Theorem divsubdird 12109

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11988	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   − cmin 11520   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13558  discr  14289  crre  15163  reccn2  15643  iseralt  15733  trireciplem  15910  geolim  15918  geolim2  15919  georeclim  15920  bpolydiflem  16102  bitsinv1lem  16487  fldivp1  16944  mul4sqlem  17000  lebnumii  25017  dyadovol  25647  mbfi1fseqlem6  25775  dvmptdiv  26032  dveflem  26037  dvsincos  26039  dvlip  26052  ulmdvlem1  26461  efeq1  26588  tanarg  26679  logcnlem4  26705  ang180lem1  26870  angpieqvdlem  26889  chordthmlem2  26894  chordthmlem4  26896  dcubic1lem  26904  dcubic2  26905  mcubic  26908  cubic2  26909  dquartlem1  26912  dquartlem2  26913  dquart  26914  2efiatan  26979  tanatan  26980  atantan  26984  dvatan  26996  atantayl  26998  atantayl2  26999  birthdaylem2  27013  jensenlem2  27049  logdiflbnd  27056  emcllem2  27058  lgamgulmlem2  27091  basellem8  27149  lgseisenlem1  27437  lgsquadlem2  27443  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  selberg3lem1  27619  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  pntrmax  27626  pntrsumo1  27627  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntrlog2bndlem4  27642  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntlemo  27669  pntlem3  27671  brbtwn2  28938  axsegconlem9  28958  axsegconlem10  28959  axpaschlem  28973  axcontlem8  29004  constrrtcclem  33725  dya2icoseg  34242  itg2addnclem  37631  pellexlem2  42786  pellexlem6  42790  areaquad  43177  sqrtcval  43603  hashnzfzclim  44291  binomcxplemrat  44319  oddfl  45192  sumnnodd  45551  itgcoscmulx  45890  itgsincmulx  45895  stirlinglem1  45995  stirlinglem6  46000  dirkercncflem1  46024  fourierdlem26  46054  fourierdlem30  46058  fourierdlem65  46092  quad1  47494  requad1  47496  1subrec1sub  48439  eenglngeehlnmlem1  48471  eenglngeehlnmlem2  48472  itscnhlc0xyqsol  48499