Theorem modqmul12d 10798

Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqmul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modqmul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
modqmul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
modqmul12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
modqmul12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
modqmul12d.egt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
modqmul12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modqmul12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modqmul12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modqmul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqmul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zq 10009	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
4		modqmul12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zq 10009	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
7		modqmul12d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
8		modqmul12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
9		modqmul12d.egt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
10		modqmul12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
11	3, 6, 7, 8, 9, 10	modqmul1 10797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
12	4	zcnd 9752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	7	zcnd 9752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcomd 8341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
15	14	oveq1d 6094	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸))
16		zq 10009	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
17	7, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
18		modqmul12d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
19		zq 10009	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℚ)
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
21		modqmul12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
22	17, 20, 4, 8, 9, 21	modqmul1 10797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
23	18	zcnd 9752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23, 12	mulcomd 8341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
25	24	oveq1d 6094	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
26	15, 22, 25	3eqtrd 2275	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
27	11, 26	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  0cc0 8173   · cmul 8178   < clt 8354  ℤcz 9627  ℚcq 10002   mod cmo 10742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-q 10003  df-rp 10038  df-fl 10688  df-mod 10743

This theorem is referenced by:  modqexp  11087  fprodmodd  12391  modxai  13178  lgsdir2lem5  16134  lgseisenlem2  16173  lgseisenlem3  16174