MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem7 29712
Description: Lemma for wlkp1 29714. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵𝑊)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem7 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)))

Proof of Theorem wlkp1lem7
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkp1.x . . 3 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
2 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑁))
3 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))
42, 3eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑄𝑘) = (𝑃𝑘) ↔ (𝑄𝑁) = (𝑃𝑁)))
5 wlkp1.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6 wlkp1.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7 wlkp1.f . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐼)
8 wlkp1.a . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
9 wlkp1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑊)
10 wlkp1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
11 wlkp1.d . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
12 wlkp1.w . . . . . 6 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13 wlkp1.n . . . . . 6 𝑁 = (♯‘𝐹)
14 wlkp1.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
15 wlkp1.u . . . . . 6 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16 wlkp1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17 wlkp1.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18 wlkp1.s . . . . . 6 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
195, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18wlkp1lem5 29710 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
20 wlkcl 29648 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2113eqcomi 2744 . . . . . . . 8 (♯‘𝐹) = 𝑁
2221eleq1i 2830 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
23 nn0fz0 13662 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
2422, 23sylbb 219 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
2512, 20, 243syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
264, 19, 25rspcdva 3623 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑁) = (𝑃𝑁))
2717fveq1i 6908 . . . . 5 (𝑄‘(𝑁 + 1)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1))
28 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑁 + 1) ∈ V
295, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13wlkp1lem1 29706 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
30 fsnunfv 7207 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
3128, 10, 29, 30mp3an2i 1465 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
3227, 31eqtrid 2787 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
3326, 32preq12d 4746 . . 3 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃𝑁), 𝐶})
34 fsnunfv 7207 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
359, 14, 11, 34syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
361, 33, 353sstr4d 4043 . 2 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
375, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16wlkp1lem3 29708 . 2 (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
3836, 37sseqtrrd 4037 1 (𝜑 → {(𝑄𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  0cn0 12524  ...cfz 13544  chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  Walkscwlks 29629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-wlks 29632
This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  29713
  Copyright terms: Public domain W3C validator