Theorem wlkp1lem7 30258

Description: Lemma for wlkp1 30260. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem7	⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)))

Proof of Theorem wlkp1lem7

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
2		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑁))
3		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))
4	2, 3	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑄‘𝑁) = (𝑃‘𝑁)))
5		wlkp1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		wlkp1.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
8		wlkp1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		wlkp1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		wlkp1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
11		wlkp1.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
12		wlkp1.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13		wlkp1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
14		wlkp1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
15		wlkp1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16		wlkp1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17		wlkp1.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18		wlkp1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
19	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18	wlkp1lem5 30256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
20		wlkcl 30196	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21	13	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
22	21	eleq1i 2852	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0)
23		nn0fz0 13759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24	22, 23	sylbb 222	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
25	12, 20, 24	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
26	4, 19, 25	rspcdva 3578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))
27	17	fveq1i 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘(𝑁 + 1)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1))
28		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
29	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	wlkp1lem1 30252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
30		fsnunfv 7192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
31	28, 10, 29, 30	mp3an2i 1495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
32	27, 31	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
33	26, 32	preq12d 4702	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), 𝐶})
34		fsnunfv 7192	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
35	9, 14, 11, 34	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
36	1, 33, 35	3sstr4d 3986	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
37	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16	wlkp1lem3 30254	. 2 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
38	36, 37	sseqtrrd 3968	1 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639  ♯chash 14474  Vtxcvtx 29574  iEdgciedg 29575  Edgcedg 29625  Walkscwlks 30177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-wlks 30180

This theorem is used by:  wlkp1lem8  30259