Theorem divsubdird 11957

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   − cmin 11365   / cdiv 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13419  discr  14165  crre  15039  reccn2  15522  iseralt  15610  trireciplem  15787  geolim  15795  geolim2  15796  georeclim  15797  bpolydiflem  15979  bitsinv1lem  16370  fldivp1  16827  mul4sqlem  16883  lebnumii  24881  dyadovol  25510  mbfi1fseqlem6  25637  dvmptdiv  25894  dveflem  25899  dvsincos  25901  dvlip  25914  ulmdvlem1  26325  efeq1  26453  tanarg  26544  logcnlem4  26570  ang180lem1  26735  angpieqvdlem  26754  chordthmlem2  26759  chordthmlem4  26761  dcubic1lem  26769  dcubic2  26770  mcubic  26773  cubic2  26774  dquartlem1  26777  dquartlem2  26778  dquart  26779  2efiatan  26844  tanatan  26845  atantan  26849  dvatan  26861  atantayl  26863  atantayl2  26864  birthdaylem2  26878  jensenlem2  26914  logdiflbnd  26921  emcllem2  26923  lgamgulmlem2  26956  basellem8  27014  lgseisenlem1  27302  lgsquadlem2  27308  vmalogdivsum2  27465  vmalogdivsum  27466  2vmadivsumlem  27467  selberg3lem1  27484  selberg4lem1  27487  selberg4  27488  pntrmax  27491  pntrsumo1  27492  selberg3r  27496  selberg4r  27497  selberg34r  27498  pntrlog2bndlem4  27507  pntpbnd2  27514  pntibndlem2  27518  pntlemo  27534  pntlem3  27536  brbtwn2  28868  axsegconlem9  28888  axsegconlem10  28889  axpaschlem  28903  axcontlem8  28934  constrrtcclem  33700  dya2icoseg  34244  itg2addnclem  37650  pellexlem2  42803  pellexlem6  42807  areaquad  43189  sqrtcval  43614  hashnzfzclim  44295  binomcxplemrat  44323  oddfl  45260  sumnnodd  45612  itgcoscmulx  45951  itgsincmulx  45956  stirlinglem1  46056  stirlinglem6  46061  dirkercncflem1  46085  fourierdlem26  46115  fourierdlem30  46119  fourierdlem65  46153  quad1  47605  requad1  47607  1subrec1sub  48678  eenglngeehlnmlem1  48710  eenglngeehlnmlem2  48711  itscnhlc0xyqsol  48738