Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0lem1lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0lem1lt 12627
 Description: Extended nonnegative integer ordering relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
xnn0lem1lt ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))

Proof of Theorem xnn0lem1lt
StepHypRef Expression
1 nn0lem1lt 12037 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
21adantlr 714 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
3 nn0re 11896 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
43rexrd 10682 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ*)
5 pnfge 12515 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ*𝑀 ≤ +∞)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ +∞)
76ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ +∞)
8 simpll 766 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9 peano2rem 10944 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
10 ltpnf 12505 . . . . 5 ((𝑀 − 1) ∈ ℝ → (𝑀 − 1) < +∞)
118, 3, 9, 104syl 19 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 1) < +∞)
127, 112thd 268 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ +∞ ↔ (𝑀 − 1) < +∞))
13 xnn0nnn0pnf 11970 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = +∞)
1413adantll 713 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = +∞)
1514breq2d 5042 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁𝑀 ≤ +∞))
1614breq2d 5042 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < +∞))
1712, 15, 163bitr4d 314 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
182, 17pm2.61dan 812 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0*) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10527  1c1 10529  +∞cpnf 10663  ℝ*cxr 10665   < clt 10666   ≤ cle 10667   − cmin 10861  ℕ0cn0 11887  ℕ0*cxnn0 11957 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-n0 11888  df-xnn0 11958  df-z 11972 This theorem is referenced by:  xnn01gt  30528  drngdimgt0  31116  cusgracyclt3v  32528
 Copyright terms: Public domain W3C validator