Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem4 27470
 Description: Lemma for wlkp1 27475. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵𝑊)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem4 (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Proof of Theorem wlkp1lem4
StepHypRef Expression
1 wlkp1.w . . 3 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2 eqid 2801 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
32wlkf 27408 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
4 eqid 2801 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
54wlkp 27410 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
63, 5jca 515 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)))
71, 6syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)))
8 wlkp1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
9 wlkp1.s . . . . . 6 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
108, 9eleqtrrd 2896 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (Vtx‘𝑆))
1110elfvexd 6683 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
1211adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝑆 ∈ V)
13 wlkp1.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
15 snex 5300 . . . . 5 {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ V
16 unexg 7456 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ V) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) ∈ V)
1714, 15, 16sylancl 589 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) ∈ V)
1813, 17eqeltrid 2897 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝐻 ∈ V)
19 wlkp1.q . . . 4 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
20 ovex 7172 . . . . . . 7 (0...(♯‘𝐹)) ∈ V
21 fvex 6662 . . . . . . 7 (Vtx‘𝐺) ∈ V
2220, 21fpm 8426 . . . . . 6 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → 𝑃 ∈ ((Vtx‘𝐺) ↑pm (0...(♯‘𝐹))))
2322ad2antll 728 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝑃 ∈ ((Vtx‘𝐺) ↑pm (0...(♯‘𝐹))))
24 snex 5300 . . . . 5 {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩} ∈ V
25 unexg 7456 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ((Vtx‘𝐺) ↑pm (0...(♯‘𝐹))) ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩} ∈ V) → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ V)
2623, 24, 25sylancl 589 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ V)
2719, 26eqeltrid 2897 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝑄 ∈ V)
2812, 18, 273jca 1125 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
297, 28mpdan 686 1 (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ∪ cun 3882   ⊆ wss 3884  {csn 4528  {cpr 4530  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  Fun wfun 6322  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑pm cpm 8394  Fincfn 8496  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  ...cfz 12889  ♯chash 13690  Word cword 13861  Vtxcvtx 26793  iEdgciedg 26794  Edgcedg 26844  Walkscwlks 27390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-wlks 27393 This theorem is referenced by:  wlkp1  27475
 Copyright terms: Public domain W3C validator