MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0lem1lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0lem1lt 12492
Description: Extended nonnegative integer ordering relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
xnn0lem1lt ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))

Proof of Theorem xnn0lem1lt
StepHypRef Expression
1 nn0lem1lt 11901 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
21adantlr 711 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
3 nn0re 11759 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
43rexrd 10542 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ*)
5 pnfge 12380 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ*𝑀 ≤ +∞)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ +∞)
76ad2antrr 722 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ +∞)
8 simpll 763 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9 peano2rem 10806 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
10 ltpnf 12370 . . . . 5 ((𝑀 − 1) ∈ ℝ → (𝑀 − 1) < +∞)
118, 3, 9, 104syl 19 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 1) < +∞)
127, 112thd 266 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ +∞ ↔ (𝑀 − 1) < +∞))
13 xnn0nnn0pnf 11833 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = +∞)
1413adantll 710 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = +∞)
1514breq2d 4978 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁𝑀 ≤ +∞))
1614breq2d 4978 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < +∞))
1712, 15, 163bitr4d 312 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
182, 17pm2.61dan 809 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4966  (class class class)co 7021  cr 10387  1c1 10389  +∞cpnf 10523  *cxr 10525   < clt 10526  cle 10527  cmin 10722  0cn0 11750  0*cxnn0 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-n0 11751  df-xnn0 11821  df-z 11835
This theorem is referenced by:  xnn01gt  30188  drngdimgt0  30625  cusgracyclt3v  32018
  Copyright terms: Public domain W3C validator