Theorem zlmvsca 20639

Description: Scalar multiplication operation of a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmvsca.2	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmvsca	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Proof of Theorem zlmvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V
2		zlmvsca.2	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	2	fvexi 6770	. . . 4 ⊢ · ∈ V
4		vscaid 16956	. . . . 5 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
5	4	setsid 16837	. . . 4 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)))
6	1, 3, 5	mp2an 688	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
7		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
8	7, 2	zlmval 20629	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
9	8	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)))
10	6, 9	eqtr4id 2798	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
11	4	str0 16818	. . 3 ⊢ ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
12		fvprc 6748	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = ∅)
13	2, 12	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → · = ∅)
14		fvprc 6748	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
15	7, 14	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
16	15	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘∅))
17	11, 13, 16	3eqtr4a 2805	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
18	10, 17	pm2.61i 182	1 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   sSet csts 16792  ndxcnx 16822  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  ._gcmg 18615  ℤ_ringzring 20582  ℤModczlm 20614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-vsca 16905  df-zlm 20618

This theorem is referenced by:  zlmlmod  20640  zlmassa  21016  clmzlmvsca  24182  nmmulg  31818  cnzh  31820  rezh  31821