MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wlkp1lem4 29442
Description: Lemma for wlkp1 29447. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
wlkp1.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
wlkp1.a (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
wlkp1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
wlkp1.d (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
wlkp1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
wlkp1.x (πœ‘ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), 𝐢} βŠ† 𝐸)
wlkp1.u (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})
wlkp1.s (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
Proof of Theorem wlkp1lem4
StepHypRef Expression
1 wlkp1.w . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
2 eqid 2726 . . . . 5 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
32wlkf 29380 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
4 eqid 2726 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
54wlkp 29382 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
63, 5jca 511 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
71, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
8 wlkp1.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
9 wlkp1.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
108, 9eleqtrrd 2830 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜π‘†))
1110elfvexd 6924 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
1211adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ 𝑆 ∈ V)
13 wlkp1.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})
14 simprl 768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
15 snex 5424 . . . . 5 {βŸ¨π‘, 𝐡⟩} ∈ V
16 unexg 7733 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩} ∈ V) β†’ (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}) ∈ V)
1714, 15, 16sylancl 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩}) ∈ V)
1813, 17eqeltrid 2831 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ 𝐻 ∈ V)
19 wlkp1.q . . . 4 𝑄 = (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})
20 ovex 7438 . . . . . . 7 (0...(β™―β€˜πΉ)) ∈ V
21 fvex 6898 . . . . . . 7 (Vtxβ€˜πΊ) ∈ V
2220, 21fpm 8871 . . . . . 6 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ 𝑃 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) ↑pm (0...(β™―β€˜πΉ))))
2322ad2antll 726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ 𝑃 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) ↑pm (0...(β™―β€˜πΉ))))
24 snex 5424 . . . . 5 {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩} ∈ V
25 unexg 7733 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) ↑pm (0...(β™―β€˜πΉ))) ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩} ∈ V) β†’ (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩}) ∈ V)
2623, 24, 25sylancl 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩}) ∈ V)
2719, 26eqeltrid 2831 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ 𝑄 ∈ V)
2812, 18, 273jca 1125 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
297, 28mpdan 684 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  Fun wfun 6531  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8823  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  ...cfz 13490  β™―chash 14295  Word cword 14470  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  Edgcedg 28815  Walkscwlks 29362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-wlks 29365
This theorem is referenced by:  wlkp1  29447
  Copyright terms: Public domain W3C validator