Theorem zlmvsca 21476

Description: Scalar multiplication operation of a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmvsca.2	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmvsca	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Proof of Theorem zlmvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V
2		zlmvsca.2	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	2	fvexi 6848	. . . 4 ⊢ · ∈ V
4		vscaid 17240	. . . . 5 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
5	4	setsid 17134	. . . 4 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)))
6	1, 3, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
7		zlmbas.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
8	7, 2	zlmval 21470	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩))
9	8	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩)))
10	6, 9	eqtr4id 2790	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
11	4	str0 17116	. . 3 ⊢ ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
12		fvprc 6826	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = ∅)
13	2, 12	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → · = ∅)
14		fvprc 6826	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ℤMod‘𝐺) = ∅)
15	7, 14	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑊 = ∅)
16	15	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘∅))
17	11, 13, 16	3eqtr4a 2797	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
18	10, 17	pm2.61i 182	1 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ∅c0 4285  ⟨cop 4586  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   sSet csts 17090  ndxcnx 17120  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  ._gcmg 18997  ℤ_ringczring 21401  ℤModczlm 21455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-1cn 11084  ax-addcl 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-vsca 17194  df-zlm 21459

This theorem is referenced by:  zlmlmod  21477  zlmassa  21859  clmzlmvsca  25069  nmmulg  34123  cnzh  34125  rezh  34126