Theorem clmzlmvsca 25128

Description: The scalar product of a subcomplex module matches the scalar product of the derived ℤ-module, which implies, together with zlmbas 21504 and zlmplusg 21506, that any module over ℤ is structure-equivalent to the canonical ℤ-module ℤMod‘𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmclm.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
clmzlmvsca.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clmzlmvsca	⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵))

Proof of Theorem clmzlmvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmzlmvsca.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		zlmclm.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	zlmvsca 21511	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5	4	eqcomi 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = (.g‘𝐺)
6		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
7	1, 5, 6	clmmulg 25116	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵))
8	7	eqcomd 2732	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵))
9	8	3expb 1117	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  ℤcz 12604  Basecbs 17208   ·_𝑠 cvsca 17265  ._gcmg 19057  ℤModczlm 21486  ℂModcclm 25077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-addf 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-fz 13533  df-seq 14016  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-vsca 17278  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-mulg 19058  df-subg 19113  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-subrg 20549  df-lmod 20834  df-cnfld 21340  df-zlm 21490  df-clm 25078

This theorem is referenced by: (None)