jca 521	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)))
7	1, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)))
8		wlkp1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
9		wlkp1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
10	8, 9	eleqtrrd 2867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝑆))
11	10	elfvexd 6952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝑆 ∈ V)
13		wlkp1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
15		snex 5404	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ V
16		unexg 7792	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ V) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) ∈ V)
17	14, 15, 16	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) ∈ V)
18	13, 17	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝐻 ∈ V)
19		wlkp1.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
20		ovex 7484	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) ∈ V
21		fvex 6929	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
22	20, 21	fpm 8941	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → 𝑃 ∈ ((Vtx‘𝐺) ↑pm (0...(♯‘𝐹))))
23	22	ad2antll 742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝑃 ∈ ((Vtx‘𝐺) ↑pm (0...(♯‘𝐹))))
24		snex 5404	. . . . 5 ⊢ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩} ∈ V
25		unexg 7792	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ((Vtx‘𝐺) ↑pm (0...(♯‘𝐹))) ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩} ∈ V) → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ V)
26	23, 24, 25	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ V)
27	19, 26	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝑄 ∈ V)
28	12, 18, 27	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
29	7, 28	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  Fun wfun 6560  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_pm cpm 8886  Fincfn 9011  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242  ...cfz 13679  ♯chash 14515  Word cword 14699  Vtxcvtx 29631  iEdgciedg 29632  Edgcedg 29682  Walkscwlks 30234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-wlks 30237

This theorem is used by:  wlkp1  30317