MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wlkp1lem4 28922
Description: Lemma for wlkp1 28927. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
wlkp1.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
wlkp1.a (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
wlkp1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
wlkp1.d (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
wlkp1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
wlkp1.x (πœ‘ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), 𝐢} βŠ† 𝐸)
wlkp1.u (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})
wlkp1.s (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
Proof of Theorem wlkp1lem4
StepHypRef Expression
1 wlkp1.w . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
2 eqid 2732 . . . . 5 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
32wlkf 28860 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
4 eqid 2732 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
54wlkp 28862 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
63, 5jca 512 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
71, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
8 wlkp1.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
9 wlkp1.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
108, 9eleqtrrd 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜π‘†))
1110elfvexd 6927 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
1211adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ 𝑆 ∈ V)
13 wlkp1.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})
14 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
15 snex 5430 . . . . 5 {βŸ¨π‘, 𝐡⟩} ∈ V
16 unexg 7732 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩} ∈ V) β†’ (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}) ∈ V)
1714, 15, 16sylancl 586 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}) ∈ V)
1813, 17eqeltrid 2837 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ 𝐻 ∈ V)
19 wlkp1.q . . . 4 𝑄 = (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})
20 ovex 7438 . . . . . . 7 (0...(β™―β€˜πΉ)) ∈ V
21 fvex 6901 . . . . . . 7 (Vtxβ€˜πΊ) ∈ V
2220, 21fpm 8865 . . . . . 6 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ 𝑃 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) ↑pm (0...(β™―β€˜πΉ))))
2322ad2antll 727 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ 𝑃 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) ↑pm (0...(β™―β€˜πΉ))))
24 snex 5430 . . . . 5 {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩} ∈ V
25 unexg 7732 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) ↑pm (0...(β™―β€˜πΉ))) ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩} ∈ V) β†’ (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩}) ∈ V)
2623, 24, 25sylancl 586 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩}) ∈ V)
2719, 26eqeltrid 2837 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ 𝑄 ∈ V)
2812, 18, 273jca 1128 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
297, 28mpdan 685 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8817  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ...cfz 13480  β™―chash 14286  Word cword 14460  Vtxcvtx 28245  iEdgciedg 28246  Edgcedg 28296  Walkscwlks 28842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-wlks 28845
This theorem is referenced by:  wlkp1  28927
  Copyright terms: Public domain W3C validator