MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem7 27799
Description: Lemma for wlkp1 27801. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵𝑊)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem7 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)))

Proof of Theorem wlkp1lem7
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkp1.x . . 3 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
2 fveq2 6739 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑁))
3 fveq2 6739 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))
42, 3eqeq12d 2755 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑄𝑘) = (𝑃𝑘) ↔ (𝑄𝑁) = (𝑃𝑁)))
5 wlkp1.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6 wlkp1.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7 wlkp1.f . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐼)
8 wlkp1.a . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
9 wlkp1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑊)
10 wlkp1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
11 wlkp1.d . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
12 wlkp1.w . . . . . 6 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13 wlkp1.n . . . . . 6 𝑁 = (♯‘𝐹)
14 wlkp1.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
15 wlkp1.u . . . . . 6 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16 wlkp1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17 wlkp1.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18 wlkp1.s . . . . . 6 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
195, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18wlkp1lem5 27797 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
20 wlkcl 27735 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2113eqcomi 2748 . . . . . . . 8 (♯‘𝐹) = 𝑁
2221eleq1i 2830 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
23 nn0fz0 13240 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
2422, 23sylbb 222 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
2512, 20, 243syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
264, 19, 25rspcdva 3554 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑁) = (𝑃𝑁))
2717fveq1i 6740 . . . . 5 (𝑄‘(𝑁 + 1)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1))
28 ovex 7268 . . . . . 6 (𝑁 + 1) ∈ V
295, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13wlkp1lem1 27793 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
30 fsnunfv 7024 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
3128, 10, 29, 30mp3an2i 1468 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
3227, 31syl5eq 2792 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
3326, 32preq12d 4674 . . 3 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃𝑁), 𝐶})
34 fsnunfv 7024 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
359, 14, 11, 34syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
361, 33, 353sstr4d 3965 . 2 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
375, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16wlkp1lem3 27795 . 2 (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
3836, 37sseqtrrd 3959 1 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1543  wcel 2112  Vcvv 3423  cun 3881  wss 3883  {csn 4558  {cpr 4560  cop 4564   class class class wbr 5070  dom cdm 5569  Fun wfun 6395  cfv 6401  (class class class)co 7235  Fincfn 8650  0cc0 10759  1c1 10760   + caddc 10762  0cn0 12120  ...cfz 13125  chash 13929  Vtxcvtx 27119  iEdgciedg 27120  Edgcedg 27170  Walkscwlks 27716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5196  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-cnex 10815  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-pre-mulgt0 10836
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-ifp 1064  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5179  df-id 5472  df-eprel 5478  df-po 5486  df-so 5487  df-fr 5527  df-we 5529  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-pred 6179  df-ord 6237  df-on 6238  df-lim 6239  df-suc 6240  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-om 7667  df-1st 7783  df-2nd 7784  df-wrecs 8071  df-recs 8132  df-rdg 8170  df-1o 8226  df-er 8415  df-map 8534  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-fin 8654  df-card 9585  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095  df-nn 11861  df-n0 12121  df-z 12207  df-uz 12469  df-fz 13126  df-fzo 13269  df-hash 13930  df-word 14103  df-wlks 27719
This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  27800
  Copyright terms: Public domain W3C validator