Theorem znhash 14791

Description: The ℤ/nℤ structure has 𝑛 elements. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znhash.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znhash	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)

Proof of Theorem znhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9584	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		nnz 9592	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzofig 10790	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ∈ Fin)
5		nnnn0 9499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		zntos.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7		znhash.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
9		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
10	6, 7, 8, 9	znf1o 14786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→𝐵)
11	5, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→𝐵)
12		nnne0 9261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
13		ifnefalse 3632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
14		f1oeq2 5602	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐵))
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐵))
16	11, 15	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐵)
17		f1oeng 6995	. . . . 5 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐵) → (0..^𝑁) ≈ 𝐵)
18	4, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ≈ 𝐵)
19	18	ensymd 7022	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ≈ (0..^𝑁))
20	6, 7	znfi 14790	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
21		hashen 11142	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘(0..^𝑁)) ↔ 𝐵 ≈ (0..^𝑁)))
22	20, 4, 21	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝐵) = (♯‘(0..^𝑁)) ↔ 𝐵 ≈ (0..^𝑁)))
23	19, 22	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = (♯‘(0..^𝑁)))
24		hashfzo0 11183	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
25	5, 24	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
26	23, 25	eqtrd 2265	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ifcif 3619   class class class wbr 4108   ↾ cres 4750  –1-1-onto→wf1o 5350  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ≈ cen 6972  Fincfn 6974  0cc0 8123  ℕcn 9233  ℕ₀cn0 9492  ℤcz 9573  ..^cfzo 10472  ♯chash 11133  Basecbs 13201  ℤRHomczrh 14746  ℤ/nℤczn 14748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-addf 8245  ax-mulf 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-tpos 6475  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-fl 10626  df-mod 10681  df-seqfrec 10806  df-ihash 11134  df-cj 11520  df-abs 11677  df-dvds 12467  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-starv 13294  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-unif 13302  df-0g 13460  df-topgen 13462  df-iimas 13504  df-qus 13505  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-mhm 13661  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-sbg 13707  df-mulg 13826  df-subg 13876  df-nsg 13877  df-eqg 13878  df-ghm 13947  df-cmn 13992  df-abl 13993  df-mgp 14054  df-rng 14066  df-ur 14093  df-srg 14097  df-ring 14131  df-cring 14132  df-oppr 14201  df-dvdsr 14222  df-rhm 14286  df-subrg 14353  df-lmod 14424  df-lssm 14488  df-lsp 14522  df-sra 14570  df-rgmod 14571  df-lidl 14604  df-rsp 14605  df-2idl 14635  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-fg 14684  df-metu 14685  df-cnfld 14692  df-zring 14726  df-zrh 14749  df-zn 14751

This theorem is referenced by:  znidom  14792  znidomb  14793