Theorem prdsinvlem 13649

Description: Characterization of inverses in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsinvlem.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvlem.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsinvlem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsinvlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsinvlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsinvlem.z	⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
prdsinvlem.n	⊢ 𝑁 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
prdsinvlem	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem prdsinvlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsinvlem.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)))
2		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑦)) = (Base‘(𝑅‘𝑦))
3		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑦)) = (invg‘(𝑅‘𝑦))
4		prdsinvlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5	4	ffvelcdmda 5772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Grp)
6		prdsinvlem.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
7		prdsinvlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		prdsinvlem.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
10		prdsinvlem.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
12	4	ffnd 5474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
14		prdsinvlem.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
16		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
17	6, 7, 9, 11, 13, 15, 16	prdsbasprj 13323	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
18	2, 3, 5, 17	grpinvcld 13590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
19	18	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
20	6, 7, 8, 10, 12	prdsbasmpt 13321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))))
21	19, 20	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦))) ∈ 𝐵)
22	1, 21	eqeltrid 2316	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
23		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
24		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑥)) = (+g‘(𝑅‘𝑥))
25		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))
26		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑥)) = (invg‘(𝑅‘𝑥))
27	4	ffvelcdmda 5772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ Grp)
28	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
29	10	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
30	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
31	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
32		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
33	6, 7, 28, 29, 30, 31, 32	prdsbasprj 13323	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
34	23, 24, 25, 26, 27, 33	grplinvd 13596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
35		2fveq3 5634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (invg‘(𝑅‘𝑦)) = (invg‘(𝑅‘𝑥)))
36		fveq2 5629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
37	35, 36	fveq12d 5636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
38	23, 26, 27, 33	grpinvcld 13590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
39	1, 37, 32, 38	fvmptd3 5730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑥) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
40	39	oveq1d 6022	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)))
41		prdsinvlem.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
42	41	fveq1i 5630	. . . . . 6 ⊢ ( 0 ‘𝑥) = ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥)
43		fvco2 5705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
44	12, 43	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
45	42, 44	eqtrid 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
46	34, 40, 45	3eqtr4d 2272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = ( 0 ‘𝑥))
47	46	mpteq2dva 4174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
48		prdsinvlem.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑌)
49	6, 7, 8, 10, 12, 22, 14, 48	prdsplusgval 13324	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥))))
50		fn0g 13416	. . . . . 6 ⊢ 0g Fn V
51		ssv 3246	. . . . . . 7 ⊢ ran 𝑅 ⊆ V
52	51	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
53		fnco 5431	. . . . . 6 ⊢ ((0g Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
54	50, 12, 52, 53	mp3an2i 1376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
55	41	fneq1i 5415	. . . . 5 ⊢ ( 0 Fn 𝐼 ↔ (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
56	54, 55	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 Fn 𝐼)
57		dffn5im 5681	. . . 4 ⊢ ( 0 Fn 𝐼 → 0 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
58	56, 57	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
59	47, 49, 58	3eqtr4d 2272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = 0 )
60	22, 59	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197   ↦ cmpt 4145  ran crn 4720   ∘ ccom 4723   Fn wfn 5313  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  0_gc0g 13297  X_scprds 13306  Grpcgrp 13541  inv_gcminusg 13542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-ixp 6854  df-sup 7159  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-fz 10213  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-hom 13142  df-cco 13143  df-rest 13282  df-topn 13283  df-0g 13299  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-prds 13308  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545

This theorem is referenced by:  prdsgrpd  13650  prdsinvgd  13651