Theorem zring1 14413

Description: The unity element of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zring1	⊢ 1 = (1r‘ℤring)

Proof of Theorem zring1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubrg 14393	. 2 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
2		df-zring 14403	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfld1 14384	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
4	2, 3	subrg1 14043	. 2 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 = (1r‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5277  1c1 7939  ℤcz 9385  1_rcur 13771  SubRingcsubrg 14029  ℂ_fldccnfld 14368  ℤ_ringczring 14402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-addf 8060  ax-mulf 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-tp 3643  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-9 9115  df-n0 9309  df-z 9386  df-dec 9518  df-uz 9662  df-rp 9789  df-fz 10144  df-cj 11203  df-abs 11360  df-struct 12884  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-iress 12890  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-starv 12974  df-tset 12978  df-ple 12979  df-ds 12981  df-unif 12982  df-0g 13140  df-topgen 13142  df-mgm 13238  df-sgrp 13284  df-mnd 13299  df-grp 13385  df-minusg 13386  df-subg 13556  df-cmn 13672  df-mgp 13733  df-ur 13772  df-ring 13810  df-cring 13811  df-subrg 14031  df-bl 14358  df-mopn 14359  df-fg 14361  df-metu 14362  df-cnfld 14369  df-zring 14403

This theorem is referenced by:  zringnzr  14414  mulgrhm  14421  mulgrhm2  14422  zrh1  14436