Theorem xmetrtri2 24261

Description: The reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. In order to express the "extended absolute value function", we use the distance function xrsdsval 21342 defined on the extended real structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmetrtri2.1	⊢ 𝐾 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xmetrtri2	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem xmetrtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetcl 24236	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
2	1	3adant3r2 1181	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
3		xmetcl 24236	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
4	3	3adant3r1 1180	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
5		xmetrtri2.1	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (dist‘ℝ*𝑠)
6	5	xrsdsval 21342	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))))
7	2, 4, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))))
8		3ancoma 1096	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
9		xmetrtri 24260	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
10	8, 9	sylan2b 593	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
11		xmetsym 24252	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
12	11	3adant3r3 1182	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
13	10, 12	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
14		xmetrtri 24260	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
15		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) → (((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵)))
16		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) → (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵)))
17	15, 16	ifboth 4568	. . 3 ⊢ ((((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ∧ ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵)) → if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
18	13, 14, 17	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
19	7, 18	eqbrtrd 5170	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4529   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝ^*cxr 11277   ≤ cle 11279  -_𝑒cxne 13121   +_𝑒 cxad 13122  distcds 17241  ℝ^*_𝑠cxrs 17481  ∞Metcxmet 21263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-xrs 17483  df-xmet 21271

This theorem is referenced by:  metrtri  24262  metdcnlem  24751