ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjexp GIF version

Theorem cjexp 10226
Description: Complex conjugate of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
cjexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem cjexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5623 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
21fveq2d 5274 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴↑0)))
3 oveq2 5623 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑0))
42, 3eqeq12d 2099 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0)))
54imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))))
6 oveq2 5623 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
76fveq2d 5274 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴𝑘)))
8 oveq2 5623 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2099 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)))
109imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))))
11 oveq2 5623 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1211fveq2d 5274 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
13 oveq2 5623 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2099 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 5623 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1716fveq2d 5274 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴𝑁)))
18 oveq2 5623 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2099 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
2019imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))))
21 exp0 9861 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2221fveq2d 5274 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = (∗‘1))
23 cjcl 10181 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
24 exp0 9861 . . . . . 6 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = 1)
25 1re 7434 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
26 cjre 10215 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
2725, 26ax-mp 7 . . . . . 6 (∗‘1) = 1
2824, 27syl6eqr 2135 . . . . 5 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
2923, 28syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
3022, 29eqtr4d 2120 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))
31 expp1 9864 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
3231fveq2d 5274 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (∗‘((𝐴𝑘) · 𝐴)))
33 expcl 9875 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
34 simpl 107 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
35 cjmul 10218 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
3633, 34, 35syl2anc 403 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
3732, 36eqtrd 2117 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
3837adantr 270 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
39 oveq1 5622 . . . . . . . 8 ((∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
40 expp1 9864 . . . . . . . . . 10 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
4123, 40sylan 277 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
4241eqcomd 2090 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
4339, 42sylan9eqr 2139 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
4438, 43eqtrd 2117 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
4544exp31 356 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
4645com12 30 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
4746a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
485, 10, 15, 20, 30, 47nn0ind 8796 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
4948impcom 123 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  cfv 4983  (class class class)co 5615  cc 7295  cr 7296  0cc0 7297  1c1 7298   + caddc 7300   · cmul 7302  0cn0 8609  cexp 9856  ccj 10172
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-iseq 9783  df-iexp 9857  df-cj 10175  df-re 10176  df-im 10177
This theorem is referenced by:  cjexpd  10291
  Copyright terms: Public domain W3C validator