Theorem divsubdird 12061

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11940	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134   − cmin 11471   / cdiv 11899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13520  discr  14263  crre  15138  reccn2  15618  iseralt  15706  trireciplem  15883  geolim  15891  geolim2  15892  georeclim  15893  bpolydiflem  16075  bitsinv1lem  16465  fldivp1  16922  mul4sqlem  16978  lebnumii  24921  dyadovol  25551  mbfi1fseqlem6  25678  dvmptdiv  25935  dveflem  25940  dvsincos  25942  dvlip  25955  ulmdvlem1  26366  efeq1  26494  tanarg  26585  logcnlem4  26611  ang180lem1  26776  angpieqvdlem  26795  chordthmlem2  26800  chordthmlem4  26802  dcubic1lem  26810  dcubic2  26811  mcubic  26814  cubic2  26815  dquartlem1  26818  dquartlem2  26819  dquart  26820  2efiatan  26885  tanatan  26886  atantan  26890  dvatan  26902  atantayl  26904  atantayl2  26905  birthdaylem2  26919  jensenlem2  26955  logdiflbnd  26962  emcllem2  26964  lgamgulmlem2  26997  basellem8  27055  lgseisenlem1  27343  lgsquadlem2  27349  vmalogdivsum2  27506  vmalogdivsum  27507  2vmadivsumlem  27508  selberg3lem1  27525  selberg4lem1  27528  selberg4  27529  pntrmax  27532  pntrsumo1  27533  selberg3r  27537  selberg4r  27538  selberg34r  27539  pntrlog2bndlem4  27548  pntpbnd2  27555  pntibndlem2  27559  pntlemo  27575  pntlem3  27577  brbtwn2  28889  axsegconlem9  28909  axsegconlem10  28910  axpaschlem  28924  axcontlem8  28955  constrrtcclem  33773  dya2icoseg  34314  itg2addnclem  37700  pellexlem2  42828  pellexlem6  42832  areaquad  43215  sqrtcval  43640  hashnzfzclim  44321  binomcxplemrat  44349  oddfl  45286  sumnnodd  45639  itgcoscmulx  45978  itgsincmulx  45983  stirlinglem1  46083  stirlinglem6  46088  dirkercncflem1  46112  fourierdlem26  46142  fourierdlem30  46146  fourierdlem65  46180  quad1  47614  requad1  47616  1subrec1sub  48665  eenglngeehlnmlem1  48697  eenglngeehlnmlem2  48698  itscnhlc0xyqsol  48725