Theorem divsubdird 12159

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 12037	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1402	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   − cmin 11568   / cdiv 12000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001

This theorem is used by:  xov1plusxeqvd  13656  discr  14411  crre  15310  reccn2  15793  iseralt  15881  trireciplem  16060  geolim  16068  geolim2  16069  georeclim  16070  bpolydiflem  16249  bitsinv1lem  16640  fldivp1  17104  mul4sqlem  17160  lebnumii  25317  dyadovol  25944  mbfi1fseqlem6  26071  dvmptdiv  26324  dveflem  26329  dvsincos  26331  dvlip  26343  ulmdvlem1  26757  efeq1  26886  tanarg  26977  logcnlem4  27003  ang180lem1  27167  angpieqvdlem  27186  chordthmlem2  27191  chordthmlem4  27193  dcubic1lem  27201  dcubic2  27202  mcubic  27205  cubic2  27206  dquartlem1  27209  dquartlem2  27210  dquart  27211  2efiatan  27276  tanatan  27277  atantan  27281  dvatan  27293  atantayl  27295  atantayl2  27296  birthdaylem2  27310  jensenlem2  27345  logdiflbnd  27352  emcllem2  27354  lgamgulmlem2  27387  basellem8  27445  lgseisenlem1  27732  lgsquadlem2  27738  vmalogdivsum2  27895  vmalogdivsum  27896  2vmadivsumlem  27897  selberg3lem1  27914  selberg4lem1  27917  selberg4  27918  pntrmax  27921  pntrsumo1  27922  selberg3r  27926  selberg4r  27927  selberg34r  27928  pntrlog2bndlem4  27937  pntpbnd2  27944  pntibndlem2  27948  pntlemo  27964  pntlem3  27966  brbtwn2  29513  axsegconlem9  29533  axsegconlem10  29534  axpaschlem  29548  axcontlem8  29579  constrrtcclem  34436  dya2icoseg  34979  itg2addnclem  38781  pellexlem2  44030  pellexlem6  44034  areaquad  44410  sqrtcval  44833  hashnzfzclim  45498  binomcxplemrat  45526  oddfl  46499  sumnnodd  46847  itgcoscmulx  47184  itgsincmulx  47189  stirlinglem1  47289  stirlinglem6  47294  dirkercncflem1  47318  fourierdlem26  47348  fourierdlem30  47352  fourierdlem65  47386  ppivalnnprm  48915  quad1  48923  requad1  48925  1subrec1sub  50022  eenglngeehlnmlem1  50055  eenglngeehlnmlem2  50056  itscnhlc0xyqsol  50082