Theorem addasssr 10997

Description: Addition of signed reals is associative. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addasssr	⊢ ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶))

Proof of Theorem addasssr

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 10965	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		addsrpr 10984	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
3		addsrpr 10984	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R +R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨(𝑧 +P 𝑣), (𝑤 +P 𝑢)⟩] ~R )
4		addsrpr 10984	. . 3 ⊢ ((((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ([⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R +R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣), ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢)⟩] ~R )
5		addsrpr 10984	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨(𝑧 +P 𝑣), (𝑤 +P 𝑢)⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣)), (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢))⟩] ~R )
6		addclpr 10927	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑧) ∈ P)
7		addclpr 10927	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑦 +P 𝑤) ∈ P)
8	6, 7	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
9	8	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
10		addclpr 10927	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (𝑧 +P 𝑣) ∈ P)
11		addclpr 10927	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P) → (𝑤 +P 𝑢) ∈ P)
12	10, 11	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝑤 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P))
13	12	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P))
14		addasspr 10931	. . 3 ⊢ ((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣) = (𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣))
15		addasspr 10931	. . 3 ⊢ ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢) = (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢))
16	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15	ecovass 8759	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶)))
17		dmaddsr 10994	. . 3 ⊢ dom +R = (R × R)
18		0nsr 10988	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ R
19	17, 18	ndmovass 7544	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶)))
20	16, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  Pcnp 10768   +_P cpp 10770   ~_R cer 10773  Rcnr 10774   +_R cplr 10778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-ni 10781  df-pli 10782  df-mi 10783  df-lti 10784  df-plpq 10817  df-mpq 10818  df-ltpq 10819  df-enq 10820  df-nq 10821  df-erq 10822  df-plq 10823  df-mq 10824  df-1nq 10825  df-rq 10826  df-ltnq 10827  df-np 10890  df-plp 10892  df-ltp 10894  df-enr 10964  df-nr 10965  df-plr 10966

This theorem is referenced by:  map2psrpr  11019  axaddass  11065  axmulass  11066  axdistr  11067