Theorem divsubdird 12021

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11899	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088   − cmin 11429   / cdiv 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13516  discr  14267  crre  15155  reccn2  15638  iseralt  15726  trireciplem  15906  geolim  15914  geolim2  15915  georeclim  15916  bpolydiflem  16098  bitsinv1lem  16489  fldivp1  16947  mul4sqlem  17003  lebnumii  25086  dyadovol  25713  mbfi1fseqlem6  25840  dvmptdiv  26094  dveflem  26099  dvsincos  26101  dvlip  26113  ulmdvlem1  26521  efeq1  26651  tanarg  26742  logcnlem4  26768  ang180lem1  26932  angpieqvdlem  26951  chordthmlem2  26956  chordthmlem4  26958  dcubic1lem  26966  dcubic2  26967  mcubic  26970  cubic2  26971  dquartlem1  26974  dquartlem2  26975  dquart  26976  2efiatan  27041  tanatan  27042  atantan  27046  dvatan  27058  atantayl  27060  atantayl2  27061  birthdaylem2  27075  jensenlem2  27110  logdiflbnd  27117  emcllem2  27119  lgamgulmlem2  27152  basellem8  27210  lgseisenlem1  27497  lgsquadlem2  27503  vmalogdivsum2  27660  vmalogdivsum  27661  2vmadivsumlem  27662  selberg3lem1  27679  selberg4lem1  27682  selberg4  27683  pntrmax  27686  pntrsumo1  27687  selberg3r  27691  selberg4r  27692  selberg34r  27693  pntrlog2bndlem4  27702  pntpbnd2  27709  pntibndlem2  27713  pntlemo  27729  pntlem3  27731  brbtwn2  29164  axsegconlem9  29184  axsegconlem10  29185  axpaschlem  29199  axcontlem8  29230  constrrtcclem  34041  dya2icoseg  34584  itg2addnclem  38182  pellexlem2  43419  pellexlem6  43423  areaquad  43805  sqrtcval  44229  hashnzfzclim  44896  binomcxplemrat  44924  oddfl  45855  sumnnodd  46204  itgcoscmulx  46541  itgsincmulx  46546  stirlinglem1  46646  stirlinglem6  46651  dirkercncflem1  46675  fourierdlem26  46705  fourierdlem30  46709  fourierdlem65  46743  ppivalnnprm  48232  quad1  48240  requad1  48242  1subrec1sub  49336  eenglngeehlnmlem1  49368  eenglngeehlnmlem2  49369  itscnhlc0xyqsol  49396