Theorem zlmvsca 21554

Description: Scalar multiplication operation of a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmvsca.2	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmvsca	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Proof of Theorem zlmvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7464	. . . 4 ⊢ (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V
2		zlmvsca.2	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	2	fvexi 6921	. . . 4 ⊢ · ∈ V
4		vscaid 17366	. . . . 5 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
5	4	setsid 17242	. . . 4 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)))
6	1, 3, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
7		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
8	7, 2	zlmval 21544	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
9	8	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)))
10	6, 9	eqtr4id 2794	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
11	4	str0 17223	. . 3 ⊢ ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
12		fvprc 6899	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = ∅)
13	2, 12	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → · = ∅)
14		fvprc 6899	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
15	7, 14	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
16	15	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘∅))
17	11, 13, 16	3eqtr4a 2801	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
18	10, 17	pm2.61i 182	1 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339  ⟨cop 4637  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  ._gcmg 19098  ℤ_ringczring 21475  ℤModczlm 21529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-vsca 17315  df-zlm 21533

This theorem is referenced by:  zlmlmod  21555  zlmassa  21941  clmzlmvsca  25160  nmmulg  33929  cnzh  33931  rezh  33932