MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsubdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsubdird 11449
Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divsubdird (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divsubdir 11328 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1370 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531  cmin 10864   / cdiv 11291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12878  discr  13595  crre  14467  reccn2  14947  iseralt  15035  trireciplem  15211  geolim  15220  geolim2  15221  georeclim  15222  bpolydiflem  15402  bitsinv1lem  15784  fldivp1  16227  mul4sqlem  16283  lebnumii  23564  dyadovol  24188  mbfi1fseqlem6  24315  dvmptdiv  24565  dveflem  24570  dvsincos  24572  dvlip  24584  ulmdvlem1  24982  efeq1  25107  tanarg  25196  logcnlem4  25222  ang180lem1  25381  angpieqvdlem  25400  chordthmlem2  25405  chordthmlem4  25407  dcubic1lem  25415  dcubic2  25416  mcubic  25419  cubic2  25420  dquartlem1  25423  dquartlem2  25424  dquart  25425  2efiatan  25490  tanatan  25491  atantan  25495  dvatan  25507  atantayl  25509  atantayl2  25510  birthdaylem2  25524  jensenlem2  25559  logdiflbnd  25566  emcllem2  25568  lgamgulmlem2  25601  basellem8  25659  lgseisenlem1  25945  lgsquadlem2  25951  vmalogdivsum2  26108  vmalogdivsum  26109  2vmadivsumlem  26110  selberg3lem1  26127  selberg4lem1  26130  selberg4  26131  pntrmax  26134  pntrsumo1  26135  selberg3r  26139  selberg4r  26140  selberg34r  26141  pntrlog2bndlem4  26150  pntpbnd2  26157  pntibndlem2  26161  pntlemo  26177  pntlem3  26179  brbtwn2  26685  axsegconlem9  26705  axsegconlem10  26706  axpaschlem  26720  axcontlem8  26751  dya2icoseg  31530  itg2addnclem  34937  pellexlem2  39420  pellexlem6  39424  areaquad  39816  hashnzfzclim  40647  binomcxplemrat  40675  oddfl  41535  sumnnodd  41903  itgcoscmulx  42246  itgsincmulx  42251  stirlinglem1  42352  stirlinglem6  42357  dirkercncflem1  42381  fourierdlem26  42411  fourierdlem30  42415  fourierdlem65  42449  quad1  43778  requad1  43780  1subrec1sub  44685  eenglngeehlnmlem1  44717  eenglngeehlnmlem2  44718  itscnhlc0xyqsol  44745
  Copyright terms: Public domain W3C validator