Theorem fzf1o 12039

Description: A finite set can be enumerated by integers starting at one. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fzf1o	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem fzf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o0 5644	. . . 4 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
2		eqidd 2233	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ = ∅)
3		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
4	3	fveq2d 5665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
5		hash0 11144	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = 0)
7	6	oveq2d 6057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (1...(♯‘𝐴)) = (1...0))
8		fz10 10366	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (1...(♯‘𝐴)) = ∅)
10	2, 9, 3	f1oeq123d 5599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (∅:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
11	1, 10	mpbiri 168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → ∅:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
12		0ex 4230	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
13		f1oeq1 5593	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 ↔ ∅:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴))
14	12, 13	spcev 2911	. . 3 ⊢ (∅:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
15	11, 14	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
16		simprr 533	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
17		fz1f1o 12038	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
18	15, 16, 17	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∅c0 3505  –1-1-onto→wf1o 5342  ‘cfv 5343  (class class class)co 6041  Fincfn 6966  0cc0 8115  1c1 8116  ℕcn 9225  ...cfz 10328  ♯chash 11123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-addass 8217  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-apti 8230  ax-pre-ltadd 8231

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-iord 4478  df-on 4480  df-ilim 4481  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-recs 6527  df-frec 6613  df-1o 6638  df-er 6758  df-en 6967  df-dom 6968  df-fin 6969  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-inn 9226  df-n0 9485  df-z 9564  df-uz 9840  df-fz 10329  df-ihash 11124

This theorem is referenced by:  gfsump1  16837