Theorem fzf1o 12123

Description: A finite set can be enumerated by integers starting at one. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fzf1o	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem fzf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o0 5676	. . . 4 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
2		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ = ∅)
3		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
4	3	fveq2d 5697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
5		hash0 11216	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = 0)
7	6	oveq2d 6094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (1...(♯‘𝐴)) = (1...0))
8		fz10 10432	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (1...(♯‘𝐴)) = ∅)
10	2, 9, 3	f1oeq123d 5631	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → (∅:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
11	1, 10	mpbiri 168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → ∅:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
12		0ex 4258	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
13		f1oeq1 5625	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 ↔ ∅:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴))
14	12, 13	spcev 2920	. . 3 ⊢ (∅:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
15	11, 14	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
16		simprr 537	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
17		fz1f1o 12122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
18	15, 16, 17	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  –1-1-onto→wf1o 5374  ‘cfv 5375  (class class class)co 6078  Fincfn 7015  0cc0 8172  1c1 8173  ℕcn 9286  ...cfz 10393  ♯chash 11195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-1o 6680  df-er 6800  df-en 7016  df-dom 7017  df-fin 7018  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394  df-ihash 11196

This theorem is referenced by:  gsump1  14137