Theorem wlkp1lem7 29657

Description: Lemma for wlkp1 29659. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem7	⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)))

Proof of Theorem wlkp1lem7

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
2		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑁))
3		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))
4	2, 3	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑄‘𝑁) = (𝑃‘𝑁)))
5		wlkp1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		wlkp1.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
8		wlkp1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		wlkp1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		wlkp1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
11		wlkp1.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
12		wlkp1.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13		wlkp1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
14		wlkp1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
15		wlkp1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16		wlkp1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17		wlkp1.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18		wlkp1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
19	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18	wlkp1lem5 29655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
20		wlkcl 29595	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21	13	eqcomi 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
22	21	eleq1i 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0)
23		nn0fz0 13525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24	22, 23	sylbb 219	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
25	12, 20, 24	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
26	4, 19, 25	rspcdva 3578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))
27	17	fveq1i 6823	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘(𝑁 + 1)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1))
28		ovex 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
29	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	wlkp1lem1 29651	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
30		fsnunfv 7121	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
31	28, 10, 29, 30	mp3an2i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
32	27, 31	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
33	26, 32	preq12d 4694	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), 𝐶})
34		fsnunfv 7121	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
35	9, 14, 11, 34	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
36	1, 33, 35	3sstr4d 3990	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
37	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16	wlkp1lem3 29653	. 2 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
38	36, 37	sseqtrrd 3972	1 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4576  {cpr 4578  ⟨cop 4582   class class class wbr 5091  dom cdm 5616  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009  ℕ₀cn0 12381  ...cfz 13407  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  Edgcedg 29026  Walkscwlks 29576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-wlks 29579

This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  29658