Theorem wlkp1lem4 29648

Description: Lemma for wlkp1 29653. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem4	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Proof of Theorem wlkp1lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	2	wlkf 29588	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	wlkp 29590	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
6	3, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)))
8		wlkp1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
9		wlkp1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
10	8, 9	eleqtrrd 2834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝑆))
11	10	elfvexd 6853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝑆 ∈ V)
13		wlkp1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
15		snex 5369	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ V
16		unexg 7671	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ V) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) ∈ V)
17	14, 15, 16	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) ∈ V)
18	13, 17	eqeltrid 2835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝐻 ∈ V)
19		wlkp1.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
20		ovex 7374	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) ∈ V
21		fvex 6830	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
22	20, 21	fpm 8794	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → 𝑃 ∈ ((Vtx‘𝐺) ↑pm (0...(♯‘𝐹))))
23	22	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝑃 ∈ ((Vtx‘𝐺) ↑pm (0...(♯‘𝐹))))
24		snex 5369	. . . . 5 ⊢ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩} ∈ V
25		unexg 7671	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ((Vtx‘𝐺) ↑pm (0...(♯‘𝐹))) ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩} ∈ V) → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ V)
26	23, 24, 25	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ V)
27	19, 26	eqeltrid 2835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → 𝑄 ∈ V)
28	12, 18, 27	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))) → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
29	7, 28	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  {csn 4571  {cpr 4573  ⟨cop 4577   class class class wbr 5086  dom cdm 5611  Fun wfun 6470  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ↑_pm cpm 8746  Fincfn 8864  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004  ...cfz 13402  ♯chash 14232  Word cword 14415  Vtxcvtx 28969  iEdgciedg 28970  Edgcedg 29020  Walkscwlks 29570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-hash 14233  df-word 14416  df-wlks 29573

This theorem is referenced by:  wlkp1  29653