Theorem resinval 11725

Description: The sine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
resinval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Proof of Theorem resinval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7908	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 7946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		cjmul 10896	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
5		cji 10913	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
6	5	oveq1i 5887	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · (∗‘𝐴))
7		cjre 10893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
8	7	oveq2d 5893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-i · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
9	6, 8	eqtrid 2222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
10	4, 9	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = (-i · 𝐴))
11	10	fveq2d 5521	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
12		mulcl 7940	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
13	1, 2, 12	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14		efcj 11683	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
16	11, 15	eqtr3d 2212	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(-i · 𝐴)) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
17	16	oveq2d 5893	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))))
18	17	oveq1d 5892	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / (2 · i)))
19		sinval 11712	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
20	2, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
21		efcl 11674	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
22		imval2 10905	. . 3 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / (2 · i)))
23	13, 21, 22	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / (2 · i)))
24	18, 20, 23	3eqtr4d 2220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812  ici 7815   · cmul 7818   − cmin 8130  -cneg 8131   / cdiv 8631  2c2 8972  ∗ccj 10850  ℑcim 10852  expce 11652  sincsin 11654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-sin 11660

This theorem is referenced by:  resin4p  11728  resincl  11730