Theorem xnn0lem1lt 12907

Description: Extended nonnegative integer ordering relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0lem1lt	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))

Proof of Theorem xnn0lem1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0lem1lt 12315	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
2	1	adantlr 711	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
3		nn0re 12172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 10956	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ*)
5		pnfge 12795	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → 𝑀 ≤ +∞)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ +∞)
7	6	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ +∞)
8		simpll 763	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		peano2rem 11218	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
10		ltpnf 12785	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℝ → (𝑀 − 1) < +∞)
11	8, 3, 9, 10	4syl 19	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 1) < +∞)
12	7, 11	2thd 264	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ +∞ ↔ (𝑀 − 1) < +∞))
13		xnn0nnn0pnf 12248	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = +∞)
14	13	adantll 710	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = +∞)
15	14	breq2d 5082	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ +∞))
16	14	breq2d 5082	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < +∞))
17	12, 15, 16	3bitr4d 310	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
18	2, 17	pm2.61dan 809	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  ℕ₀^*cxnn0 12235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250

This theorem is referenced by:  xnn01gt  30995  drngdimgt0  31603  cusgracyclt3v  33018