Theorem wlkp1lem7 29936

Description: Lemma for wlkp1 29938. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem7	⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)))

Proof of Theorem wlkp1lem7

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
2		fveq2 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑁))
3		fveq2 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))
4	2, 3	eqeq12d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑄‘𝑁) = (𝑃‘𝑁)))
5		wlkp1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		wlkp1.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
8		wlkp1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		wlkp1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		wlkp1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
11		wlkp1.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
12		wlkp1.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13		wlkp1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
14		wlkp1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
15		wlkp1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16		wlkp1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17		wlkp1.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18		wlkp1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
19	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18	wlkp1lem5 29934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
20		wlkcl 29874	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21	13	eqcomi 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
22	21	eleq1i 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0)
23		nn0fz0 13644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24	22, 23	sylbb 222	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
25	12, 20, 24	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
26	4, 19, 25	rspcdva 3585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))
27	17	fveq1i 6872	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘(𝑁 + 1)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1))
28		ovex 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
29	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	wlkp1lem1 29930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
30		fsnunfv 7175	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
31	28, 10, 29, 30	mp3an2i 1490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
32	27, 31	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
33	26, 32	preq12d 4703	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), 𝐶})
34		fsnunfv 7175	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
35	9, 14, 11, 34	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
36	1, 33, 35	3sstr4d 3994	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
37	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16	wlkp1lem3 29932	. 2 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
38	36, 37	sseqtrrd 3976	1 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907  {csn 4585  {cpr 4587  ⟨cop 4591   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  Fun wfun 6519  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091  ℕ₀cn0 12495  ...cfz 13526  ♯chash 14357  Vtxcvtx 29255  iEdgciedg 29256  Edgcedg 29306  Walkscwlks 29855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-wlks 29858

This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  29937