Theorem xpomen 9916

Description: The Cartesian product of omega (the set of ordinal natural numbers) with itself is equinumerous to omega. Exercise 1 of [Enderton] p. 133. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
xpomen	⊢ (ω × ω) ≈ ω

Proof of Theorem xpomen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9546	. 2 ⊢ ω ∈ On
2		ssid 3954	. 2 ⊢ ω ⊆ ω
3		infxpen 9915	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ⊆ ω) → (ω × ω) ≈ ω)
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ (ω × ω) ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5095   × cxp 5619  Oncon0 6314  ωcom 7805   ≈ cen 8875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-oi 9406  df-card 9842

This theorem is referenced by:  xpct  9917  infxpenc2  9923  iunfictbso  10015  unctb  10105  fnct  10438  iunctb  10475  xpnnen  16130  rexpen  16147  2ndcctbss  23380  tx2ndc  23576  met2ndci  24447  dyadmbl  25538