Theorem xmetrtri2 24582

Description: The reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. In order to express the "extended absolute value function", we use the distance function xrsdsval 21624 defined on the extended real structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmetrtri2.1	⊢ 𝐾 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xmetrtri2	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem xmetrtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetcl 24557	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
2	1	3adant3r2 1202	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
3		xmetcl 24557	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
4	3	3adant3r1 1201	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
5		xmetrtri2.1	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (dist‘ℝ*𝑠)
6	5	xrsdsval 21624	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))))
7	2, 4, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))))
8		3ancoma 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
9		xmetrtri 24581	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
10	8, 9	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
11		xmetsym 24573	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
12	11	3adant3r3 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
13	10, 12	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
14		xmetrtri 24581	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
15		breq1 5106	. . . 4 ⊢ (((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) → (((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵)))
16		breq1 5106	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) → (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵)))
17	15, 16	ifboth 4522	. . 3 ⊢ ((((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ∧ ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵)) → if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
18	13, 14, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
19	7, 18	eqbrtrd 5127	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268  -_𝑒cxne 13160   +_𝑒 cxad 13161  distcds 17351  ℝ^*_𝑠cxrs 17586  ∞Metcxmet 21570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-xrs 17588  df-xmet 21578

This theorem is used by:  metrtri  24583  metdcnlem  25063