Theorem cats1fvd 11483

Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1fvd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
cats1fvd.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝑀)
cats1fvd.yex	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
cats1fvd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
cats1fvd.y	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
cats1fvd.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
cats1fvd.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cats1fvd	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Proof of Theorem cats1fvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	fveq1i 5676	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑁) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)
3		cats1fvd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
4		cats1fvd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
5	4	elexd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
6	5	s1cld 11335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
7		cats1fvd.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		nn0uz 9907	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	eleqtrdi 2327	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
10		lencl 11253	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
11		nn0z 9614	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
12	3, 10, 11	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
13		cats1fvd.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
14		cats1fvd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 𝑀)
15	13, 14	breqtrrd 4142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (♯‘𝑆))
16		elfzo2 10506	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑆)))
17	9, 12, 15, 16	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
18		ccatval1 11310	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
19	3, 6, 17, 18	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
20	2, 19	eqtrid 2279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
21		cats1fvd.y	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
22	20, 21	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  0cc0 8143   < clt 8324  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249   ++ cconcat 11303  ⟨“cs1 11328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-concat 11304  df-s1 11329

This theorem is referenced by:  s2fv0g  11504  s3fv0g  11508  s3fv1g  11509