MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem7 26987
Description: Lemma for wlkp1 26989. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem7 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)))

Proof of Theorem wlkp1lem7
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkp1.x . . 3 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
2 fveq2 6437 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑁))
3 fveq2 6437 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))
42, 3eqeq12d 2840 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑄𝑘) = (𝑃𝑘) ↔ (𝑄𝑁) = (𝑃𝑁)))
5 wlkp1.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6 wlkp1.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7 wlkp1.f . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐼)
8 wlkp1.a . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
9 wlkp1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
10 wlkp1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
11 wlkp1.d . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
12 wlkp1.w . . . . . 6 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13 wlkp1.n . . . . . 6 𝑁 = (♯‘𝐹)
14 wlkp1.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
15 wlkp1.u . . . . . 6 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16 wlkp1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17 wlkp1.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18 wlkp1.s . . . . . 6 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
195, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18wlkp1lem5 26985 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
20 wlkcl 26920 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2113eqcomi 2834 . . . . . . . 8 (♯‘𝐹) = 𝑁
2221eleq1i 2897 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
23 nn0fz0 12739 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
2422, 23sylbb 211 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
2512, 20, 243syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
264, 19, 25rspcdva 3532 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑁) = (𝑃𝑁))
2717fveq1i 6438 . . . . 5 (𝑄‘(𝑁 + 1)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1))
28 ovex 6942 . . . . . 6 (𝑁 + 1) ∈ V
295, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13wlkp1lem1 26981 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
30 fsnunfv 6714 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
3128, 10, 29, 30mp3an2i 1594 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
3227, 31syl5eq 2873 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
3326, 32preq12d 4496 . . 3 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃𝑁), 𝐶})
34 fsnunfv 6714 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
359, 14, 11, 34syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
361, 33, 353sstr4d 3873 . 2 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
375, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16wlkp1lem3 26983 . 2 (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
3836, 37sseqtr4d 3867 1 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  Vcvv 3414  cun 3796  wss 3798  {csn 4399  {cpr 4401  cop 4405   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  Fun wfun 6121  cfv 6127  (class class class)co 6910  Fincfn 8228  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262  0cn0 11625  ...cfz 12626  chash 13417  Vtxcvtx 26301  iEdgciedg 26302  Edgcedg 26352  Walkscwlks 26901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-ifp 1090  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582  df-wlks 26904
This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  26988
  Copyright terms: Public domain W3C validator