Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmul12d GIF version

Theorem modqmul12d 10144
 Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqmul12d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
modqmul12d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
modqmul12d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
modqmul12d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
modqmul12d.5 (𝜑𝐸 ∈ ℚ)
modqmul12d.egt0 (𝜑 → 0 < 𝐸)
modqmul12d.6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modqmul12d.7 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
Assertion
Ref Expression
modqmul12d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modqmul12d
StepHypRef Expression
1 modqmul12d.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zq 9411 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
4 modqmul12d.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
5 zq 9411 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
64, 5syl 14 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
7 modqmul12d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
8 modqmul12d.5 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℚ)
9 modqmul12d.egt0 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐸)
10 modqmul12d.6 . . 3 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
113, 6, 7, 8, 9, 10modqmul1 10143 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
124zcnd 9167 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
137zcnd 9167 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1412, 13mulcomd 7780 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
1514oveq1d 5782 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸))
16 zq 9411 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
177, 16syl 14 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
18 modqmul12d.4 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
19 zq 9411 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℚ)
2018, 19syl 14 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
21 modqmul12d.7 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
2217, 20, 4, 8, 9, 21modqmul1 10143 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
2318zcnd 9167 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2423, 12mulcomd 7780 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
2524oveq1d 5782 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
2615, 22, 253eqtrd 2174 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
2711, 26eqtrd 2170 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  0cc0 7613   · cmul 7618   < clt 7793  ℤcz 9047  ℚcq 9404   mod cmo 10088 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405  df-rp 9435  df-fl 10036  df-mod 10089 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator