Theorem wlkp1lem7 29697

Description: Lemma for wlkp1 29699. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem7	⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)))

Proof of Theorem wlkp1lem7

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
2		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑁))
3		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))
4	2, 3	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑄‘𝑁) = (𝑃‘𝑁)))
5		wlkp1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		wlkp1.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
8		wlkp1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		wlkp1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		wlkp1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
11		wlkp1.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
12		wlkp1.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
13		wlkp1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
14		wlkp1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
15		wlkp1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16		wlkp1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17		wlkp1.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18		wlkp1.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
19	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18	wlkp1lem5 29695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
20		wlkcl 29633	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
21	13	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
22	21	eleq1i 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0)
23		nn0fz0 13665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
24	22, 23	sylbb 219	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
25	12, 20, 24	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
26	4, 19, 25	rspcdva 3623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))
27	17	fveq1i 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘(𝑁 + 1)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1))
28		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
29	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	wlkp1lem1 29691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
30		fsnunfv 7207	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
31	28, 10, 29, 30	mp3an2i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
32	27, 31	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
33	26, 32	preq12d 4741	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), 𝐶})
34		fsnunfv 7207	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
35	9, 14, 11, 34	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵) = 𝐸)
36	1, 33, 35	3sstr4d 4039	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
37	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16	wlkp1lem3 29693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
38	36, 37	sseqtrrd 4021	1 ⊢ (𝜑 → {(𝑄‘𝑁), (𝑄‘(𝑁 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Fun wfun 6555  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  ℕ₀cn0 12526  ...cfz 13547  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Edgcedg 29064  Walkscwlks 29614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-wlks 29617

This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  29698