Theorem divsubdird 11997

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11876	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   − cmin 11405   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13459  discr  14205  crre  15080  reccn2  15563  iseralt  15651  trireciplem  15828  geolim  15836  geolim2  15837  georeclim  15838  bpolydiflem  16020  bitsinv1lem  16411  fldivp1  16868  mul4sqlem  16924  lebnumii  24865  dyadovol  25494  mbfi1fseqlem6  25621  dvmptdiv  25878  dveflem  25883  dvsincos  25885  dvlip  25898  ulmdvlem1  26309  efeq1  26437  tanarg  26528  logcnlem4  26554  ang180lem1  26719  angpieqvdlem  26738  chordthmlem2  26743  chordthmlem4  26745  dcubic1lem  26753  dcubic2  26754  mcubic  26757  cubic2  26758  dquartlem1  26761  dquartlem2  26762  dquart  26763  2efiatan  26828  tanatan  26829  atantan  26833  dvatan  26845  atantayl  26847  atantayl2  26848  birthdaylem2  26862  jensenlem2  26898  logdiflbnd  26905  emcllem2  26907  lgamgulmlem2  26940  basellem8  26998  lgseisenlem1  27286  lgsquadlem2  27292  vmalogdivsum2  27449  vmalogdivsum  27450  2vmadivsumlem  27451  selberg3lem1  27468  selberg4lem1  27471  selberg4  27472  pntrmax  27475  pntrsumo1  27476  selberg3r  27480  selberg4r  27481  selberg34r  27482  pntrlog2bndlem4  27491  pntpbnd2  27498  pntibndlem2  27502  pntlemo  27518  pntlem3  27520  brbtwn2  28832  axsegconlem9  28852  axsegconlem10  28853  axpaschlem  28867  axcontlem8  28898  constrrtcclem  33724  dya2icoseg  34268  itg2addnclem  37665  pellexlem2  42818  pellexlem6  42822  areaquad  43205  sqrtcval  43630  hashnzfzclim  44311  binomcxplemrat  44339  oddfl  45276  sumnnodd  45628  itgcoscmulx  45967  itgsincmulx  45972  stirlinglem1  46072  stirlinglem6  46077  dirkercncflem1  46101  fourierdlem26  46131  fourierdlem30  46135  fourierdlem65  46169  quad1  47621  requad1  47623  1subrec1sub  48694  eenglngeehlnmlem1  48726  eenglngeehlnmlem2  48727  itscnhlc0xyqsol  48754