Theorem clmzlmvsca 23240

Description: The scalar product of a subcomplex module matches the scalar product of the derived ℤ-module, which implies, together with zlmbas 20188 and zlmplusg 20189, that any module over ℤ is structure-equivalent to the canonical ℤ-module ℤMod‘𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmclm.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
clmzlmvsca.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clmzlmvsca	⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵))

Proof of Theorem clmzlmvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmzlmvsca.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		zlmclm.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	zlmvsca 20192	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5	4	eqcomi 2808	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = (.g‘𝐺)
6		eqid 2799	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
7	1, 5, 6	clmmulg 23228	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵))
8	7	eqcomd 2805	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵))
9	8	3expb 1150	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴( ·𝑠 ‘𝐺)𝐵) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑊)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℤcz 11666  Basecbs 16184   ·_𝑠 cvsca 16271  ._gcmg 17856  ℤModczlm 20171  ℂModcclm 23189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-seq 13056  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-cmn 18510  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-cnfld 20069  df-zlm 20175  df-clm 23190

This theorem is referenced by: (None)