Theorem modqmul12d 10313

Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqmul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modqmul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
modqmul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
modqmul12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
modqmul12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
modqmul12d.egt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
modqmul12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modqmul12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modqmul12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modqmul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqmul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zq 9564	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
4		modqmul12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zq 9564	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
7		modqmul12d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
8		modqmul12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
9		modqmul12d.egt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
10		modqmul12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
11	3, 6, 7, 8, 9, 10	modqmul1 10312	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
12	4	zcnd 9314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	7	zcnd 9314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcomd 7920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
15	14	oveq1d 5857	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸))
16		zq 9564	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
17	7, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
18		modqmul12d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
19		zq 9564	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℚ)
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
21		modqmul12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
22	17, 20, 4, 8, 9, 21	modqmul1 10312	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
23	18	zcnd 9314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23, 12	mulcomd 7920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
25	24	oveq1d 5857	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
26	15, 22, 25	3eqtrd 2202	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
27	11, 26	eqtrd 2198	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  0cc0 7753   · cmul 7758   < clt 7933  ℤcz 9191  ℚcq 9557   mod cmo 10257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205  df-mod 10258

This theorem is referenced by:  modqexp  10581  fprodmodd  11582  lgsdir2lem5  13573