Theorem divsubdird 12064

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11943	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  0cc0 11137   − cmin 11474   / cdiv 11902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13520  discr  14261  crre  15135  reccn2  15615  iseralt  15703  trireciplem  15880  geolim  15888  geolim2  15889  georeclim  15890  bpolydiflem  16072  bitsinv1lem  16460  fldivp1  16917  mul4sqlem  16973  lebnumii  24934  dyadovol  25564  mbfi1fseqlem6  25691  dvmptdiv  25948  dveflem  25953  dvsincos  25955  dvlip  25968  ulmdvlem1  26379  efeq1  26506  tanarg  26597  logcnlem4  26623  ang180lem1  26788  angpieqvdlem  26807  chordthmlem2  26812  chordthmlem4  26814  dcubic1lem  26822  dcubic2  26823  mcubic  26826  cubic2  26827  dquartlem1  26830  dquartlem2  26831  dquart  26832  2efiatan  26897  tanatan  26898  atantan  26902  dvatan  26914  atantayl  26916  atantayl2  26917  birthdaylem2  26931  jensenlem2  26967  logdiflbnd  26974  emcllem2  26976  lgamgulmlem2  27009  basellem8  27067  lgseisenlem1  27355  lgsquadlem2  27361  vmalogdivsum2  27518  vmalogdivsum  27519  2vmadivsumlem  27520  selberg3lem1  27537  selberg4lem1  27540  selberg4  27541  pntrmax  27544  pntrsumo1  27545  selberg3r  27549  selberg4r  27550  selberg34r  27551  pntrlog2bndlem4  27560  pntpbnd2  27567  pntibndlem2  27571  pntlemo  27587  pntlem3  27589  brbtwn2  28850  axsegconlem9  28870  axsegconlem10  28871  axpaschlem  28885  axcontlem8  28916  constrrtcclem  33714  dya2icoseg  34238  itg2addnclem  37637  pellexlem2  42804  pellexlem6  42808  areaquad  43191  sqrtcval  43616  hashnzfzclim  44298  binomcxplemrat  44326  oddfl  45246  sumnnodd  45602  itgcoscmulx  45941  itgsincmulx  45946  stirlinglem1  46046  stirlinglem6  46051  dirkercncflem1  46075  fourierdlem26  46105  fourierdlem30  46109  fourierdlem65  46143  quad1  47565  requad1  47567  1subrec1sub  48584  eenglngeehlnmlem1  48616  eenglngeehlnmlem2  48617  itscnhlc0xyqsol  48644