Theorem divsubdird 11132

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11013	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1494	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  0cc0 10224   − cmin 10556   / cdiv 10976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12572  discr  13255  crre  14195  reccn2  14668  iseralt  14756  trireciplem  14932  geolim  14939  geolim2  14940  georeclim  14941  bpolydiflem  15121  bitsinv1lem  15498  fldivp1  15934  mul4sqlem  15990  lebnumii  23093  dyadovol  23701  mbfi1fseqlem6  23828  dvmptdiv  24078  dveflem  24083  dvsincos  24085  dvlip  24097  ulmdvlem1  24495  efeq1  24617  tanarg  24706  logcnlem4  24732  ang180lem1  24891  angpieqvdlem  24907  chordthmlem2  24912  chordthmlem4  24914  dcubic1lem  24922  dcubic2  24923  mcubic  24926  cubic2  24927  dquartlem1  24930  dquartlem2  24931  dquart  24932  2efiatan  24997  tanatan  24998  atantan  25002  dvatan  25014  atantayl  25016  atantayl2  25017  birthdaylem2  25031  jensenlem2  25066  logdiflbnd  25073  emcllem2  25075  lgamgulmlem2  25108  basellem8  25166  lgseisenlem1  25452  lgsquadlem2  25458  vmalogdivsum2  25579  vmalogdivsum  25580  2vmadivsumlem  25581  selberg3lem1  25598  selberg4lem1  25601  selberg4  25602  pntrmax  25605  pntrsumo1  25606  selberg3r  25610  selberg4r  25611  selberg34r  25612  pntrlog2bndlem4  25621  pntpbnd2  25628  pntibndlem2  25632  pntlemo  25648  pntlem3  25650  brbtwn2  26142  axsegconlem9  26162  axsegconlem10  26163  axpaschlem  26177  axcontlem8  26208  dya2icoseg  30855  itg2addnclem  33949  pellexlem2  38180  pellexlem6  38184  areaquad  38586  hashnzfzclim  39303  binomcxplemrat  39331  oddfl  40235  sumnnodd  40606  itgcoscmulx  40928  itgsincmulx  40933  stirlinglem1  41034  stirlinglem6  41039  dirkercncflem1  41063  fourierdlem26  41093  fourierdlem30  41097  fourierdlem65  41131