Theorem zlmvsca 21463

Description: Scalar multiplication operation of a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmvsca.2	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmvsca	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Proof of Theorem zlmvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7402	. . . 4 ⊢ (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V
2		zlmvsca.2	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	2	fvexi 6854	. . . 4 ⊢ · ∈ V
4		vscaid 17259	. . . . 5 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
5	4	setsid 17153	. . . 4 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)))
6	1, 3, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
7		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
8	7, 2	zlmval 21457	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
9	8	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)))
10	6, 9	eqtr4id 2783	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
11	4	str0 17135	. . 3 ⊢ ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
12		fvprc 6832	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = ∅)
13	2, 12	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → · = ∅)
14		fvprc 6832	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
15	7, 14	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
16	15	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘∅))
17	11, 13, 16	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
18	10, 17	pm2.61i 182	1 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ∅c0 4292  ⟨cop 4591  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   sSet csts 17109  ndxcnx 17139  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  ._gcmg 18981  ℤ_ringczring 21388  ℤModczlm 21442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-1cn 11102  ax-addcl 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-vsca 17213  df-zlm 21446

This theorem is referenced by:  zlmlmod  21464  zlmassa  21845  clmzlmvsca  25046  nmmulg  33949  cnzh  33951  rezh  33952