ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjexp GIF version

Theorem cjexp 10696
Description: Complex conjugate of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
cjexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem cjexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5789 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
21fveq2d 5432 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴↑0)))
3 oveq2 5789 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑0))
42, 3eqeq12d 2155 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0)))
54imbi2d 229 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))))
6 oveq2 5789 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
76fveq2d 5432 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴𝑘)))
8 oveq2 5789 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2155 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)))
109imbi2d 229 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))))
11 oveq2 5789 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1211fveq2d 5432 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
13 oveq2 5789 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2155 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 229 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 5789 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1716fveq2d 5432 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (∗‘(𝐴𝑗)) = (∗‘(𝐴𝑁)))
18 oveq2 5789 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2155 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
2019imbi2d 229 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))))
21 exp0 10327 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2221fveq2d 5432 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = (∗‘1))
23 cjcl 10651 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
24 exp0 10327 . . . . . 6 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = 1)
25 1re 7788 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
26 cjre 10685 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (∗‘1) = 1
2824, 27eqtr4di 2191 . . . . 5 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
2923, 28syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
3022, 29eqtr4d 2176 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))
31 expp1 10330 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
3231fveq2d 5432 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (∗‘((𝐴𝑘) · 𝐴)))
33 expcl 10341 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
34 simpl 108 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
35 cjmul 10688 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
3633, 34, 35syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
3732, 36eqtrd 2173 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
3837adantr 274 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)))
39 oveq1 5788 . . . . . . . 8 ((∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
40 expp1 10330 . . . . . . . . . 10 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
4123, 40sylan 281 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
4241eqcomd 2146 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
4339, 42sylan9eqr 2195 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
4438, 43eqtrd 2173 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
4544exp31 362 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
4645com12 30 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
4746a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
485, 10, 15, 20, 30, 47nn0ind 9188 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
4948impcom 124 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  cfv 5130  (class class class)co 5781  cc 7641  cr 7642  0cc0 7643  1c1 7644   + caddc 7646   · cmul 7648  0cn0 9000  cexp 10322  ccj 10642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647
This theorem is referenced by:  cjexpd  10761  efcj  11414
  Copyright terms: Public domain W3C validator