Theorem divsubdird 11959

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11837	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027   − cmin 11366   / cdiv 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13440  discr  14191  crre  15065  reccn2  15548  iseralt  15636  trireciplem  15816  geolim  15824  geolim2  15825  georeclim  15826  bpolydiflem  16008  bitsinv1lem  16399  fldivp1  16857  mul4sqlem  16913  lebnumii  24942  dyadovol  25569  mbfi1fseqlem6  25696  dvmptdiv  25950  dveflem  25955  dvsincos  25957  dvlip  25970  ulmdvlem1  26380  efeq1  26508  tanarg  26599  logcnlem4  26625  ang180lem1  26790  angpieqvdlem  26809  chordthmlem2  26814  chordthmlem4  26816  dcubic1lem  26824  dcubic2  26825  mcubic  26828  cubic2  26829  dquartlem1  26832  dquartlem2  26833  dquart  26834  2efiatan  26899  tanatan  26900  atantan  26904  dvatan  26916  atantayl  26918  atantayl2  26919  birthdaylem2  26933  jensenlem2  26969  logdiflbnd  26976  emcllem2  26978  lgamgulmlem2  27011  basellem8  27069  lgseisenlem1  27357  lgsquadlem2  27363  vmalogdivsum2  27520  vmalogdivsum  27521  2vmadivsumlem  27522  selberg3lem1  27539  selberg4lem1  27542  selberg4  27543  pntrmax  27546  pntrsumo1  27547  selberg3r  27551  selberg4r  27552  selberg34r  27553  pntrlog2bndlem4  27562  pntpbnd2  27569  pntibndlem2  27573  pntlemo  27589  pntlem3  27591  brbtwn2  28993  axsegconlem9  29013  axsegconlem10  29014  axpaschlem  29028  axcontlem8  29059  constrrtcclem  33899  dya2icoseg  34442  itg2addnclem  38003  pellexlem2  43273  pellexlem6  43277  areaquad  43659  sqrtcval  44083  hashnzfzclim  44764  binomcxplemrat  44792  oddfl  45726  sumnnodd  46075  itgcoscmulx  46412  itgsincmulx  46417  stirlinglem1  46517  stirlinglem6  46522  dirkercncflem1  46546  fourierdlem26  46576  fourierdlem30  46580  fourierdlem65  46614  ppivalnnprm  48085  quad1  48093  requad1  48095  1subrec1sub  49178  eenglngeehlnmlem1  49210  eenglngeehlnmlem2  49211  itscnhlc0xyqsol  49238