Theorem cjexp 10835

Description: Complex conjugate of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cjexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem cjexp

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
2	1	fveq2d 5490	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑0)))
3		oveq2 5850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2180	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0)))
5	4	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))))
6		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
7	6	fveq2d 5490	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑𝑘)))
8		oveq2 5850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2180	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))))
11		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
12	11	fveq2d 5490	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
13		oveq2 5850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2180	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
17	16	fveq2d 5490	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = (∗‘(𝐴↑𝑁)))
18		oveq2 5850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘𝐴)↑𝑗) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2180	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗) ↔ (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑗)) = ((∗‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))))
21		exp0 10459	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
22	21	fveq2d 5490	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = (∗‘1))
23		cjcl 10790	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
24		exp0 10459	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = 1)
25		1re 7898	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		cjre 10824	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘1) = 1
28	24, 27	eqtr4di 2217	. . . . 5 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
29	23, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴)↑0) = (∗‘1))
30	22, 29	eqtr4d 2201	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑0)) = ((∗‘𝐴)↑0))
31		expp1 10462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
32	31	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (∗‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
33		expcl 10473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
34		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
35		cjmul 10827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
36	33, 34, 35	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
37	32, 36	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
38	37	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)))
39		oveq1 5849	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
40		expp1 10462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
41	23, 40	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)))
42	41	eqcomd 2171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗‘𝐴)↑𝑘) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
43	39, 42	sylan9eqr 2221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
44	38, 43	eqtrd 2198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
45	44	exp31 362	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
46	45	com12 30	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘) → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
47	46	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘)) → (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
48	5, 10, 15, 20, 30, 47	nn0ind 9305	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁)))
49	48	impcom 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑁)) = ((∗‘𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758  ℕ₀cn0 9114  ↑cexp 10454  ∗ccj 10781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786

This theorem is referenced by:  cjexpd  10900  efcj  11614