Theorem divsubdird 12029

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11908	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   − cmin 11444   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13475  discr  14203  crre  15061  reccn2  15541  iseralt  15631  trireciplem  15808  geolim  15816  geolim2  15817  georeclim  15818  bpolydiflem  15998  bitsinv1lem  16382  fldivp1  16830  mul4sqlem  16886  lebnumii  24482  dyadovol  25110  mbfi1fseqlem6  25238  dvmptdiv  25491  dveflem  25496  dvsincos  25498  dvlip  25510  ulmdvlem1  25912  efeq1  26037  tanarg  26127  logcnlem4  26153  ang180lem1  26314  angpieqvdlem  26333  chordthmlem2  26338  chordthmlem4  26340  dcubic1lem  26348  dcubic2  26349  mcubic  26352  cubic2  26353  dquartlem1  26356  dquartlem2  26357  dquart  26358  2efiatan  26423  tanatan  26424  atantan  26428  dvatan  26440  atantayl  26442  atantayl2  26443  birthdaylem2  26457  jensenlem2  26492  logdiflbnd  26499  emcllem2  26501  lgamgulmlem2  26534  basellem8  26592  lgseisenlem1  26878  lgsquadlem2  26884  vmalogdivsum2  27041  vmalogdivsum  27042  2vmadivsumlem  27043  selberg3lem1  27060  selberg4lem1  27063  selberg4  27064  pntrmax  27067  pntrsumo1  27068  selberg3r  27072  selberg4r  27073  selberg34r  27074  pntrlog2bndlem4  27083  pntpbnd2  27090  pntibndlem2  27094  pntlemo  27110  pntlem3  27112  brbtwn2  28163  axsegconlem9  28183  axsegconlem10  28184  axpaschlem  28198  axcontlem8  28229  dya2icoseg  33276  itg2addnclem  36539  pellexlem2  41568  pellexlem6  41572  areaquad  41965  sqrtcval  42392  hashnzfzclim  43081  binomcxplemrat  43109  oddfl  43987  sumnnodd  44346  itgcoscmulx  44685  itgsincmulx  44690  stirlinglem1  44790  stirlinglem6  44795  dirkercncflem1  44819  fourierdlem26  44849  fourierdlem30  44853  fourierdlem65  44887  quad1  46288  requad1  46290  1subrec1sub  47391  eenglngeehlnmlem1  47423  eenglngeehlnmlem2  47424  itscnhlc0xyqsol  47451