Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsxmet 23075
 Description: A product metric of extended metrics is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsds.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsds.p 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsds.3 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
xpsds.4 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
xpsxmet (𝜑𝑃 ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem xpsxmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . 3 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2 xpsds.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑅)
3 xpsds.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝑆)
4 xpsds.1 . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
5 xpsds.2 . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
6 eqid 2759 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7 eqid 2759 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8 eqid 2759 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 16894 . 2 (𝜑𝑇 = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsrnbas 16895 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
116xpsff1o2 16893 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
12 f1ocnv 6615 . . 3 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
1311, 12mp1i 13 . 2 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
14 ovexd 7186 . 2 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
15 eqid 2759 . 2 ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) = ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
16 xpsds.p . 2 𝑃 = (dist‘𝑇)
17 xpsds.m . . . 4 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
18 xpsds.n . . . 4 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
19 xpsds.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
20 xpsds.4 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
211, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 18, 19, 20xpsxmetlem 23074 . . 3 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
22 ssid 3915 . . 3 ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ⊆ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
23 xmetres2 23056 . . 3 (((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) ∧ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ⊆ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
2421, 22, 23sylancl 590 . 2 (𝜑 → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
259, 10, 13, 14, 15, 16, 24imasf1oxmet 23070 1 (𝜑𝑃 ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  {cpr 4525  ⟨cop 4529   × cxp 5523  ◡ccnv 5524  ran crn 5526   ↾ cres 5527  –1-1-onto→wf1o 6335  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ∈ cmpo 7153  1oc1o 8106  Basecbs 16534  Scalarcsca 16619  distcds 16625  Xscprds 16770   ×s cxps 16830  ∞Metcxmet 20144 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-icc 12779  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-seq 13412  df-hash 13734  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-hom 16640  df-cco 16641  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-prds 16772  df-xrs 16826  df-imas 16832  df-xps 16834  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-submnd 18016  df-mulg 18285  df-cntz 18507  df-cmn 18968  df-xmet 20152 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator