Theorem xpssca 17657

Description: Value of the scalar field of a binary structure product. For concreteness, we choose the scalar field to match the left argument, but in most cases where this slot is meaningful both factors will have the same scalar field, so that it doesn't matter which factor is chosen. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpssca.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpssca.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
xpssca.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpssca.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
xpssca	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Scalar‘𝑇))

Proof of Theorem xpssca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
2		xpssca.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
3	2	fvexi 6900	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
5		prex 5411	. . . 4 ⊢ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} ∈ V)
7	1, 4, 6	prdssca 17536	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Scalar‘(𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
8		xpssca.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
9		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11		xpssca.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
12		xpssca.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
14	8, 9, 10, 11, 12, 13, 2, 1	xpsval 17651	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 2, 1	xpsrnbas 17652	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘(𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
16	13	xpsff1o2 17650	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
17		f1ocnv 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
18	16, 17	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
19		f1ofo 6833	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
21		ovexd 7455	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
22		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Scalar‘(𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Scalar‘(𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
23	14, 15, 20, 21, 22	imassca 17600	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Scalar‘𝑇))
24	7, 23	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Scalar‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286  {cpr 4593  ⟨cop 4597   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  ran crn 5664  –onto→wfo 6539  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  1_oc1o 8453  Basecbs 17296  Scalarcsca 17340  X_scprds 17525   ×_s cxps 17587

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-sup 9410  df-inf 9411  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-fz 13557  df-struct 17234  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-hom 17361  df-cco 17362  df-prds 17527  df-imas 17589  df-xps 17591

This theorem is used by: (None)