Theorem lgsquad 15196

Description: The Law of Quadratic Reciprocity, see also theorem 9.8 in [ApostolNT] p. 185. If 𝑃 and 𝑄 are distinct odd primes, then the product of the Legendre symbols (𝑃 /_L 𝑄) and (𝑄 /_L 𝑃) is the parity of ((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2). This uses Eisenstein's proof, which also has a nice geometric interpretation - see https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity. This is Metamath 100 proof #7. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad	⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 /L 𝑄) · (𝑄 /L 𝑃)) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		simp2 1000	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		simp3 1001	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ≠ 𝑄)
4		eqid 2193	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 2)
5		eqid 2193	. 2 ⊢ ((𝑄 − 1) / 2) = ((𝑄 − 1) / 2)
6		eleq1w 2254	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
7		eleq1w 2254	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2)) ↔ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))))
8	6, 7	bi2anan9 606	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ↔ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2)))))
9		oveq1 5925	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 · 𝑃) = (𝑤 · 𝑃))
10		oveq1 5925	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑄) = (𝑧 · 𝑄))
11	9, 10	breqan12rd 4046	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄)))
12	8, 11	anbi12d 473	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄))))
13	12	cbvopabv 4101	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ((𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄))}
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	lgsquadlem3 15195	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 /L 𝑄) · (𝑄 /L 𝑃)) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   ∖ cdif 3150  {csn 3618   class class class wbr 4029  {copab 4089  (class class class)co 5918  1c1 7873   · cmul 7877   < clt 8054   − cmin 8190  -cneg 8191   / cdiv 8691  2c2 9033  ...cfz 10074  ↑cexp 10609  ℙcprime 12245   /_L clgs 15113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-map 6704  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-proddc 11694  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-phi 12349  df-pc 12423  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-starv 12710  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-ple 12715  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-iimas 12885  df-qus 12886  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mhm 13031  df-submnd 13032  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-mulg 13190  df-subg 13240  df-nsg 13241  df-eqg 13242  df-ghm 13311  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-rng 13429  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-cring 13495  df-oppr 13564  df-dvdsr 13585  df-unit 13586  df-invr 13617  df-dvr 13628  df-rhm 13648  df-nzr 13676  df-subrg 13715  df-domn 13755  df-idom 13756  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-lsp 13883  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965  df-rsp 13966  df-2idl 13996  df-icnfld 14048  df-zring 14079  df-zrh 14102  df-zn 14104  df-lgs 15114

This theorem is referenced by: (None)