Theorem xpomen 10039

Description: The Cartesian product of omega (the set of ordinal natural numbers) with itself is equinumerous to omega. Exercise 1 of [Enderton] p. 133. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
xpomen	⊢ (ω × ω) ≈ ω

Proof of Theorem xpomen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9670	. 2 ⊢ ω ∈ On
2		ssid 4002	. 2 ⊢ ω ⊆ ω
3		infxpen 10038	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ⊆ ω) → (ω × ω) ≈ ω)
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ (ω × ω) ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148   × cxp 5676  Oncon0 6369  ωcom 7870   ≈ cen 8961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9534  df-card 9963

This theorem is referenced by:  xpct  10040  infxpenc2  10046  iunfictbso  10138  unctb  10229  fnct  10561  iunctb  10598  xpnnen  16188  rexpen  16205  2ndcctbss  23372  tx2ndc  23568  met2ndci  24444  dyadmbl  25542