Theorem divsubdird 11928

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11807	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  0cc0 10998   − cmin 11336   / cdiv 11766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13390  discr  14139  crre  15013  reccn2  15496  iseralt  15584  trireciplem  15761  geolim  15769  geolim2  15770  georeclim  15771  bpolydiflem  15953  bitsinv1lem  16344  fldivp1  16801  mul4sqlem  16857  lebnumii  24885  dyadovol  25514  mbfi1fseqlem6  25641  dvmptdiv  25898  dveflem  25903  dvsincos  25905  dvlip  25918  ulmdvlem1  26329  efeq1  26457  tanarg  26548  logcnlem4  26574  ang180lem1  26739  angpieqvdlem  26758  chordthmlem2  26763  chordthmlem4  26765  dcubic1lem  26773  dcubic2  26774  mcubic  26777  cubic2  26778  dquartlem1  26781  dquartlem2  26782  dquart  26783  2efiatan  26848  tanatan  26849  atantan  26853  dvatan  26865  atantayl  26867  atantayl2  26868  birthdaylem2  26882  jensenlem2  26918  logdiflbnd  26925  emcllem2  26927  lgamgulmlem2  26960  basellem8  27018  lgseisenlem1  27306  lgsquadlem2  27312  vmalogdivsum2  27469  vmalogdivsum  27470  2vmadivsumlem  27471  selberg3lem1  27488  selberg4lem1  27491  selberg4  27492  pntrmax  27495  pntrsumo1  27496  selberg3r  27500  selberg4r  27501  selberg34r  27502  pntrlog2bndlem4  27511  pntpbnd2  27518  pntibndlem2  27522  pntlemo  27538  pntlem3  27540  brbtwn2  28876  axsegconlem9  28896  axsegconlem10  28897  axpaschlem  28911  axcontlem8  28942  constrrtcclem  33737  dya2icoseg  34280  itg2addnclem  37690  pellexlem2  42842  pellexlem6  42846  areaquad  43228  sqrtcval  43653  hashnzfzclim  44334  binomcxplemrat  44362  oddfl  45298  sumnnodd  45649  itgcoscmulx  45986  itgsincmulx  45991  stirlinglem1  46091  stirlinglem6  46096  dirkercncflem1  46120  fourierdlem26  46150  fourierdlem30  46154  fourierdlem65  46188  quad1  47630  requad1  47632  1subrec1sub  48716  eenglngeehlnmlem1  48748  eenglngeehlnmlem2  48749  itscnhlc0xyqsol  48776