Theorem xpsless 17540

Description: Closure of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsle.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsle.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsle.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsle.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsle.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsle.p	⊢ ≤ = (le‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsless	⊢ (𝜑 → ≤ ⊆ ((𝑋 × 𝑌) × (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem xpsless

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsle.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsle.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
3		xpsle.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
4		xpsle.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		xpsle.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
6		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17532	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17533	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
11	6	xpsff1o2 17531	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
12		f1ocnv 6786	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
13	11, 12	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
14		f1ofo 6781	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–onto→(𝑋 × 𝑌))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–onto→(𝑋 × 𝑌))
16		ovexd 7398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
17		xpsle.p	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝑇)
18	9, 10, 15, 16, 17	imasless 17502	1 ⊢ (𝜑 → ≤ ⊆ ((𝑋 × 𝑌) × (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {cpr 4564  ⟨cop 4568   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  1_oc1o 8395  Basecbs 17177  Scalarcsca 17221  lecple 17225  X_scprds 17406   ×_s cxps 17468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-prds 17408  df-imas 17470  df-xps 17472

This theorem is referenced by: (None)