Theorem cats1fvd 11560

Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1fvd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
cats1fvd.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝑀)
cats1fvd.yex	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
cats1fvd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
cats1fvd.y	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
cats1fvd.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
cats1fvd.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cats1fvd	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Proof of Theorem cats1fvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	fveq1i 5699	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑁) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)
3		cats1fvd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
4		cats1fvd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
5	4	elexd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
6	5	s1cld 11412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
7		cats1fvd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		nn0uz 9973	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	eleqtrdi 2331	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
10		lencl 11330	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
11		nn0z 9675	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
12	3, 10, 11	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
13		cats1fvd.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
14		cats1fvd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝑀)
15	13, 14	breqtrrd 4159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (♯‘𝑆))
16		elfzo2 10574	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑆)))
17	9, 12, 15, 16	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
18		ccatval1 11387	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
19	3, 6, 17, 18	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
20	2, 19	eqtrid 2283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
21		cats1fvd.y	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
22	20, 21	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  0cc0 8185   < clt 8366  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326   ++ cconcat 11380  ⟨“cs1 11405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381  df-s1 11406

This theorem is used by:  s2fv0g  11581  s3fv0g  11585  s3fv1g  11586