Theorem wlkp1lem7 29746

Description: Lemma for wlkp1 29748. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem7	⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)))

Proof of Theorem wlkp1lem7

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
2		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑁))
3		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))
4	2, 3	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑄‘𝑁) = (𝑃‘𝑁)))
5		wlkp1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		wlkp1.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
8		wlkp1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		wlkp1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		wlkp1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
11		wlkp1.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
12		wlkp1.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13		wlkp1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
14		wlkp1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
15		wlkp1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16		wlkp1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17		wlkp1.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18		wlkp1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
19	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18	wlkp1lem5 29744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
20		wlkcl 29684	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21	13	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
22	21	eleq1i 2827	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0)
23		nn0fz0 13579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24	22, 23	sylbb 219	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
25	12, 20, 24	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
26	4, 19, 25	rspcdva 3565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))
27	17	fveq1i 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘(𝑁 + 1)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1))
28		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
29	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	wlkp1lem1 29740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
30		fsnunfv 7142	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
31	28, 10, 29, 30	mp3an2i 1469	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
32	27, 31	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
33	26, 32	preq12d 4685	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), 𝐶})
34		fsnunfv 7142	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
35	9, 14, 11, 34	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
36	1, 33, 35	3sstr4d 3977	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
37	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16	wlkp1lem3 29742	. 2 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
38	36, 37	sseqtrrd 3959	1 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  {csn 4567  {cpr 4569  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  Fun wfun 6492  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461  ♯chash 14292  Vtxcvtx 29065  iEdgciedg 29066  Edgcedg 29116  Walkscwlks 29665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-wlks 29668

This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  29747