Theorem xpsxmet 24441

Description: A product metric of extended metrics is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsds.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsds.p	⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m	⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n	⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsds.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
xpsds.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
xpsxmet	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem xpsxmet

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsds.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsds.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
3		xpsds.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
4		xpsds.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		xpsds.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17601	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17602	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
11	6	xpsff1o2 17600	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
12		f1ocnv 6820	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
13	11, 12	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
14		ovexd 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
15		eqid 2763	. 2 ⊢ ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) = ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
16		xpsds.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)
17		xpsds.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
18		xpsds.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
19		xpsds.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
20		xpsds.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
21	1, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 18, 19, 20	xpsxmetlem 24440	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
22		ssid 3959	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
23		xmetres2 24422	. . 3 ⊢ (((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
24	21, 22, 23	sylancl 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
25	9, 10, 13, 14, 15, 16, 24	imasf1oxmet 24436	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {cpr 4585  ⟨cop 4589   × cxp 5646  ^◡ccnv 5647  ran crn 5649   ↾ cres 5650  –1-1-onto→wf1o 6521  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397   ∈ cmpo 7399  1_oc1o 8431  Basecbs 17246  Scalarcsca 17290  distcds 17296  X_scprds 17475   ×_s cxps 17537  ∞Metcxmet 21410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-sup 9389  df-inf 9390  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-rp 12995  df-xneg 13115  df-xadd 13116  df-xmul 13117  df-icc 13357  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-hash 14345  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-hom 17311  df-cco 17312  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-prds 17477  df-xrs 17533  df-imas 17539  df-xps 17541  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-mulg 19111  df-cntz 19358  df-cmn 19823  df-xmet 21418

This theorem is referenced by: (None)