Theorem lgsquad 15607

Description: The Law of Quadratic Reciprocity, see also theorem 9.8 in [ApostolNT] p. 185. If 𝑃 and 𝑄 are distinct odd primes, then the product of the Legendre symbols (𝑃 /_L 𝑄) and (𝑄 /_L 𝑃) is the parity of ((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2). This uses Eisenstein's proof, which also has a nice geometric interpretation - see https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity. This is Metamath 100 proof #7. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsquad	⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 /L 𝑄) · (𝑄 /L 𝑃)) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2))))

Proof of Theorem lgsquad

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		simp2 1001	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		simp3 1002	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ≠ 𝑄)
4		eqid 2206	. 2 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 2)
5		eqid 2206	. 2 ⊢ ((𝑄 − 1) / 2) = ((𝑄 − 1) / 2)
6		eleq1w 2267	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
7		eleq1w 2267	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2)) ↔ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))))
8	6, 7	bi2anan9 606	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ↔ (𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2)))))
9		oveq1 5961	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 · 𝑃) = (𝑤 · 𝑃))
10		oveq1 5961	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑄) = (𝑧 · 𝑄))
11	9, 10	breqan12rd 4065	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄)))
12	8, 11	anbi12d 473	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤) → (((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄))))
13	12	cbvopabv 4121	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ((𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝑄 − 1) / 2))) ∧ (𝑤 · 𝑃) < (𝑧 · 𝑄))}
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	lgsquadlem3 15606	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ((𝑃 /L 𝑄) · (𝑄 /L 𝑃)) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) · ((𝑄 − 1) / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   ∖ cdif 3165  {csn 3635   class class class wbr 4048  {copab 4109  (class class class)co 5954  1c1 7939   · cmul 7943   < clt 8120   − cmin 8256  -cneg 8257   / cdiv 8758  2c2 9100  ...cfz 10143  ↑cexp 10696  ℙcprime 12479   /_L clgs 15524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058  ax-addf 8060  ax-mulf 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-tp 3643  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-disj 4025  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-isom 5286  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-of 6168  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-tpos 6341  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-2o 6513  df-oadd 6516  df-er 6630  df-ec 6632  df-qs 6636  df-map 6747  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-sup 7098  df-inf 7099  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-9 9115  df-n0 9309  df-z 9386  df-dec 9518  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-fl 10426  df-mod 10481  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-ihash 10934  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640  df-sumdc 11715  df-proddc 11912  df-dvds 12149  df-gcd 12325  df-prm 12480  df-phi 12583  df-pc 12658  df-struct 12884  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-iress 12890  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-starv 12974  df-sca 12975  df-vsca 12976  df-ip 12977  df-tset 12978  df-ple 12979  df-ds 12981  df-unif 12982  df-0g 13140  df-igsum 13141  df-topgen 13142  df-iimas 13184  df-qus 13185  df-mgm 13238  df-sgrp 13284  df-mnd 13299  df-mhm 13341  df-submnd 13342  df-grp 13385  df-minusg 13386  df-sbg 13387  df-mulg 13506  df-subg 13556  df-nsg 13557  df-eqg 13558  df-ghm 13627  df-cmn 13672  df-abl 13673  df-mgp 13733  df-rng 13745  df-ur 13772  df-srg 13776  df-ring 13810  df-cring 13811  df-oppr 13880  df-dvdsr 13901  df-unit 13902  df-invr 13933  df-dvr 13944  df-rhm 13964  df-nzr 13992  df-subrg 14031  df-domn 14071  df-idom 14072  df-lmod 14101  df-lssm 14165  df-lsp 14199  df-sra 14247  df-rgmod 14248  df-lidl 14281  df-rsp 14282  df-2idl 14312  df-bl 14358  df-mopn 14359  df-fg 14361  df-metu 14362  df-cnfld 14369  df-zring 14403  df-zrh 14426  df-zn 14428  df-lgs 15525

This theorem is referenced by:  lgsquad2  15610