Theorem divsubdird 11946

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  0cc0 11016   − cmin 11354   / cdiv 11784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13408  discr  14157  crre  15031  reccn2  15514  iseralt  15602  trireciplem  15779  geolim  15787  geolim2  15788  georeclim  15789  bpolydiflem  15971  bitsinv1lem  16362  fldivp1  16819  mul4sqlem  16875  lebnumii  24902  dyadovol  25531  mbfi1fseqlem6  25658  dvmptdiv  25915  dveflem  25920  dvsincos  25922  dvlip  25935  ulmdvlem1  26346  efeq1  26474  tanarg  26565  logcnlem4  26591  ang180lem1  26756  angpieqvdlem  26775  chordthmlem2  26780  chordthmlem4  26782  dcubic1lem  26790  dcubic2  26791  mcubic  26794  cubic2  26795  dquartlem1  26798  dquartlem2  26799  dquart  26800  2efiatan  26865  tanatan  26866  atantan  26870  dvatan  26882  atantayl  26884  atantayl2  26885  birthdaylem2  26899  jensenlem2  26935  logdiflbnd  26942  emcllem2  26944  lgamgulmlem2  26977  basellem8  27035  lgseisenlem1  27323  lgsquadlem2  27329  vmalogdivsum2  27486  vmalogdivsum  27487  2vmadivsumlem  27488  selberg3lem1  27505  selberg4lem1  27508  selberg4  27509  pntrmax  27512  pntrsumo1  27513  selberg3r  27517  selberg4r  27518  selberg34r  27519  pntrlog2bndlem4  27528  pntpbnd2  27535  pntibndlem2  27539  pntlemo  27555  pntlem3  27557  brbtwn2  28894  axsegconlem9  28914  axsegconlem10  28915  axpaschlem  28929  axcontlem8  28960  constrrtcclem  33758  dya2icoseg  34301  itg2addnclem  37721  pellexlem2  42937  pellexlem6  42941  areaquad  43323  sqrtcval  43748  hashnzfzclim  44429  binomcxplemrat  44457  oddfl  45393  sumnnodd  45744  itgcoscmulx  46081  itgsincmulx  46086  stirlinglem1  46186  stirlinglem6  46191  dirkercncflem1  46215  fourierdlem26  46245  fourierdlem30  46249  fourierdlem65  46283  quad1  47734  requad1  47736  1subrec1sub  48820  eenglngeehlnmlem1  48852  eenglngeehlnmlem2  48853  itscnhlc0xyqsol  48880