MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addasssr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addasssr 11086
Description: Addition of signed reals is associative. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addasssr ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶))

Proof of Theorem addasssr
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 11054 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 addsrpr 11073 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
3 addsrpr 11073 . . 3 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R +R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨(𝑧 +P 𝑣), (𝑤 +P 𝑢)⟩] ~R )
4 addsrpr 11073 . . 3 ((((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ([⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R +R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣), ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢)⟩] ~R )
5 addsrpr 11073 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨(𝑧 +P 𝑣), (𝑤 +P 𝑢)⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣)), (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢))⟩] ~R )
6 addclpr 11016 . . . . 5 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 +P 𝑧) ∈ P)
7 addclpr 11016 . . . . 5 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 +P 𝑤) ∈ P)
86, 7anim12i 612 . . . 4 (((𝑥P𝑧P) ∧ (𝑦P𝑤P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
98an4s 657 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
10 addclpr 11016 . . . . 5 ((𝑧P𝑣P) → (𝑧 +P 𝑣) ∈ P)
11 addclpr 11016 . . . . 5 ((𝑤P𝑢P) → (𝑤 +P 𝑢) ∈ P)
1210, 11anim12i 612 . . . 4 (((𝑧P𝑣P) ∧ (𝑤P𝑢P)) → ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P))
1312an4s 657 . . 3 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ((𝑧 +P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 +P 𝑢) ∈ P))
14 addasspr 11020 . . 3 ((𝑥 +P 𝑧) +P 𝑣) = (𝑥 +P (𝑧 +P 𝑣))
15 addasspr 11020 . . 3 ((𝑦 +P 𝑤) +P 𝑢) = (𝑦 +P (𝑤 +P 𝑢))
161, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15ecovass 8821 . 2 ((𝐴R𝐵R𝐶R) → ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶)))
17 dmaddsr 11083 . . 3 dom +R = (R × R)
18 0nsr 11077 . . 3 ¬ ∅ ∈ R
1917, 18ndmovass 7598 . 2 (¬ (𝐴R𝐵R𝐶R) → ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶)))
2016, 19pm2.61i 182 1 ((𝐴 +R 𝐵) +R 𝐶) = (𝐴 +R (𝐵 +R 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  (class class class)co 7412  Pcnp 10857   +P cpp 10859   ~R cer 10862  Rcnr 10863   +R cplr 10867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-ec 8708  df-qs 8712  df-ni 10870  df-pli 10871  df-mi 10872  df-lti 10873  df-plpq 10906  df-mpq 10907  df-ltpq 10908  df-enq 10909  df-nq 10910  df-erq 10911  df-plq 10912  df-mq 10913  df-1nq 10914  df-rq 10915  df-ltnq 10916  df-np 10979  df-plp 10981  df-ltp 10983  df-enr 11053  df-nr 11054  df-plr 11055
This theorem is referenced by:  map2psrpr  11108  axaddass  11154  axmulass  11155  axdistr  11156
  Copyright terms: Public domain W3C validator