Theorem cjexp 10857

Description: Complex conjugate of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cjexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem cjexp

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
2	1	fveq2d 5500	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑0)))
3		oveq2 5861	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2185	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0)))
5	4	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))))
6		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
7	6	fveq2d 5500	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑𝑘)))
8		oveq2 5861	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2185	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))))
11		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
12	11	fveq2d 5500	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
13		oveq2 5861	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2185	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
17	16	fveq2d 5500	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑𝑁)))
18		oveq2 5861	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2185	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))))
21		exp0 10480	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
22	21	fveq2d 5500	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = (∗‘1))
23		cjcl 10812	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
24		exp0 10480	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = 1)
25		1re 7919	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		cjre 10846	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘1) = 1
28	24, 27	eqtr4di 2221	. . . . 5 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
29	23, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
30	22, 29	eqtr4d 2206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))
31		expp1 10483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
32	31	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (∗‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
33		expcl 10494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
34		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
35		cjmul 10849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
36	33, 34, 35	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
37	32, 36	eqtrd 2203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
38	37	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
39		oveq1 5860	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
40		expp1 10483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
41	23, 40	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
42	41	eqcomd 2176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
43	39, 42	sylan9eqr 2225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
44	38, 43	eqtrd 2203	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
45	44	exp31 362	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
46	45	com12 30	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
47	46	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
48	5, 10, 15, 20, 30, 47	nn0ind 9326	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
49	48	impcom 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  ℕ₀cn0 9135  ↑cexp 10475  ∗ccj 10803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808

This theorem is referenced by:  cjexpd  10922  efcj  11636