Theorem clmzlmvsca 24861

Description: The scalar product of a subcomplex module matches the scalar product of the derived ℤ-module, which implies, together with zlmbas 21288 and zlmplusg 21290, that any module over ℤ is structure-equivalent to the canonical ℤ-module ℤMod‘𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmclm.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
clmzlmvsca.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clmzlmvsca	⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵))

Proof of Theorem clmzlmvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmzlmvsca.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		zlmclm.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	zlmvsca 21295	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5	4	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = (.g‘𝐺)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
7	1, 5, 6	clmmulg 24849	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵))
8	7	eqcomd 2737	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵))
9	8	3expb 1119	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  ℤcz 12563  Basecbs 17149   ·_𝑠 cvsca 17206  ._gcmg 18987  ℤModczlm 21270  ℂModcclm 24810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-addf 11192  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-vsca 17219  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-cnfld 21146  df-zlm 21274  df-clm 24811

This theorem is referenced by: (None)