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Theorem wlkp1lem8 29204
Description: Lemma for wlkp1 29205. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
wlkp1.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
wlkp1.a (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
wlkp1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
wlkp1.d (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
wlkp1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
wlkp1.x (πœ‘ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), 𝐢} βŠ† 𝐸)
wlkp1.u (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})
wlkp1.s (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
wlkp1.l ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘)) β†’ 𝐸 = {𝐢})
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑁   𝑃,π‘˜   𝑄,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐻   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐸(π‘˜)   𝐼(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)

Proof of Theorem wlkp1lem8
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkp1.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 wlkp1.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 wlkp1.f . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
4 wlkp1.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
5 wlkp1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
6 wlkp1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
7 wlkp1.d . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼)
8 wlkp1.w . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
9 wlkp1.n . . . 4 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
10 wlkp1.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
11 wlkp1.x . . . 4 (πœ‘ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), 𝐢} βŠ† 𝐸)
12 wlkp1.u . . . 4 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
13 wlkp1.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})
14 wlkp1.q . . . 4 𝑄 = (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})
15 wlkp1.s . . . 4 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15wlkp1lem6 29202 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
1710elfvexd 6929 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V)
181, 2iswlkg 29137 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
209eqcomi 2739 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜πΉ) = 𝑁
2120oveq2i 7422 . . . . . . . 8 (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^𝑁)
2221raleqi 3321 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
2322biimpi 215 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
24233ad2ant3 1133 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
2519, 24syl6bi 252 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
268, 25mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
27 eqeq12 2747 . . . . . . 7 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
28273adant3 1130 . . . . . 6 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
29 simp3 1136 . . . . . . 7 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
30 simp1 1134 . . . . . . . 8 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
3130sneqd 4639 . . . . . . 7 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ {(π‘„β€˜π‘˜)} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)})
3229, 31eqeq12d 2746 . . . . . 6 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)} ↔ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
33 preq12 4738 . . . . . . . 8 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) β†’ {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
34333adant3 1130 . . . . . . 7 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
3534, 29sseq12d 4014 . . . . . 6 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ({(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
3628, 32, 35ifpbi123d 1076 . . . . 5 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
3736biimprd 247 . . . 4 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
3837ral2imi 3083 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
3916, 26, 38sylc 65 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13wlkp1lem3 29199 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = ((𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})β€˜π΅))
4140adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = ((𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})β€˜π΅))
425, 10, 73jca 1126 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ π‘Š ∧ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼))
4342adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝐡 ∈ π‘Š ∧ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼))
44 fsnunfv 7186 . . . . 5 ((𝐡 ∈ π‘Š ∧ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼) β†’ ((𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})β€˜π΅) = 𝐸)
4543, 44syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})β€˜π΅) = 𝐸)
46 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜π‘))
47 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘))
4846, 47eqeq12d 2746 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15wlkp1lem5 29201 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
502wlkf 29138 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
51 lencl 14487 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
529eleq1i 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
53 elnn0uz 12871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5452, 53sylbb1 236 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5551, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
568, 50, 553syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5756, 53sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
58 nn0fz0 13603 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
5957, 58sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
6048, 49, 59rspcdva 3612 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘))
6114fveq1i 6891 . . . . . . . . . . 11 (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) = ((𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})β€˜(𝑁 + 1))
62 ovex 7444 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 + 1) ∈ V
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9wlkp1lem1 29197 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
64 fsnunfv 7186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) β†’ ((𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})β€˜(𝑁 + 1)) = 𝐢)
6562, 6, 63, 64mp3an2i 1464 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})β€˜(𝑁 + 1)) = 𝐢)
6661, 65eqtrid 2782 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) = 𝐢)
6766eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘) = 𝐢))
68 eqcom 2737 . . . . . . . . 9 ((π‘ƒβ€˜π‘) = 𝐢 ↔ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘))
6967, 68bitrdi 286 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) ↔ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘)))
70 wlkp1.l . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘)) β†’ 𝐸 = {𝐢})
71 sneq 4637 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ {𝐢} = {(π‘ƒβ€˜π‘)})
7271adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘)) β†’ {𝐢} = {(π‘ƒβ€˜π‘)})
7370, 72eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘)) β†’ 𝐸 = {(π‘ƒβ€˜π‘)})
7473ex 411 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ 𝐸 = {(π‘ƒβ€˜π‘)}))
7569, 74sylbid 239 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) β†’ 𝐸 = {(π‘ƒβ€˜π‘)}))
76 eqeq1 2734 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ ((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))))
77 sneq 4637 . . . . . . . . 9 ((π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ {(π‘„β€˜π‘)} = {(π‘ƒβ€˜π‘)})
7877eqeq2d 2741 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ (𝐸 = {(π‘„β€˜π‘)} ↔ 𝐸 = {(π‘ƒβ€˜π‘)}))
7976, 78imbi12d 343 . . . . . . 7 ((π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ (((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) β†’ 𝐸 = {(π‘„β€˜π‘)}) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) β†’ 𝐸 = {(π‘ƒβ€˜π‘)})))
8075, 79syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ ((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) β†’ 𝐸 = {(π‘„β€˜π‘)})))
8160, 80mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) β†’ 𝐸 = {(π‘„β€˜π‘)}))
8281imp 405 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝐸 = {(π‘„β€˜π‘)})
8341, 45, 823eqtrd 2774 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)})
841, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15wlkp1lem7 29203 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)))
8584adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))) β†’ {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)))
8683, 85ifpimpda 1079 . 2 (πœ‘ β†’ if-((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)}, {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘))))
871, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13wlkp1lem2 29198 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») = (𝑁 + 1))
8887oveq2d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π»)) = (0..^(𝑁 + 1)))
89 fzosplitsn 13744 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁}))
9056, 89syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁}))
9188, 90eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π»)) = ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁}))
9291raleqdv 3323 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁})if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
93 ralunb 4190 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁})if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
9493a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁})if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))))))
959fvexi 6904 . . . . 5 𝑁 ∈ V
96 wkslem1 29131 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ if-((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)}, {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)))))
9796ralsng 4676 . . . . 5 (𝑁 ∈ V β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ if-((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)}, {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)))))
9895, 97mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ if-((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)}, {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)))))
9998anbi2d 627 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)))) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ∧ if-((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)}, {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘))))))
10092, 94, 993bitrd 304 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ∧ if-((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)}, {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘))))))
10139, 86, 100mpbir2and 709 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  if-wif 1059   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468  Vtxcvtx 28523  iEdgciedg 28524  Edgcedg 28574  Walkscwlks 29120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-wlks 29123
This theorem is referenced by:  wlkp1  29205
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