Theorem mplsubrgfi 15250

Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mpllss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mplsubrgfi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem mplsubrgfi

Dummy variables 𝑘 𝑞 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplsubg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		mplsubg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5		mpllss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	ringgrpd 14416	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7	1, 2, 3, 4, 6	mplsubgfi 15248	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
8	1, 4, 5	psrringfi 15224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
9		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
11	9, 10	ringidcl 14432	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
12	8, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
13		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	1, 13, 4, 9, 12	psrelbasfi 15199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆):(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
15		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	13, 15	grpidcl 13893	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17	6, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18		0nn0 9590	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19		snfig 7109	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → {0} ∈ Fin)
20	18, 19	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {0} ∈ Fin)
21	4, 20	xpexd 4892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ V)
22		snfig 7109	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ V → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
23	21, 22	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
24	18	fconst6 5595	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0
25		nn0ex 9581	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
26	25	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
27	26, 4	elmapd 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0))
28	24, 27	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
29	28	snssd 3860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝐼 × {0})} ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
30		eqeq1 2245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑞 → (𝑘 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑞 = (𝐼 × {0})))
31	30	ifbid 3662	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑞 → if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑞 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
32		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
33	1, 4, 5, 15, 32, 10	psr1fi 15225	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑘 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
34	33	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})})) → (1r‘𝑆) = (𝑘 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
35		eldifi 3351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})}) → 𝑞 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
36	35	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑞 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
37	13, 32	ringidcl 14432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
38	5, 37	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
39	38	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})})) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	17	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})})) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
41	4	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝐼 ∈ Fin)
42	28	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝐼 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
43		psrbagfidceq 15184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑞 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ (𝐼 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → DECID 𝑞 = (𝐼 × {0}))
44	41, 36, 42, 43	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})})) → DECID 𝑞 = (𝐼 × {0}))
45	39, 40, 44	ifcldcd 3678	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑞 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
46	31, 34, 36, 45	fvmptd4 5803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((1r‘𝑆)‘𝑞) = if(𝑞 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
47		eldifsni 3843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})}) → 𝑞 ≠ (𝐼 × {0}))
48		ifnefalse 3651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ≠ (𝐼 × {0}) → if(𝑞 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
49	47, 48	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})}) → if(𝑞 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
50	49	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑞 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
51	46, 50	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((1r‘𝑆)‘𝑞) = (0g‘𝑅))
52	14, 12, 17, 23, 29, 51	isfsuppf 7298	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅))
53	2, 1, 9, 15, 3	mplelbas 15236	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅)))
54	12, 52, 53	sylanbrc 421	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝑈)
55	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐼 ∈ Fin)
56	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
57		simprl 535	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
58		simprr 537	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
59	1, 2, 3, 55, 56, 57, 58	mplsubrglemcl 15249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)
60	59	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)
61		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
62	9, 10, 61	issubrg2 14658	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)))
63	8, 62	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)))
64	7, 54, 60, 63	mpbir3and 1211	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193   × cxp 4774  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292  0cc0 8186  ℕ₀cn0 9575  Basecbs 13410  ._rcmulr 13491  0_gc0g 13669  Grpcgrp 13864  SubGrpcsubg 14029  1_rcur 14369  Ringcrg 14407  SubRingcsubrg 14634   mPwSer cmps 15154   mPoly cmpl 15156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6521  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-oadd 6696  df-er 6812  df-map 6929  df-ixp 6987  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9655  df-dec 9789  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-hom 13514  df-cco 13515  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-subg 14032  df-ghm 14103  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-prds 14277  df-pws 14310  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-srg 14375  df-ring 14409  df-oppr 14482  df-dvdsr 14504  df-unit 14505  df-subrg 14636  df-psr 15157  df-mpl 15159

This theorem is used by: (None)