Theorem divsubdird 12080

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   − cmin 11490   / cdiv 11918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13535  discr  14276  crre  15150  reccn2  15630  iseralt  15718  trireciplem  15895  geolim  15903  geolim2  15904  georeclim  15905  bpolydiflem  16087  bitsinv1lem  16475  fldivp1  16931  mul4sqlem  16987  lebnumii  25012  dyadovol  25642  mbfi1fseqlem6  25770  dvmptdiv  26027  dveflem  26032  dvsincos  26034  dvlip  26047  ulmdvlem1  26458  efeq1  26585  tanarg  26676  logcnlem4  26702  ang180lem1  26867  angpieqvdlem  26886  chordthmlem2  26891  chordthmlem4  26893  dcubic1lem  26901  dcubic2  26902  mcubic  26905  cubic2  26906  dquartlem1  26909  dquartlem2  26910  dquart  26911  2efiatan  26976  tanatan  26977  atantan  26981  dvatan  26993  atantayl  26995  atantayl2  26996  birthdaylem2  27010  jensenlem2  27046  logdiflbnd  27053  emcllem2  27055  lgamgulmlem2  27088  basellem8  27146  lgseisenlem1  27434  lgsquadlem2  27440  vmalogdivsum2  27597  vmalogdivsum  27598  2vmadivsumlem  27599  selberg3lem1  27616  selberg4lem1  27619  selberg4  27620  pntrmax  27623  pntrsumo1  27624  selberg3r  27628  selberg4r  27629  selberg34r  27630  pntrlog2bndlem4  27639  pntpbnd2  27646  pntibndlem2  27650  pntlemo  27666  pntlem3  27668  brbtwn2  28935  axsegconlem9  28955  axsegconlem10  28956  axpaschlem  28970  axcontlem8  29001  constrrtcclem  33740  dya2icoseg  34259  itg2addnclem  37658  pellexlem2  42818  pellexlem6  42822  areaquad  43205  sqrtcval  43631  hashnzfzclim  44318  binomcxplemrat  44346  oddfl  45228  sumnnodd  45586  itgcoscmulx  45925  itgsincmulx  45930  stirlinglem1  46030  stirlinglem6  46035  dirkercncflem1  46059  fourierdlem26  46089  fourierdlem30  46093  fourierdlem65  46127  quad1  47545  requad1  47547  1subrec1sub  48555  eenglngeehlnmlem1  48587  eenglngeehlnmlem2  48588  itscnhlc0xyqsol  48615