Theorem elznns 28461

Description: Surreal integer property expressed in terms of positive integers and non-negative integers. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elznns	⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s)))

Proof of Theorem elznns

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elzs2 28458	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)))
2		3orass 1098	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)))
3		eln0s 28420	. . . . . . 7 ⊢ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s ↔ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) = 0s ))
4		neg0s 28085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
5	4	eqeq2i 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -us ‘𝑁) = ( -us ‘ 0s ) ↔ ( -us ‘𝑁) = 0s )
6		0no 27868	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0s ∈ No
7		negs11 28108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → (( -us ‘𝑁) = ( -us ‘ 0s ) ↔ 𝑁 = 0s ))
8	6, 7	mpan2 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ No → (( -us ‘𝑁) = ( -us ‘ 0s ) ↔ 𝑁 = 0s ))
9	5, 8	bitr3id 287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ No → (( -us ‘𝑁) = 0s ↔ 𝑁 = 0s ))
10	9	orbi2d 924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) = 0s ) ↔ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
11	3, 10	bitrid 285	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ No → (( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s ↔ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
12		orcom 879	. . . . . 6 ⊢ ((( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ (𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs))
13	11, 12	bitrdi 289	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ No → (( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s ↔ (𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)))
14	13	orbi2d 924	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs))))
15	2, 14	bitr4id 292	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s)))
16	15	pm5.32i 581	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)) ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s)))
17	1, 16	bitri 277	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕ0s)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 856   ∨ w3o 1094   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506   No csur 27670   0_s c0s 27864   -u_s cnegs 28078  ℕ_0scn0s 28371  ℕ_scnns 28372  ℤ_sczs 28437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-nadd 8620  df-no 27673  df-lts 27674  df-bday 27675  df-les 27775  df-slts 27817  df-cuts 27819  df-0s 27866  df-1s 27867  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec 27997  df-norec2 28008  df-adds 28019  df-negs 28080  df-subs 28081  df-n0s 28373  df-nns 28374  df-zs 28438

This theorem is referenced by: (None)