Theorem xmetrtri2 24183

Description: The reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. In order to express the "extended absolute value function", we use the distance function xrsdsval 21272 defined on the extended real structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmetrtri2.1	⊢ 𝐾 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xmetrtri2	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem xmetrtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetcl 24158	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
2	1	3adant3r2 1180	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
3		xmetcl 24158	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
4	3	3adant3r1 1179	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
5		xmetrtri2.1	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (dist‘ℝ*𝑠)
6	5	xrsdsval 21272	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))))
7	2, 4, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))))
8		3ancoma 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
9		xmetrtri 24182	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
10	8, 9	sylan2b 593	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
11		xmetsym 24174	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
12	11	3adant3r3 1181	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
13	10, 12	breqtrrd 5166	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
14		xmetrtri 24182	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
15		breq1 5141	. . . 4 ⊢ (((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) → (((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵)))
16		breq1 5141	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) → (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵)))
17	15, 16	ifboth 4559	. . 3 ⊢ ((((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ∧ ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵)) → if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
18	13, 14, 17	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
19	7, 18	eqbrtrd 5160	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4520   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245  -_𝑒cxne 13085   +_𝑒 cxad 13086  distcds 17204  ℝ^*_𝑠cxrs 17444  ∞Metcxmet 21212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-fz 13481  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-xrs 17446  df-xmet 21220

This theorem is referenced by:  metrtri  24184  metdcnlem  24673