Theorem rpcxpneg 15657

Description: Value of a complex number raised to a negative power. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxpneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐-𝐵) = (1 / (𝐴↑𝑐𝐵)))

Proof of Theorem rpcxpneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcncxpcl 15652	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	negcld 8479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -𝐵 ∈ ℂ)
4		rpcncxpcl 15652	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐-𝐵) ∈ ℂ)
5	3, 4	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐-𝐵) ∈ ℂ)
6		cxpap0 15654	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) # 0)
7	2	negidd 8482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
8	7	oveq2d 6036	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 + -𝐵)) = (𝐴↑𝑐0))
9		rpcxpadd 15655	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 + -𝐵)) = ((𝐴↑𝑐𝐵) · (𝐴↑𝑐-𝐵)))
10	3, 9	mpd3an3 1374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 + -𝐵)) = ((𝐴↑𝑐𝐵) · (𝐴↑𝑐-𝐵)))
11		rpcxp0 15648	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴↑𝑐0) = 1)
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐0) = 1)
13	8, 10, 12	3eqtr3d 2271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐𝐵) · (𝐴↑𝑐-𝐵)) = 1)
14	1, 5, 6, 13	mvllmulapd 9024	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐-𝐵) = (1 / (𝐴↑𝑐𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  (class class class)co 6020  ℂcc 8032  0cc0 8034  1c1 8035   + caddc 8037   · cmul 8039  -cneg 8353   / cdiv 8854  ℝ⁺crp 9890  ↑_𝑐ccxp 15607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151  ax-pre-mulext 8152  ax-arch 8153  ax-caucvg 8154  ax-pre-suploc 8155  ax-addf 8156  ax-mulf 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-disj 4064  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-po 4392  df-iso 4393  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-isom 5334  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-of 6237  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-irdg 6538  df-frec 6559  df-1o 6584  df-oadd 6588  df-er 6704  df-map 6821  df-pm 6822  df-en 6912  df-dom 6913  df-fin 6914  df-sup 7185  df-inf 7186  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-ap 8764  df-div 8855  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-4 9206  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758  df-q 9856  df-rp 9891  df-xneg 10009  df-xadd 10010  df-ioo 10129  df-ico 10131  df-icc 10132  df-fz 10246  df-fzo 10380  df-seqfrec 10713  df-exp 10804  df-fac 10991  df-bc 11013  df-ihash 11041  df-shft 11395  df-cj 11422  df-re 11423  df-im 11424  df-rsqrt 11578  df-abs 11579  df-clim 11859  df-sumdc 11934  df-ef 12229  df-e 12230  df-rest 13344  df-topgen 13363  df-psmet 14578  df-xmet 14579  df-met 14580  df-bl 14581  df-mopn 14582  df-top 14748  df-topon 14761  df-bases 14793  df-ntr 14846  df-cn 14938  df-cnp 14939  df-tx 15003  df-cncf 15321  df-limced 15406  df-dvap 15407  df-relog 15608  df-rpcxp 15609

This theorem is referenced by:  rpcxpsub  15658  rprelogbdiv  15707