Theorem divsubdird 11840

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11719	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  0cc0 10921   − cmin 11255   / cdiv 11682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13280  discr  14005  crre  14874  reccn2  15355  iseralt  15445  trireciplem  15623  geolim  15631  geolim2  15632  georeclim  15633  bpolydiflem  15813  bitsinv1lem  16197  fldivp1  16647  mul4sqlem  16703  lebnumii  24178  dyadovol  24806  mbfi1fseqlem6  24934  dvmptdiv  25187  dveflem  25192  dvsincos  25194  dvlip  25206  ulmdvlem1  25608  efeq1  25733  tanarg  25823  logcnlem4  25849  ang180lem1  26008  angpieqvdlem  26027  chordthmlem2  26032  chordthmlem4  26034  dcubic1lem  26042  dcubic2  26043  mcubic  26046  cubic2  26047  dquartlem1  26050  dquartlem2  26051  dquart  26052  2efiatan  26117  tanatan  26118  atantan  26122  dvatan  26134  atantayl  26136  atantayl2  26137  birthdaylem2  26151  jensenlem2  26186  logdiflbnd  26193  emcllem2  26195  lgamgulmlem2  26228  basellem8  26286  lgseisenlem1  26572  lgsquadlem2  26578  vmalogdivsum2  26735  vmalogdivsum  26736  2vmadivsumlem  26737  selberg3lem1  26754  selberg4lem1  26757  selberg4  26758  pntrmax  26761  pntrsumo1  26762  selberg3r  26766  selberg4r  26767  selberg34r  26768  pntrlog2bndlem4  26777  pntpbnd2  26784  pntibndlem2  26788  pntlemo  26804  pntlem3  26806  brbtwn2  27322  axsegconlem9  27342  axsegconlem10  27343  axpaschlem  27357  axcontlem8  27388  dya2icoseg  32293  itg2addnclem  35876  pellexlem2  40847  pellexlem6  40851  areaquad  41243  sqrtcval  41462  hashnzfzclim  42153  binomcxplemrat  42181  oddfl  43044  sumnnodd  43400  itgcoscmulx  43739  itgsincmulx  43744  stirlinglem1  43844  stirlinglem6  43849  dirkercncflem1  43873  fourierdlem26  43903  fourierdlem30  43907  fourierdlem65  43941  quad1  45316  requad1  45318  1subrec1sub  46295  eenglngeehlnmlem1  46327  eenglngeehlnmlem2  46328  itscnhlc0xyqsol  46355