Theorem elznns 28382

Description: Surreal integer property expressed in terms of positive integers and non-negative integers. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elznns	⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s)))

Proof of Theorem elznns

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elzs2 28379	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)))
2		3orass 1090	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)))
3		eln0s 28341	. . . . . . 7 ⊢ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s ↔ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) = 0s ))
4		neg0s 28006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
5	4	eqeq2i 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -us ‘𝑁) = ( -us ‘ 0s ) ↔ ( -us ‘𝑁) = 0s )
6		0no 27789	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0s ∈ No
7		negs11 28029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → (( -us ‘𝑁) = ( -us ‘ 0s ) ↔ 𝑁 = 0s ))
8	6, 7	mpan2 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ No → (( -us ‘𝑁) = ( -us ‘ 0s ) ↔ 𝑁 = 0s ))
9	5, 8	bitr3id 285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ No → (( -us ‘𝑁) = 0s ↔ 𝑁 = 0s ))
10	9	orbi2d 916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) = 0s ) ↔ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
11	3, 10	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ No → (( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s ↔ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
12		orcom 871	. . . . . 6 ⊢ ((( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ (𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs))
13	11, 12	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ No → (( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s ↔ (𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)))
14	13	orbi2d 916	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs))))
15	2, 14	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s)))
16	15	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)) ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s)))
17	1, 16	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490   No csur 27591   0_s c0s 27785   -u_s cnegs 27999  ℕ_0scn0s 28292  ℕ_scnns 28293  ℤ_sczs 28358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-nadd 8593  df-no 27594  df-lts 27595  df-bday 27596  df-les 27697  df-slts 27738  df-cuts 27740  df-0s 27787  df-1s 27788  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-norec 27918  df-norec2 27929  df-adds 27940  df-negs 28001  df-subs 28002  df-n0s 28294  df-nns 28295  df-zs 28359

This theorem is referenced by: (None)