Theorem modqmul12d 10567

Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqmul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modqmul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
modqmul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
modqmul12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
modqmul12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
modqmul12d.egt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
modqmul12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modqmul12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modqmul12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modqmul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqmul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zq 9789	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
4		modqmul12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zq 9789	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
7		modqmul12d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
8		modqmul12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
9		modqmul12d.egt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
10		modqmul12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
11	3, 6, 7, 8, 9, 10	modqmul1 10566	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
12	4	zcnd 9538	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	7	zcnd 9538	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcomd 8136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
15	14	oveq1d 5989	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸))
16		zq 9789	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
17	7, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
18		modqmul12d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
19		zq 9789	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℚ)
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
21		modqmul12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
22	17, 20, 4, 8, 9, 21	modqmul1 10566	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
23	18	zcnd 9538	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23, 12	mulcomd 8136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
25	24	oveq1d 5989	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
26	15, 22, 25	3eqtrd 2246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
27	11, 26	eqtrd 2242	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  0cc0 7967   · cmul 7972   < clt 8149  ℤcz 9414  ℚcq 9782   mod cmo 10511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-q 9783  df-rp 9818  df-fl 10457  df-mod 10512

This theorem is referenced by:  modqexp  10855  fprodmodd  12118  modxai  12905  lgsdir2lem5  15676  lgseisenlem2  15715  lgseisenlem3  15716