Theorem xnn0lem1lt 13276

Description: Extended nonnegative integer ordering relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0lem1lt	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))

Proof of Theorem xnn0lem1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0lem1lt 12667	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
2	1	adantlr 727	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
3		nn0re 12519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ*)
5		pnfge 13161	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → 𝑀 ≤ +∞)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ +∞)
7	6	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ +∞)
8		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		peano2rem 11531	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
10		ltpnf 13151	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℝ → (𝑀 − 1) < +∞)
11	8, 3, 9, 10	4syl 20	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 1) < +∞)
12	7, 11	2thd 268	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ +∞ ↔ (𝑀 − 1) < +∞))
13		xnn0nnn0pnf 12596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = +∞)
14	13	adantll 726	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = +∞)
15	14	breq2d 5120	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ +∞))
16	14	breq2d 5120	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < +∞))
17	12, 15, 16	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
18	2, 17	pm2.61dan 824	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  1c1 11107  +∞cpnf 11246  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447  ℕ₀cn0 12510  ℕ₀^*cxnn0 12583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598

This theorem is used by:  xnn01gt  33126  drngdimgt0  34017  cusgracyclt3v  35656