Theorem divsubdird 11773

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11652	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855   − cmin 11188   / cdiv 11615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13212  discr  13936  crre  14806  reccn2  15287  iseralt  15377  trireciplem  15555  geolim  15563  geolim2  15564  georeclim  15565  bpolydiflem  15745  bitsinv1lem  16129  fldivp1  16579  mul4sqlem  16635  lebnumii  24110  dyadovol  24738  mbfi1fseqlem6  24866  dvmptdiv  25119  dveflem  25124  dvsincos  25126  dvlip  25138  ulmdvlem1  25540  efeq1  25665  tanarg  25755  logcnlem4  25781  ang180lem1  25940  angpieqvdlem  25959  chordthmlem2  25964  chordthmlem4  25966  dcubic1lem  25974  dcubic2  25975  mcubic  25978  cubic2  25979  dquartlem1  25982  dquartlem2  25983  dquart  25984  2efiatan  26049  tanatan  26050  atantan  26054  dvatan  26066  atantayl  26068  atantayl2  26069  birthdaylem2  26083  jensenlem2  26118  logdiflbnd  26125  emcllem2  26127  lgamgulmlem2  26160  basellem8  26218  lgseisenlem1  26504  lgsquadlem2  26510  vmalogdivsum2  26667  vmalogdivsum  26668  2vmadivsumlem  26669  selberg3lem1  26686  selberg4lem1  26689  selberg4  26690  pntrmax  26693  pntrsumo1  26694  selberg3r  26698  selberg4r  26699  selberg34r  26700  pntrlog2bndlem4  26709  pntpbnd2  26716  pntibndlem2  26720  pntlemo  26736  pntlem3  26738  brbtwn2  27254  axsegconlem9  27274  axsegconlem10  27275  axpaschlem  27289  axcontlem8  27320  dya2icoseg  32223  itg2addnclem  35807  pellexlem2  40632  pellexlem6  40636  areaquad  41027  sqrtcval  41202  hashnzfzclim  41893  binomcxplemrat  41921  oddfl  42769  sumnnodd  43125  itgcoscmulx  43464  itgsincmulx  43469  stirlinglem1  43569  stirlinglem6  43574  dirkercncflem1  43598  fourierdlem26  43628  fourierdlem30  43632  fourierdlem65  43666  quad1  45024  requad1  45026  1subrec1sub  46003  eenglngeehlnmlem1  46035  eenglngeehlnmlem2  46036  itscnhlc0xyqsol  46063