Theorem clmzlmvsca 25467

Description: The scalar product of a subcomplex module matches the scalar product of the derived ℤ-module, which implies, together with zlmbas 21856 and zlmplusg 21857, that any module over ℤ is structure-equivalent to the canonical ℤ-module ℤMod‘𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmclm.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
clmzlmvsca.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clmzlmvsca	⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵))

Proof of Theorem clmzlmvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmzlmvsca.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		zlmclm.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	zlmvsca 21860	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5	4	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = (.g‘𝐺)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
7	1, 5, 6	clmmulg 25455	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵))
8	7	eqcomd 2769	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵))
9	8	3expb 1138	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℤcz 12723  Basecbs 17419   ·_𝑠 cvsca 17464  ._gcmg 19309  ℤModczlm 21839  ℂModcclm 25416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-seq 14175  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-vsca 17477  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-subrg 20855  df-lmod 21170  df-cnfld 21712  df-zlm 21843  df-clm 25417

This theorem is used by: (None)