Theorem cjexp 10821

Description: Complex conjugate of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cjexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem cjexp

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5844	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
2	1	fveq2d 5484	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑0)))
3		oveq2 5844	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2179	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0)))
5	4	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))))
6		oveq2 5844	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
7	6	fveq2d 5484	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑𝑘)))
8		oveq2 5844	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2179	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))))
11		oveq2 5844	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
12	11	fveq2d 5484	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
13		oveq2 5844	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2179	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 5844	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
17	16	fveq2d 5484	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑𝑁)))
18		oveq2 5844	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2179	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))))
21		exp0 10449	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
22	21	fveq2d 5484	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = (∗‘1))
23		cjcl 10776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
24		exp0 10449	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = 1)
25		1re 7889	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		cjre 10810	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘1) = 1
28	24, 27	eqtr4di 2215	. . . . 5 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
29	23, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
30	22, 29	eqtr4d 2200	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))
31		expp1 10452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
32	31	fveq2d 5484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (∗‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
33		expcl 10463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
34		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
35		cjmul 10813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
36	33, 34, 35	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
37	32, 36	eqtrd 2197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
38	37	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
39		oveq1 5843	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
40		expp1 10452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
41	23, 40	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
42	41	eqcomd 2170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
43	39, 42	sylan9eqr 2219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
44	38, 43	eqtrd 2197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
45	44	exp31 362	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
46	45	com12 30	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
47	46	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
48	5, 10, 15, 20, 30, 47	nn0ind 9296	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
49	48	impcom 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  ℂcc 7742  ℝcr 7743  0cc0 7744  1c1 7745   + caddc 7747   · cmul 7749  ℕ₀cn0 9105  ↑cexp 10444  ∗ccj 10767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772

This theorem is referenced by:  cjexpd  10886  efcj  11600