Theorem addasssr 11166

Description: Addition of signed reals is associative. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addasssr	⊢ ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶))

Proof of Theorem addasssr

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11134	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		addsrpr 11153	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
3		addsrpr 11153	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R +R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨(𝑧 +P 𝑣), (𝑤 +P 𝑢)⟩] ~R )
4		addsrpr 11153	. . 3 ⊢ ((((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ([⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R +R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣), ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢)⟩] ~R )
5		addsrpr 11153	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨(𝑧 +P 𝑣), (𝑤 +P 𝑢)⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣)), (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢))⟩] ~R )
6		addclpr 11096	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑧) ∈ P)
7		addclpr 11096	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑦 +P 𝑤) ∈ P)
8	6, 7	anim12i 625	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
9	8	an4s 673	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
10		addclpr 11096	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (𝑧 +P 𝑣) ∈ P)
11		addclpr 11096	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P) → (𝑤 +P 𝑢) ∈ P)
12	10, 11	anim12i 625	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝑤 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P))
13	12	an4s 673	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P))
14		addasspr 11100	. . 3 ⊢ ((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣) = (𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣))
15		addasspr 11100	. . 3 ⊢ ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢) = (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢))
16	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15	ecovass 8838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶)))
17		dmaddsr 11163	. . 3 ⊢ dom +R = (R × R)
18		0nsr 11157	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ R
19	17, 18	ndmovass 7607	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶)))
20	16, 19	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  Pcnp 10937   +_P cpp 10939   ~_R cer 10942  Rcnr 10943   +_R cplr 10947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-ec 8712  df-qs 8716  df-ni 10950  df-pli 10951  df-mi 10952  df-lti 10953  df-plpq 10986  df-mpq 10987  df-ltpq 10988  df-enq 10989  df-nq 10990  df-erq 10991  df-plq 10992  df-mq 10993  df-1nq 10994  df-rq 10995  df-ltnq 10996  df-np 11059  df-plp 11061  df-ltp 11063  df-enr 11133  df-nr 11134  df-plr 11135

This theorem is used by:  map2psrpr  11188  axaddass  11234  axmulass  11235  axdistr  11236