Theorem mvrf2fi 15239

Description: The power series/polynomial variable function maps indices to polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrf2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mvrf2.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrf2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mvrf2fi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mvrf2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mvrf2fi	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem mvrf2fi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mvrf2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4		mvrf2fi.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5		mvrf2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	1, 2, 3, 4, 5	mvrffi 15230	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
7	6	ffnd 5537	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn 𝐼)
8		mvrf2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		mvrf2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ Fin)
11	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13	8, 2, 9, 10, 11, 12	mvrclfi 15238	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵)
14	13	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵)
15		ffnfv 5869	. 2 ⊢ (𝑉:𝐼⟶𝐵 ↔ (𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵))
16	7, 14, 15	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7028  Basecbs 13410  Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154   mVar cmvr 15155   mPoly cmpl 15156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6692  df-er 6812  df-map 6929  df-ixp 6987  df-en 7029  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9655  df-uz 9938  df-fz 10429  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-psr 15157  df-mvr 15158  df-mpl 15159

This theorem is used by: (None)