Theorem xnn0lem1lt 13269

Description: Extended nonnegative integer ordering relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0lem1lt	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))

Proof of Theorem xnn0lem1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0lem1lt 12660	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
2	1	adantlr 727	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
3		nn0re 12512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11258	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ*)
5		pnfge 13154	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → 𝑀 ≤ +∞)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ≤ +∞)
7	6	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ +∞)
8		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		peano2rem 11524	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
10		ltpnf 13144	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℝ → (𝑀 − 1) < +∞)
11	8, 3, 9, 10	4syl 20	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 1) < +∞)
12	7, 11	2thd 268	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ +∞ ↔ (𝑀 − 1) < +∞))
13		xnn0nnn0pnf 12589	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = +∞)
14	13	adantll 726	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = +∞)
15	14	breq2d 5120	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ +∞))
16	14	breq2d 5120	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < +∞))
17	12, 15, 16	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
18	2, 17	pm2.61dan 824	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0*) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  1c1 11100  +∞cpnf 11239  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  ℕ₀cn0 12503  ℕ₀^*cxnn0 12576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591

This theorem is referenced by:  xnn01gt  33081  drngdimgt0  33974  cusgracyclt3v  35602