Theorem prdsinvlem 13810

Description: Characterization of inverses in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsinvlem.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvlem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvlem.p	⊢ + = (+g‘𝑌)
prdsinvlem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsinvlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsinvlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsinvlem.z	⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
prdsinvlem.n	⊢ 𝑁 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
prdsinvlem	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem prdsinvlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsinvlem.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)))
2		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑦)) = (Base‘(𝑅‘𝑦))
3		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑦)) = (invg‘(𝑅‘𝑦))
4		prdsinvlem.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5	4	ffvelcdmda 5811	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑦) ∈ Grp)
6		prdsinvlem.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
7		prdsinvlem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		prdsinvlem.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
10		prdsinvlem.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
12	4	ffnd 5508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
14		prdsinvlem.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
16		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
17	6, 7, 9, 11, 13, 15, 16	prdsbasprj 13484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
18	2, 3, 5, 17	grpinvcld 13751	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
19	18	ralrimiva 2615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦)))
20	6, 7, 8, 10, 12	prdsbasmpt 13482	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑦))))
21	19, 20	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦))) ∈ 𝐵)
22	1, 21	eqeltrid 2319	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
23		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
24		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑥)) = (+g‘(𝑅‘𝑥))
25		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))
26		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑥)) = (invg‘(𝑅‘𝑥))
27	4	ffvelcdmda 5811	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ Grp)
28	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
29	10	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
30	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
31	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ 𝐵)
32		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
33	6, 7, 28, 29, 30, 31, 32	prdsbasprj 13484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
34	23, 24, 25, 26, 27, 33	grplinvd 13757	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
35		2fveq3 5674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (invg‘(𝑅‘𝑦)) = (invg‘(𝑅‘𝑥)))
36		fveq2 5669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
37	35, 36	fveq12d 5676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((invg‘(𝑅‘𝑦))‘(𝐹‘𝑦)) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
38	23, 26, 27, 33	grpinvcld 13751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
39	1, 37, 32, 38	fvmptd3 5770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘𝑥) = ((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥)))
40	39	oveq1d 6064	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = (((invg‘(𝑅‘𝑥))‘(𝐹‘𝑥))(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)))
41		prdsinvlem.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g ∘ 𝑅)
42	41	fveq1i 5670	. . . . . 6 ⊢ ( 0 ‘𝑥) = ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥)
43		fvco2 5745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
44	12, 43	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ 𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
45	42, 44	eqtrid 2277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( 0 ‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
46	34, 40, 45	3eqtr4d 2275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥)) = ( 0 ‘𝑥))
47	46	mpteq2dva 4199	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
48		prdsinvlem.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑌)
49	6, 7, 8, 10, 12, 22, 14, 48	prdsplusgval 13485	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑁‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐹‘𝑥))))
50		fn0g 13577	. . . . . 6 ⊢ 0g Fn V
51		ssv 3259	. . . . . . 7 ⊢ ran 𝑅 ⊆ V
52	51	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
53		fnco 5465	. . . . . 6 ⊢ ((0g Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
54	50, 12, 52, 53	mp3an2i 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
55	41	fneq1i 5449	. . . . 5 ⊢ ( 0 Fn 𝐼 ↔ (0g ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
56	54, 55	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 Fn 𝐼)
57		dffn5im 5721	. . . 4 ⊢ ( 0 Fn 𝐼 → 0 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
58	56, 57	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 0 ‘𝑥)))
59	47, 49, 58	3eqtr4d 2275	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = 0 )
60	22, 59	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  Vcvv 2812   ⊆ wss 3210   ↦ cmpt 4170  ran crn 4749   ∘ ccom 4752   Fn wfn 5346  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  0_gc0g 13458  X_scprds 13467  Grpcgrp 13702  inv_gcminusg 13703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-ixp 6933  df-sup 7274  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-fz 10339  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-hom 13303  df-cco 13304  df-rest 13443  df-topn 13444  df-0g 13460  df-topgen 13462  df-pt 13463  df-prds 13469  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-grp 13705  df-minusg 13706

This theorem is referenced by:  prdsgrpd  13811  prdsinvgd  13812