Theorem divsubdird 11960

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030   − cmin 11368   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13418  discr  14167  crre  15041  reccn2  15524  iseralt  15612  trireciplem  15789  geolim  15797  geolim2  15798  georeclim  15799  bpolydiflem  15981  bitsinv1lem  16372  fldivp1  16829  mul4sqlem  16885  lebnumii  24925  dyadovol  25554  mbfi1fseqlem6  25681  dvmptdiv  25938  dveflem  25943  dvsincos  25945  dvlip  25958  ulmdvlem1  26369  efeq1  26497  tanarg  26588  logcnlem4  26614  ang180lem1  26779  angpieqvdlem  26798  chordthmlem2  26803  chordthmlem4  26805  dcubic1lem  26813  dcubic2  26814  mcubic  26817  cubic2  26818  dquartlem1  26821  dquartlem2  26822  dquart  26823  2efiatan  26888  tanatan  26889  atantan  26893  dvatan  26905  atantayl  26907  atantayl2  26908  birthdaylem2  26922  jensenlem2  26958  logdiflbnd  26965  emcllem2  26967  lgamgulmlem2  27000  basellem8  27058  lgseisenlem1  27346  lgsquadlem2  27352  vmalogdivsum2  27509  vmalogdivsum  27510  2vmadivsumlem  27511  selberg3lem1  27528  selberg4lem1  27531  selberg4  27532  pntrmax  27535  pntrsumo1  27536  selberg3r  27540  selberg4r  27541  selberg34r  27542  pntrlog2bndlem4  27551  pntpbnd2  27558  pntibndlem2  27562  pntlemo  27578  pntlem3  27580  brbtwn2  28961  axsegconlem9  28981  axsegconlem10  28982  axpaschlem  28996  axcontlem8  29027  constrrtcclem  33872  dya2icoseg  34415  itg2addnclem  37843  pellexlem2  43108  pellexlem6  43112  areaquad  43494  sqrtcval  43918  hashnzfzclim  44599  binomcxplemrat  44627  oddfl  45562  sumnnodd  45912  itgcoscmulx  46249  itgsincmulx  46254  stirlinglem1  46354  stirlinglem6  46359  dirkercncflem1  46383  fourierdlem26  46413  fourierdlem30  46417  fourierdlem65  46451  quad1  47902  requad1  47904  1subrec1sub  48987  eenglngeehlnmlem1  49019  eenglngeehlnmlem2  49020  itscnhlc0xyqsol  49047