Theorem psrass1fi 15201

Description: Associative identity for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrringfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrass.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrass1fi	⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) = (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)

Proof of Theorem psrass1fi

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 ℎ 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psrass.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psrass.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrass.t	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑆)
6		psrring.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		psrringfi.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		psrass.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		psrass.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	1, 4, 5, 6, 7, 8, 9	psrmulclfi 15190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
11		psrass.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
12	1, 4, 5, 6, 7, 10, 11	psrmulclfi 15190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) ∈ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 12	psrelbas 15179	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍):𝐷⟶(Base‘𝑅))
14	13	ffnd 5537	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) Fn 𝐷)
15	1, 4, 5, 6, 7, 9, 11	psrmulclfi 15190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
16	1, 4, 5, 6, 7, 8, 15	psrmulclfi 15190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)) ∈ 𝐵)
17	1, 2, 3, 4, 16	psrelbas 15179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)):𝐷⟶(Base‘𝑅))
18	17	ffnd 5537	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)) Fn 𝐷)
19		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}
20		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
21	6	ringcmnd 14447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
22	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
23	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
24		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	6	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑅 ∈ Ring)
26	1, 2, 3, 4, 8	psrelbas 15179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
27	26	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
28		breq1 4134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑗 → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ∘𝑟 ≤ 𝑥))
29	28	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↔ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘𝑟 ≤ 𝑥))
30	29	bilani 387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘𝑟 ≤ 𝑥))
31	30	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∈ 𝐷)
32	27, 31	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → (𝑋‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
33	32	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝑋‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
34	1, 2, 3, 4, 9	psrelbas 15179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
35	34	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
36		breq1 4134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑛 → (ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ↔ 𝑛 ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)))
37	36	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)} ↔ (𝑛 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)))
38	37	bilani 387	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝑛 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)))
39	38	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑛 ∈ 𝐷)
40	35, 39	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝑌‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
41	1, 2, 3, 4, 11	psrelbas 15179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
42	41	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
43		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
44	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
45	31, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
46	30	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∘𝑟 ≤ 𝑥)
47	3	psrbagcon 15171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑗 ∘𝑟 ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑟 ≤ 𝑥))
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → ((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑟 ≤ 𝑥))
49	48	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷)
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷)
51	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐷 → 𝑛:𝐼⟶ℕ0)
52	39, 51	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑛:𝐼⟶ℕ0)
53	38	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → 𝑛 ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗))
54	3	psrbagcon 15171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ 𝑛:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑛 ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)) → (((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)))
55	50, 52, 53, 54	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)))
56	55	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛) ∈ 𝐷)
57	42, 56	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → (𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛)) ∈ (Base‘𝑅))
58	2, 24, 25, 40, 57	ringcld 14429	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
59	2, 24, 25, 33, 58	ringcld 14429	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)}) → ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
60	59	anasss 403	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ∧ 𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)})) → ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
61		fveq2 5698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗) → (𝑌‘𝑛) = (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))
62		oveq2 6096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗) → ((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛) = ((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))
63	62	fveq2d 5702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗) → (𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛)) = (𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))))
64	61, 63	oveq12d 6106	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗) → ((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛))) = ((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))))
65	64	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗) → ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛)))) = ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))))))
66	3, 19, 20, 2, 22, 23, 60, 65	psrass1filem 15177	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))))))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛)))))))))
67	8	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
68	9	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
69		breq1 4134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝑘 → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥 ↔ 𝑘 ∘𝑟 ≤ 𝑥))
70	69	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↔ (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∘𝑟 ≤ 𝑥))
71	70	bilani 387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∘𝑟 ≤ 𝑥))
72	71	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
73	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝐼 ∈ Fin)
74	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
75	1, 4, 24, 5, 3, 67, 68, 72, 73, 74	psrmulvalfi 15188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → ((𝑋 × 𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))))))
76	75	oveq1d 6103	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))))
77		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
78	3	psrbaglefifi 15172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ∈ Fin)
79	72, 73, 78	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ∈ Fin)
80	41	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
81		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
82	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
83	72, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
84	71	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∘𝑟 ≤ 𝑥)
85	3	psrbagcon 15171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∘𝑟 ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∘𝑓 − 𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑘) ∘𝑟 ≤ 𝑥))
86	81, 83, 84, 85	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → ((𝑥 ∘𝑓 − 𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑘) ∘𝑟 ≤ 𝑥))
87	86	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘𝑓 − 𝑘) ∈ 𝐷)
88	80, 87	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → (𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
89	6	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
90	26	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
91		breq1 4134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑗 → (ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘 ↔ 𝑗 ∘𝑟 ≤ 𝑘))
92	91	elrab 2982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↔ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘𝑟 ≤ 𝑘))
93	92	bilani 387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘𝑟 ≤ 𝑘))
94	93	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑗 ∈ 𝐷)
95	90, 94	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
96	34	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
97	72	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
98	94, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
99	93	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑗 ∘𝑟 ≤ 𝑘)
100	3	psrbagcon 15171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑗 ∘𝑟 ≤ 𝑘) → ((𝑘 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑟 ≤ 𝑘))
101	97, 98, 99, 100	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑟 ≤ 𝑘))
102	101	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷)
103	96, 102	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
104	2, 24, 89, 95, 103	ringcld 14429	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
105	2, 77, 24, 74, 79, 88, 104	gsummulc1fi 14475	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))))
106	88	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
107	2, 24	ringass 14427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))) = ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘)))))
108	89, 95, 103, 106, 107	syl13anc 1280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))) = ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘)))))
109	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
110	109	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
111	110	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0)
112	83	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
113	112	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑘‘𝑧) ∈ ℕ0)
114	98	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0)
115		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑧) ∈ ℂ)
116		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑘‘𝑧) ∈ ℂ)
117		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ)
118		nnncan2 8570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑘‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − ((𝑘‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = ((𝑥‘𝑧) − (𝑘‘𝑧)))
119	115, 116, 117, 118	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0) → (((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − ((𝑘‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = ((𝑥‘𝑧) − (𝑘‘𝑧)))
120	111, 113, 114, 119	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − ((𝑘‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = ((𝑥‘𝑧) − (𝑘‘𝑧)))
121	120	mpteq2dva 4223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − ((𝑘‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − (𝑘‘𝑧))))
122	7	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝐼 ∈ Fin)
123	111	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℤ)
124	114	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑗‘𝑧) ∈ ℤ)
125	123, 124	zsubcld 9784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ ℤ)
126	113	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑘‘𝑧) ∈ ℤ)
127	126, 124	zsubcld 9784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑘‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ ℤ)
128	110	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
129	98	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
130	122, 111, 114, 128, 129	offval2 6322	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))))
131	112	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑘 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘‘𝑧)))
132	122, 113, 114, 131, 129	offval2 6322	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑘‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))))
133	122, 125, 127, 130, 132	offval2 6322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) − ((𝑘‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)))))
134	122, 111, 113, 128, 131	offval2 6322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∘𝑓 − 𝑘) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − (𝑘‘𝑧))))
135	121, 133, 134	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)) = (𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))
136	135	fveq2d 5702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))) = (𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘)))
137	136	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))) = ((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))))
138	137	oveq2d 6104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))))) = ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘)))))
139	108, 138	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))) = ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))))))
140	139	mpteq2dva 4223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘)))) = (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))))))
141	140	oveq2d 6104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ (((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))))))))
142	76, 105, 141	3eqtr2d 2277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))))))))
143	142	mpteq2dva 4223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗)))))))))
144	143	oveq2d 6104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − (𝑘 ∘𝑓 − 𝑗))))))))))
145	9	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
146	11	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑍 ∈ 𝐵)
147	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝐼 ∈ Fin)
148	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
149	1, 4, 24, 5, 3, 145, 146, 49, 147, 148	psrmulvalfi 15188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → ((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛))))))
150	149	oveq2d 6104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑗))) = ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛)))))))
151	3	psrbaglefifi 15172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ Fin)
152	49, 147, 151	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)} ∈ Fin)
153	2, 77, 24, 148, 152, 32, 58	gsummulc2fi 14476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛)))))) = ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛)))))))
154	150, 153	eqtr4d 2274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛)))))))
155	154	mpteq2dva 4223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛))))))))
156	155	oveq2d 6104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑗))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {ℎ ∈ 𝐷 ∣ ℎ ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∘𝑓 − 𝑗)} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌‘𝑛)(.r‘𝑅)(𝑍‘((𝑥 ∘𝑓 − 𝑗) ∘𝑓 − 𝑛)))))))))
157	66, 144, 156	3eqtr4d 2281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑗))))))
158	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
159	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑍 ∈ 𝐵)
160	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
161	1, 4, 24, 5, 3, 158, 159, 20, 23, 160	psrmulvalfi 15188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝑋 × 𝑌) × 𝑍)‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑍‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑘))))))
162	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐵)
163	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
164	1, 4, 24, 5, 3, 162, 163, 20, 23, 160	psrmulvalfi 15188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑋 × (𝑌 × 𝑍))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑗)(.r‘𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥 ∘𝑓 − 𝑗))))))
165	157, 161, 164	3eqtr4d 2281	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝑋 × 𝑌) × 𝑍)‘𝑥) = ((𝑋 × (𝑌 × 𝑍))‘𝑥))
166	14, 18, 165	eqfnfvd 5812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) = (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∘_𝑓 cof 6303   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7026  ℂcc 8183   ≤ cle 8367   − cmin 8504  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  Basecbs 13410  ._rcmulr 13491  0_gc0g 13669  CMndccmn 14177   Σ_g cgsu 14240  Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6985  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-ghm 14103  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-psr 15156

This theorem is used by:  psrringfi  15204