Theorem qexpz 13161

Description: If a power of a rational number is an integer, then the number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qexpz	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem qexpz

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9667	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
3	1, 2	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		simpll2 1068	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nncnd 9328	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	mul01d 8728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) = 0)
8		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
9		simpll3 1069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
10		simpll1 1067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
11		qcn 10051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
14		zq 10043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
15	1, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℚ
16		qapne 10056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
17	10, 15, 16	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
18	13, 17	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 # 0)
19	5	nnzd 9779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	12, 18, 19	expap0d 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) # 0)
21		0zd 9668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℤ)
22		zapne 9731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) # 0 ↔ (𝐴↑𝑁) ≠ 0))
23	9, 21, 22	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) # 0 ↔ (𝐴↑𝑁) ≠ 0))
24	20, 23	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
25		pczcl 13107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) ∈ ℕ0)
26	8, 9, 24, 25	syl12anc 1276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) ∈ ℕ0)
27	26	nn0ge0d 9635	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)))
28		pcexp 13118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
29	8, 10, 13, 19, 28	syl121anc 1283	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
30	27, 29	breqtrd 4157	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
31	7, 30	eqbrtrd 4153	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
32		0red 8334	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
33		pcqcl 13115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
34	8, 10, 13, 33	syl12anc 1276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
35	34	zred 9780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
36	5	nnred 9327	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
37	5	nngt0d 9358	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 < 𝑁)
38		lemul2 9196	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
39	32, 35, 36, 37, 38	syl112anc 1282	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
40	31, 39	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
41	40	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
42		simpl1 1031	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℚ)
43		pcz 13141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
44	42, 43	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
45	41, 44	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
46		simp1 1028	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
47		qdceq 10697	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID 𝐴 = 0)
48	46, 15, 47	sylancl 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 0)
49		dcne 2431	. . 3 ⊢ (DECID 𝐴 = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
50	48, 49	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
51	4, 45, 50	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ℝcr 8185  0cc0 8186   · cmul 8191   < clt 8367   ≤ cle 8368   # cap 8918  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9656  ℚcq 10036  ↑cexp 10997  ℙcprime 12911   pCnt cpc 13093

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7028  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-xnn0 9643  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-dvds 12581  df-gcd 12757  df-prm 12912  df-pc 13094

This theorem is used by: (None)