Theorem seq1g 10824

Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
seq1g	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Proof of Theorem seq1g

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fvexg 5688	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
3	2	3ad2antl2 1187	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
4		simprl 531	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑥 ∈ V)
5		simpl3 1029	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → + ∈ 𝑊)
6		simprr 533	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑦 ∈ V)
7		ovexg 6083	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ + ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ V)
9	1, 3, 8	seq3-1 10823	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℤcz 9576  ℤ_≥cuz 9852  seqcseq 10808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-seqfrec 10809

This theorem is referenced by:  seqfveq2g  10838  seqfveqg  10839  seqshft2g  10843  seqsplitg  10850  seqcaopr3g  10853  seqf1oglem2a  10879  seqf1oglem2  10881  seqf1og  10882  seqhomog  10891  gsumfzconst  14050