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Theorem wlkp1lem8 28937
Description: Lemma for wlkp1 28938. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
wlkp1.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
wlkp1.a (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
wlkp1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
wlkp1.d (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
wlkp1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
wlkp1.x (πœ‘ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), 𝐢} βŠ† 𝐸)
wlkp1.u (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})
wlkp1.s (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
wlkp1.l ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘)) β†’ 𝐸 = {𝐢})
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑁   𝑃,π‘˜   𝑄,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐻   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐸(π‘˜)   𝐼(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)

Proof of Theorem wlkp1lem8
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkp1.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 wlkp1.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 wlkp1.f . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
4 wlkp1.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
5 wlkp1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
6 wlkp1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
7 wlkp1.d . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼)
8 wlkp1.w . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
9 wlkp1.n . . . 4 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
10 wlkp1.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
11 wlkp1.x . . . 4 (πœ‘ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), 𝐢} βŠ† 𝐸)
12 wlkp1.u . . . 4 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
13 wlkp1.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})
14 wlkp1.q . . . 4 𝑄 = (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})
15 wlkp1.s . . . 4 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15wlkp1lem6 28935 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
1710elfvexd 6931 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V)
181, 2iswlkg 28870 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
209eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜πΉ) = 𝑁
2120oveq2i 7420 . . . . . . . 8 (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^𝑁)
2221raleqi 3324 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
2322biimpi 215 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
24233ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
2519, 24syl6bi 253 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
268, 25mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
27 eqeq12 2750 . . . . . . 7 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
28273adant3 1133 . . . . . 6 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
29 simp3 1139 . . . . . . 7 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
30 simp1 1137 . . . . . . . 8 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
3130sneqd 4641 . . . . . . 7 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ {(π‘„β€˜π‘˜)} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)})
3229, 31eqeq12d 2749 . . . . . 6 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)} ↔ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
33 preq12 4740 . . . . . . . 8 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) β†’ {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
34333adant3 1133 . . . . . . 7 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
3534, 29sseq12d 4016 . . . . . 6 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ({(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
3628, 32, 35ifpbi123d 1079 . . . . 5 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
3736biimprd 247 . . . 4 (((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
3837ral2imi 3086 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
3916, 26, 38sylc 65 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13wlkp1lem3 28932 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = ((𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})β€˜π΅))
4140adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = ((𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})β€˜π΅))
425, 10, 73jca 1129 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ π‘Š ∧ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼))
4342adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (𝐡 ∈ π‘Š ∧ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼))
44 fsnunfv 7185 . . . . 5 ((𝐡 ∈ π‘Š ∧ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼) β†’ ((𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})β€˜π΅) = 𝐸)
4543, 44syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})β€˜π΅) = 𝐸)
46 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜π‘))
47 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘))
4846, 47eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15wlkp1lem5 28934 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
502wlkf 28871 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
51 lencl 14483 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
529eleq1i 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
53 elnn0uz 12867 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5452, 53sylbb1 236 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5551, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
568, 50, 553syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
5756, 53sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
58 nn0fz0 13599 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
5957, 58sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
6048, 49, 59rspcdva 3614 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘))
6114fveq1i 6893 . . . . . . . . . . 11 (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) = ((𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})β€˜(𝑁 + 1))
62 ovex 7442 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 + 1) ∈ V
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9wlkp1lem1 28930 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
64 fsnunfv 7185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) β†’ ((𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})β€˜(𝑁 + 1)) = 𝐢)
6562, 6, 63, 64mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})β€˜(𝑁 + 1)) = 𝐢)
6661, 65eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) = 𝐢)
6766eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘) = 𝐢))
68 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 ((π‘ƒβ€˜π‘) = 𝐢 ↔ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘))
6967, 68bitrdi 287 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) ↔ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘)))
70 wlkp1.l . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘)) β†’ 𝐸 = {𝐢})
71 sneq 4639 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ {𝐢} = {(π‘ƒβ€˜π‘)})
7271adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘)) β†’ {𝐢} = {(π‘ƒβ€˜π‘)})
7370, 72eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘)) β†’ 𝐸 = {(π‘ƒβ€˜π‘)})
7473ex 414 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ 𝐸 = {(π‘ƒβ€˜π‘)}))
7569, 74sylbid 239 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) β†’ 𝐸 = {(π‘ƒβ€˜π‘)}))
76 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ ((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))))
77 sneq 4639 . . . . . . . . 9 ((π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ {(π‘„β€˜π‘)} = {(π‘ƒβ€˜π‘)})
7877eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ (𝐸 = {(π‘„β€˜π‘)} ↔ 𝐸 = {(π‘ƒβ€˜π‘)}))
7976, 78imbi12d 345 . . . . . . 7 ((π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ (((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) β†’ 𝐸 = {(π‘„β€˜π‘)}) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) β†’ 𝐸 = {(π‘ƒβ€˜π‘)})))
8075, 79syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ ((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) β†’ 𝐸 = {(π‘„β€˜π‘)})))
8160, 80mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)) β†’ 𝐸 = {(π‘„β€˜π‘)}))
8281imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝐸 = {(π‘„β€˜π‘)})
8341, 45, 823eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)})
841, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15wlkp1lem7 28936 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)))
8584adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1))) β†’ {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)))
8683, 85ifpimpda 1082 . 2 (πœ‘ β†’ if-((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)}, {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘))))
871, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13wlkp1lem2 28931 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») = (𝑁 + 1))
8887oveq2d 7425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π»)) = (0..^(𝑁 + 1)))
89 fzosplitsn 13740 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁}))
9056, 89syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁}))
9188, 90eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π»)) = ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁}))
9291raleqdv 3326 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁})if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
93 ralunb 4192 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁})if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)))))
9493a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ((0..^𝑁) βˆͺ {𝑁})if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))))))
959fvexi 6906 . . . . 5 𝑁 ∈ V
96 wkslem1 28864 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ if-((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)}, {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)))))
9796ralsng 4678 . . . . 5 (𝑁 ∈ V β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ if-((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)}, {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)))))
9895, 97mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ if-((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)}, {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)))))
9998anbi2d 630 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑁}if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)))) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ∧ if-((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)}, {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘))))))
10092, 94, 993bitrd 305 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))) ∧ if-((π‘„β€˜π‘) = (π‘„β€˜(𝑁 + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘)) = {(π‘„β€˜π‘)}, {(π‘„β€˜π‘), (π‘„β€˜(𝑁 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘))))))
10139, 86, 100mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))if-((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = {(π‘„β€˜π‘˜)}, {(π‘„β€˜π‘˜), (π‘„β€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  if-wif 1062   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  Edgcedg 28307  Walkscwlks 28853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-wlks 28856
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