Theorem cats1fvd 11259

Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1fvd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
cats1fvd.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝑀)
cats1fvd.yex	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
cats1fvd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
cats1fvd.y	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
cats1fvd.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
cats1fvd.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cats1fvd	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Proof of Theorem cats1fvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	fveq1i 5601	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑁) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)
3		cats1fvd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
4		cats1fvd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
5	4	elexd 2791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
6	5	s1cld 11116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
7		cats1fvd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		nn0uz 9720	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	eleqtrdi 2300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
10		lencl 11037	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
11		nn0z 9429	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
12	3, 10, 11	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
13		cats1fvd.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
14		cats1fvd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝑀)
15	13, 14	breqtrrd 4088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (♯‘𝑆))
16		elfzo2 10309	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑆)))
17	9, 12, 15, 16	syl3anbrc 1184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
18		ccatval1 11093	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
19	3, 6, 17, 18	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
20	2, 19	eqtrid 2252	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
21		cats1fvd.y	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
22	20, 21	eqtrd 2240	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2777   class class class wbr 4060  ‘cfv 5291  (class class class)co 5969  0cc0 7962   < clt 8144  ℕ₀cn0 9332  ℤcz 9409  ℤ_≥cuz 9685  ..^cfzo 10301  ♯chash 10959  Word cword 11033   ++ cconcat 11086  ⟨“cs1 11109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-addass 8064  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-iord 4432  df-on 4434  df-ilim 4435  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-frec 6502  df-1o 6527  df-er 6645  df-en 6853  df-dom 6854  df-fin 6855  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-inn 9074  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-fz 10168  df-fzo 10302  df-ihash 10960  df-word 11034  df-concat 11087  df-s1 11110

This theorem is referenced by:  s2fv0g  11280  s3fv0g  11284  s3fv1g  11285