Theorem divsubdird 12004

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11883	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   − cmin 11412   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13466  discr  14212  crre  15087  reccn2  15570  iseralt  15658  trireciplem  15835  geolim  15843  geolim2  15844  georeclim  15845  bpolydiflem  16027  bitsinv1lem  16418  fldivp1  16875  mul4sqlem  16931  lebnumii  24872  dyadovol  25501  mbfi1fseqlem6  25628  dvmptdiv  25885  dveflem  25890  dvsincos  25892  dvlip  25905  ulmdvlem1  26316  efeq1  26444  tanarg  26535  logcnlem4  26561  ang180lem1  26726  angpieqvdlem  26745  chordthmlem2  26750  chordthmlem4  26752  dcubic1lem  26760  dcubic2  26761  mcubic  26764  cubic2  26765  dquartlem1  26768  dquartlem2  26769  dquart  26770  2efiatan  26835  tanatan  26836  atantan  26840  dvatan  26852  atantayl  26854  atantayl2  26855  birthdaylem2  26869  jensenlem2  26905  logdiflbnd  26912  emcllem2  26914  lgamgulmlem2  26947  basellem8  27005  lgseisenlem1  27293  lgsquadlem2  27299  vmalogdivsum2  27456  vmalogdivsum  27457  2vmadivsumlem  27458  selberg3lem1  27475  selberg4lem1  27478  selberg4  27479  pntrmax  27482  pntrsumo1  27483  selberg3r  27487  selberg4r  27488  selberg34r  27489  pntrlog2bndlem4  27498  pntpbnd2  27505  pntibndlem2  27509  pntlemo  27525  pntlem3  27527  brbtwn2  28839  axsegconlem9  28859  axsegconlem10  28860  axpaschlem  28874  axcontlem8  28905  constrrtcclem  33731  dya2icoseg  34275  itg2addnclem  37672  pellexlem2  42825  pellexlem6  42829  areaquad  43212  sqrtcval  43637  hashnzfzclim  44318  binomcxplemrat  44346  oddfl  45283  sumnnodd  45635  itgcoscmulx  45974  itgsincmulx  45979  stirlinglem1  46079  stirlinglem6  46084  dirkercncflem1  46108  fourierdlem26  46138  fourierdlem30  46142  fourierdlem65  46176  quad1  47625  requad1  47627  1subrec1sub  48698  eenglngeehlnmlem1  48730  eenglngeehlnmlem2  48731  itscnhlc0xyqsol  48758