MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsadd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xpsadd 17527
Description: Value of the addition operation in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsval.t 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
xpsval.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
xpsval.y π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
xpsval.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsval.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
xpsadd.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsadd.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
xpsadd.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
xpsadd.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
xpsadd.7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
xpsadd.8 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐷) ∈ π‘Œ)
xpsadd.m Β· = (+gβ€˜π‘…)
xpsadd.n Γ— = (+gβ€˜π‘†)
xpsadd.p βˆ™ = (+gβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
xpsadd (πœ‘ β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ βˆ™ ⟨𝐢, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩)
Proof of Theorem xpsadd
Dummy variables 𝑦 π‘˜ 𝑐 π‘₯ 𝑑 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsval.t . 2 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
2 xpsval.x . 2 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
3 xpsval.y . 2 π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
4 xpsval.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
5 xpsval.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
6 xpsadd.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7 xpsadd.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
8 xpsadd.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
9 xpsadd.6 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
10 xpsadd.7 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
11 xpsadd.8 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐷) ∈ π‘Œ)
12 xpsadd.m . 2 Β· = (+gβ€˜π‘…)
13 xpsadd.n . 2 Γ— = (+gβ€˜π‘†)
14 xpsadd.p . 2 βˆ™ = (+gβ€˜π‘‡)
15 eqid 2726 . 2 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
16 eqid 2726 . 2 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})
1715xpsff1o2 17522 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
18 f1ocnv 6838 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
1917, 18mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
20 f1ofo 6833 . . . 4 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
2119, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
2219f1ocpbl 17478 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) ∧ 𝑏 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})) ∧ (𝑐 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) ∧ 𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜π‘Ž) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜π‘) ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜π‘) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜π‘‘)) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜(π‘Ž(+gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))𝑏)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜(𝑐(+gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))𝑑))))
23 eqid 2726 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
241, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 16xpsval 17523 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
251, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 16xpsrnbas 17524 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
26 ovexd 7439 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) ∈ V)
27 eqid 2726 . . 3 (+gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (+gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
2821, 22, 24, 25, 26, 27, 14imasaddval 17485 . 2 ((πœ‘ ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) βˆ™ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (+gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})))
29 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
30 fvexd 6899 . . 3 (({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
31 2on 8478 . . . 4 2o ∈ On
3231a1i 11 . . 3 (({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))) β†’ 2o ∈ On)
33 simp1 1133 . . 3 (({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
34 simp2 1134 . . 3 (({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))) β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
35 simp3 1135 . . 3 (({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))) β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
3616, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 27prdsplusgval 17426 . 2 (({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))) β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (+gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = (π‘˜ ∈ 2o ↦ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(+gβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 28, 36xpsaddlem 17526 1 (πœ‘ β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ βˆ™ ⟨𝐢, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 Β· 𝐢), (𝐡 Γ— 𝐷)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670  Oncon0 6357   Fn wfn 6531  β€“ontoβ†’wfo 6534  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  1oc1o 8457  2oc2o 8458  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  Scalarcsca 17207  Xscprds 17398   Γ—s cxps 17459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-prds 17400  df-imas 17461  df-xps 17463
This theorem is referenced by:  xpsmnd0  18706  xpsinv  18986  xpsgrpsub  18987  rngqiprngghm  21150  pzriprnglem4  21367  pzriprnglem10  21373  pzriprng1ALT  21379
  Copyright terms: Public domain W3C validator