Theorem divsubdird 11968

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11847	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   − cmin 11376   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13426  discr  14175  crre  15049  reccn2  15532  iseralt  15620  trireciplem  15797  geolim  15805  geolim2  15806  georeclim  15807  bpolydiflem  15989  bitsinv1lem  16380  fldivp1  16837  mul4sqlem  16893  lebnumii  24933  dyadovol  25562  mbfi1fseqlem6  25689  dvmptdiv  25946  dveflem  25951  dvsincos  25953  dvlip  25966  ulmdvlem1  26377  efeq1  26505  tanarg  26596  logcnlem4  26622  ang180lem1  26787  angpieqvdlem  26806  chordthmlem2  26811  chordthmlem4  26813  dcubic1lem  26821  dcubic2  26822  mcubic  26825  cubic2  26826  dquartlem1  26829  dquartlem2  26830  dquart  26831  2efiatan  26896  tanatan  26897  atantan  26901  dvatan  26913  atantayl  26915  atantayl2  26916  birthdaylem2  26930  jensenlem2  26966  logdiflbnd  26973  emcllem2  26975  lgamgulmlem2  27008  basellem8  27066  lgseisenlem1  27354  lgsquadlem2  27360  vmalogdivsum2  27517  vmalogdivsum  27518  2vmadivsumlem  27519  selberg3lem1  27536  selberg4lem1  27539  selberg4  27540  pntrmax  27543  pntrsumo1  27544  selberg3r  27548  selberg4r  27549  selberg34r  27550  pntrlog2bndlem4  27559  pntpbnd2  27566  pntibndlem2  27570  pntlemo  27586  pntlem3  27588  brbtwn2  28990  axsegconlem9  29010  axsegconlem10  29011  axpaschlem  29025  axcontlem8  29056  constrrtcclem  33911  dya2icoseg  34454  itg2addnclem  37911  pellexlem2  43176  pellexlem6  43180  areaquad  43562  sqrtcval  43986  hashnzfzclim  44667  binomcxplemrat  44695  oddfl  45629  sumnnodd  45979  itgcoscmulx  46316  itgsincmulx  46321  stirlinglem1  46421  stirlinglem6  46426  dirkercncflem1  46450  fourierdlem26  46480  fourierdlem30  46484  fourierdlem65  46518  quad1  47969  requad1  47971  1subrec1sub  49054  eenglngeehlnmlem1  49086  eenglngeehlnmlem2  49087  itscnhlc0xyqsol  49114