Theorem modqmul12d 10641

Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqmul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modqmul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
modqmul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
modqmul12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
modqmul12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
modqmul12d.egt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
modqmul12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modqmul12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modqmul12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modqmul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqmul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zq 9860	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
4		modqmul12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zq 9860	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
7		modqmul12d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
8		modqmul12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℚ)
9		modqmul12d.egt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
10		modqmul12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
11	3, 6, 7, 8, 9, 10	modqmul1 10640	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
12	4	zcnd 9603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	7	zcnd 9603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcomd 8201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
15	14	oveq1d 6033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸))
16		zq 9860	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
17	7, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
18		modqmul12d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
19		zq 9860	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℚ)
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℚ)
21		modqmul12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
22	17, 20, 4, 8, 9, 21	modqmul1 10640	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
23	18	zcnd 9603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
24	23, 12	mulcomd 8201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
25	24	oveq1d 6033	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
26	15, 22, 25	3eqtrd 2268	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
27	11, 26	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  0cc0 8032   · cmul 8037   < clt 8214  ℤcz 9479  ℚcq 9853   mod cmo 10585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-q 9854  df-rp 9889  df-fl 10531  df-mod 10586

This theorem is referenced by:  modqexp  10929  fprodmodd  12204  modxai  12991  lgsdir2lem5  15764  lgseisenlem2  15803  lgseisenlem3  15804