Theorem divsubdird 12133

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 12011	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  0cc0 11201   − cmin 11542   / cdiv 11974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975

This theorem is used by:  xov1plusxeqvd  13630  discr  14385  crre  15282  reccn2  15765  iseralt  15853  trireciplem  16032  geolim  16040  geolim2  16041  georeclim  16042  bpolydiflem  16221  bitsinv1lem  16612  fldivp1  17076  mul4sqlem  17132  lebnumii  25288  dyadovol  25915  mbfi1fseqlem6  26042  dvmptdiv  26295  dveflem  26300  dvsincos  26302  dvlip  26314  ulmdvlem1  26728  efeq1  26857  tanarg  26948  logcnlem4  26974  ang180lem1  27138  angpieqvdlem  27157  chordthmlem2  27162  chordthmlem4  27164  dcubic1lem  27172  dcubic2  27173  mcubic  27176  cubic2  27177  dquartlem1  27180  dquartlem2  27181  dquart  27182  2efiatan  27247  tanatan  27248  atantan  27252  dvatan  27264  atantayl  27266  atantayl2  27267  birthdaylem2  27281  jensenlem2  27316  logdiflbnd  27323  emcllem2  27325  lgamgulmlem2  27358  basellem8  27416  lgseisenlem1  27703  lgsquadlem2  27709  vmalogdivsum2  27866  vmalogdivsum  27867  2vmadivsumlem  27868  selberg3lem1  27885  selberg4lem1  27888  selberg4  27889  pntrmax  27892  pntrsumo1  27893  selberg3r  27897  selberg4r  27898  selberg34r  27899  pntrlog2bndlem4  27908  pntpbnd2  27915  pntibndlem2  27919  pntlemo  27935  pntlem3  27937  brbtwn2  29484  axsegconlem9  29504  axsegconlem10  29505  axpaschlem  29519  axcontlem8  29550  constrrtcclem  34409  dya2icoseg  34952  itg2addnclem  38665  pellexlem2  43913  pellexlem6  43917  areaquad  44294  sqrtcval  44717  hashnzfzclim  45382  binomcxplemrat  45410  oddfl  46370  sumnnodd  46718  itgcoscmulx  47055  itgsincmulx  47060  stirlinglem1  47160  stirlinglem6  47165  dirkercncflem1  47189  fourierdlem26  47219  fourierdlem30  47223  fourierdlem65  47257  ppivalnnprm  48786  quad1  48794  requad1  48796  1subrec1sub  49893  eenglngeehlnmlem1  49925  eenglngeehlnmlem2  49926  itscnhlc0xyqsol  49953