ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmul12d GIF version

Theorem modqmul12d 10415
Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqmul12d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
modqmul12d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
modqmul12d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
modqmul12d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
modqmul12d.5 (𝜑𝐸 ∈ ℚ)
modqmul12d.egt0 (𝜑 → 0 < 𝐸)
modqmul12d.6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modqmul12d.7 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
Assertion
Ref Expression
modqmul12d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modqmul12d
StepHypRef Expression
1 modqmul12d.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zq 9662 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
4 modqmul12d.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
5 zq 9662 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
64, 5syl 14 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
7 modqmul12d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
8 modqmul12d.5 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℚ)
9 modqmul12d.egt0 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐸)
10 modqmul12d.6 . . 3 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
113, 6, 7, 8, 9, 10modqmul1 10414 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
124zcnd 9411 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
137zcnd 9411 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1412, 13mulcomd 8014 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
1514oveq1d 5915 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸))
16 zq 9662 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
177, 16syl 14 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
18 modqmul12d.4 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
19 zq 9662 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℚ)
2018, 19syl 14 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℚ)
21 modqmul12d.7 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
2217, 20, 4, 8, 9, 21modqmul1 10414 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
2318zcnd 9411 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2423, 12mulcomd 8014 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
2524oveq1d 5915 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
2615, 22, 253eqtrd 2226 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
2711, 26eqtrd 2222 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900  0cc0 7846   · cmul 7851   < clt 8027  cz 9288  cq 9655   mod cmo 10359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-n0 9212  df-z 9289  df-q 9656  df-rp 9690  df-fl 10307  df-mod 10360
This theorem is referenced by:  modqexp  10687  fprodmodd  11690  lgsdir2lem5  14919  lgseisenlem2  14937
  Copyright terms: Public domain W3C validator