Theorem divsubdird 11970

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11848	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   − cmin 11377   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13451  discr  14202  crre  15076  reccn2  15559  iseralt  15647  trireciplem  15827  geolim  15835  geolim2  15836  georeclim  15837  bpolydiflem  16019  bitsinv1lem  16410  fldivp1  16868  mul4sqlem  16924  lebnumii  24933  dyadovol  25560  mbfi1fseqlem6  25687  dvmptdiv  25941  dveflem  25946  dvsincos  25948  dvlip  25960  ulmdvlem1  26365  efeq1  26492  tanarg  26583  logcnlem4  26609  ang180lem1  26773  angpieqvdlem  26792  chordthmlem2  26797  chordthmlem4  26799  dcubic1lem  26807  dcubic2  26808  mcubic  26811  cubic2  26812  dquartlem1  26815  dquartlem2  26816  dquart  26817  2efiatan  26882  tanatan  26883  atantan  26887  dvatan  26899  atantayl  26901  atantayl2  26902  birthdaylem2  26916  jensenlem2  26951  logdiflbnd  26958  emcllem2  26960  lgamgulmlem2  26993  basellem8  27051  lgseisenlem1  27338  lgsquadlem2  27344  vmalogdivsum2  27501  vmalogdivsum  27502  2vmadivsumlem  27503  selberg3lem1  27520  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  pntrmax  27527  pntrsumo1  27528  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem4  27543  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntlemo  27570  pntlem3  27572  brbtwn2  28974  axsegconlem9  28994  axsegconlem10  28995  axpaschlem  29009  axcontlem8  29040  constrrtcclem  33878  dya2icoseg  34421  itg2addnclem  37992  pellexlem2  43258  pellexlem6  43262  areaquad  43644  sqrtcval  44068  hashnzfzclim  44749  binomcxplemrat  44777  oddfl  45711  sumnnodd  46060  itgcoscmulx  46397  itgsincmulx  46402  stirlinglem1  46502  stirlinglem6  46507  dirkercncflem1  46531  fourierdlem26  46561  fourierdlem30  46565  fourierdlem65  46599  ppivalnnprm  48082  quad1  48090  requad1  48092  1subrec1sub  49175  eenglngeehlnmlem1  49207  eenglngeehlnmlem2  49208  itscnhlc0xyqsol  49235