Theorem addasssr 11100

Description: Addition of signed reals is associative. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addasssr	⊢ ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶))

Proof of Theorem addasssr

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11068	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		addsrpr 11087	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
3		addsrpr 11087	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R +R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨(𝑧 +P 𝑣), (𝑤 +P 𝑢)⟩] ~R )
4		addsrpr 11087	. . 3 ⊢ ((((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ([⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R +R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣), ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢)⟩] ~R )
5		addsrpr 11087	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨(𝑧 +P 𝑣), (𝑤 +P 𝑢)⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣)), (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢))⟩] ~R )
6		addclpr 11030	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑧) ∈ P)
7		addclpr 11030	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑦 +P 𝑤) ∈ P)
8	6, 7	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
9	8	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
10		addclpr 11030	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (𝑧 +P 𝑣) ∈ P)
11		addclpr 11030	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P) → (𝑤 +P 𝑢) ∈ P)
12	10, 11	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝑤 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P))
13	12	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P))
14		addasspr 11034	. . 3 ⊢ ((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣) = (𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣))
15		addasspr 11034	. . 3 ⊢ ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢) = (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢))
16	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15	ecovass 8836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶)))
17		dmaddsr 11097	. . 3 ⊢ dom +R = (R × R)
18		0nsr 11091	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ R
19	17, 18	ndmovass 7593	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶)))
20	16, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  Pcnp 10871   +_P cpp 10873   ~_R cer 10876  Rcnr 10877   +_R cplr 10881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-ni 10884  df-pli 10885  df-mi 10886  df-lti 10887  df-plpq 10920  df-mpq 10921  df-ltpq 10922  df-enq 10923  df-nq 10924  df-erq 10925  df-plq 10926  df-mq 10927  df-1nq 10928  df-rq 10929  df-ltnq 10930  df-np 10993  df-plp 10995  df-ltp 10997  df-enr 11067  df-nr 11068  df-plr 11069

This theorem is referenced by:  map2psrpr  11122  axaddass  11168  axmulass  11169  axdistr  11170