Theorem fzf1o 11957

Description: A finite set can be enumerated by integers starting at one. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fzf1o	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem fzf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o0 5623	. . . 4 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
2		eqidd 2232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ = ∅)
3		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
4	3	fveq2d 5644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
5		hash0 11062	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = 0)
7	6	oveq2d 6037	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (1...(♯‘𝐴)) = (1...0))
8		fz10 10284	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (1...(♯‘𝐴)) = ∅)
10	2, 9, 3	f1oeq123d 5578	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (∅:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
11	1, 10	mpbiri 168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → ∅:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
12		0ex 4216	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
13		f1oeq1 5572	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 ↔ ∅:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴))
14	12, 13	spcev 2901	. . 3 ⊢ (∅:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
15	11, 14	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
16		simprr 533	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
17		fz1f1o 11956	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
18	15, 16, 17	mpjaodan 805	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∅c0 3494  –1-1-onto→wf1o 5325  ‘cfv 5326  (class class class)co 6021  Fincfn 6912  0cc0 8035  1c1 8036  ℕcn 9146  ...cfz 10246  ♯chash 11041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-frec 6560  df-1o 6585  df-er 6705  df-en 6913  df-dom 6914  df-fin 6915  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-fz 10247  df-ihash 11042

This theorem is referenced by:  gfsump1  16746