Theorem divsubdird 12036

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11915	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116   − cmin 11451   / cdiv 11878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13482  discr  14210  crre  15068  reccn2  15548  iseralt  15638  trireciplem  15815  geolim  15823  geolim2  15824  georeclim  15825  bpolydiflem  16005  bitsinv1lem  16389  fldivp1  16837  mul4sqlem  16893  lebnumii  24812  dyadovol  25442  mbfi1fseqlem6  25570  dvmptdiv  25826  dveflem  25831  dvsincos  25833  dvlip  25846  ulmdvlem1  26251  efeq1  26377  tanarg  26467  logcnlem4  26493  ang180lem1  26655  angpieqvdlem  26674  chordthmlem2  26679  chordthmlem4  26681  dcubic1lem  26689  dcubic2  26690  mcubic  26693  cubic2  26694  dquartlem1  26697  dquartlem2  26698  dquart  26699  2efiatan  26764  tanatan  26765  atantan  26769  dvatan  26781  atantayl  26783  atantayl2  26784  birthdaylem2  26798  jensenlem2  26833  logdiflbnd  26840  emcllem2  26842  lgamgulmlem2  26875  basellem8  26933  lgseisenlem1  27221  lgsquadlem2  27227  vmalogdivsum2  27384  vmalogdivsum  27385  2vmadivsumlem  27386  selberg3lem1  27403  selberg4lem1  27406  selberg4  27407  pntrmax  27410  pntrsumo1  27411  selberg3r  27415  selberg4r  27416  selberg34r  27417  pntrlog2bndlem4  27426  pntpbnd2  27433  pntibndlem2  27437  pntlemo  27453  pntlem3  27455  brbtwn2  28596  axsegconlem9  28616  axsegconlem10  28617  axpaschlem  28631  axcontlem8  28662  dya2icoseg  33740  itg2addnclem  37003  pellexlem2  42031  pellexlem6  42035  areaquad  42428  sqrtcval  42855  hashnzfzclim  43544  binomcxplemrat  43572  oddfl  44446  sumnnodd  44805  itgcoscmulx  45144  itgsincmulx  45149  stirlinglem1  45249  stirlinglem6  45254  dirkercncflem1  45278  fourierdlem26  45308  fourierdlem30  45312  fourierdlem65  45346  quad1  46747  requad1  46749  1subrec1sub  47553  eenglngeehlnmlem1  47585  eenglngeehlnmlem2  47586  itscnhlc0xyqsol  47613