Theorem divsubdird 11968

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11846	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1382	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036   − cmin 11375   / cdiv 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13449  discr  14200  crre  15074  reccn2  15557  iseralt  15645  trireciplem  15825  geolim  15833  geolim2  15834  georeclim  15835  bpolydiflem  16017  bitsinv1lem  16408  fldivp1  16866  mul4sqlem  16922  lebnumii  24958  dyadovol  25585  mbfi1fseqlem6  25712  dvmptdiv  25966  dveflem  25971  dvsincos  25973  dvlip  25985  ulmdvlem1  26390  efeq1  26517  tanarg  26608  logcnlem4  26634  ang180lem1  26798  angpieqvdlem  26817  chordthmlem2  26822  chordthmlem4  26824  dcubic1lem  26832  dcubic2  26833  mcubic  26836  cubic2  26837  dquartlem1  26840  dquartlem2  26841  dquart  26842  2efiatan  26907  tanatan  26908  atantan  26912  dvatan  26924  atantayl  26926  atantayl2  26927  birthdaylem2  26941  jensenlem2  26976  logdiflbnd  26983  emcllem2  26985  lgamgulmlem2  27018  basellem8  27076  lgseisenlem1  27363  lgsquadlem2  27369  vmalogdivsum2  27526  vmalogdivsum  27527  2vmadivsumlem  27528  selberg3lem1  27545  selberg4lem1  27548  selberg4  27549  pntrmax  27552  pntrsumo1  27553  selberg3r  27557  selberg4r  27558  selberg34r  27559  pntrlog2bndlem4  27568  pntpbnd2  27575  pntibndlem2  27579  pntlemo  27595  pntlem3  27597  brbtwn2  28999  axsegconlem9  29019  axsegconlem10  29020  axpaschlem  29034  axcontlem8  29065  constrrtcclem  33925  dya2icoseg  34468  itg2addnclem  38039  pellexlem2  43276  pellexlem6  43280  areaquad  43662  sqrtcval  44086  hashnzfzclim  44767  binomcxplemrat  44795  oddfl  45727  sumnnodd  46076  itgcoscmulx  46413  itgsincmulx  46418  stirlinglem1  46518  stirlinglem6  46523  dirkercncflem1  46547  fourierdlem26  46577  fourierdlem30  46581  fourierdlem65  46615  ppivalnnprm  48104  quad1  48112  requad1  48114  1subrec1sub  49197  eenglngeehlnmlem1  49229  eenglngeehlnmlem2  49230  itscnhlc0xyqsol  49257