Theorem divsubdird 12029

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11907	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  0cc0 11099   − cmin 11440   / cdiv 11870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13524  discr  14276  crre  15165  reccn2  15648  iseralt  15736  trireciplem  15916  geolim  15924  geolim2  15925  georeclim  15926  bpolydiflem  16107  bitsinv1lem  16498  fldivp1  16956  mul4sqlem  17012  lebnumii  25104  dyadovol  25731  mbfi1fseqlem6  25858  dvmptdiv  26112  dveflem  26117  dvsincos  26119  dvlip  26131  ulmdvlem1  26539  efeq1  26669  tanarg  26760  logcnlem4  26786  ang180lem1  26950  angpieqvdlem  26969  chordthmlem2  26974  chordthmlem4  26976  dcubic1lem  26984  dcubic2  26985  mcubic  26988  cubic2  26989  dquartlem1  26992  dquartlem2  26993  dquart  26994  2efiatan  27059  tanatan  27060  atantan  27064  dvatan  27076  atantayl  27078  atantayl2  27079  birthdaylem2  27093  jensenlem2  27128  logdiflbnd  27135  emcllem2  27137  lgamgulmlem2  27170  basellem8  27228  lgseisenlem1  27515  lgsquadlem2  27521  vmalogdivsum2  27678  vmalogdivsum  27679  2vmadivsumlem  27680  selberg3lem1  27697  selberg4lem1  27700  selberg4  27701  pntrmax  27704  pntrsumo1  27705  selberg3r  27709  selberg4r  27710  selberg34r  27711  pntrlog2bndlem4  27720  pntpbnd2  27727  pntibndlem2  27731  pntlemo  27747  pntlem3  27749  brbtwn2  29221  axsegconlem9  29241  axsegconlem10  29242  axpaschlem  29256  axcontlem8  29287  constrrtcclem  34090  dya2icoseg  34633  itg2addnclem  38288  pellexlem2  43527  pellexlem6  43531  areaquad  43913  sqrtcval  44337  hashnzfzclim  45002  binomcxplemrat  45030  oddfl  45967  sumnnodd  46316  itgcoscmulx  46653  itgsincmulx  46658  stirlinglem1  46758  stirlinglem6  46763  dirkercncflem1  46787  fourierdlem26  46817  fourierdlem30  46821  fourierdlem65  46855  ppivalnnprm  48344  quad1  48352  requad1  48354  1subrec1sub  49452  eenglngeehlnmlem1  49484  eenglngeehlnmlem2  49485  itscnhlc0xyqsol  49512