Theorem divsubdird 12083

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11962	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156   − cmin 11493   / cdiv 11921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13539  discr  14280  crre  15154  reccn2  15634  iseralt  15722  trireciplem  15899  geolim  15907  geolim2  15908  georeclim  15909  bpolydiflem  16091  bitsinv1lem  16479  fldivp1  16936  mul4sqlem  16992  lebnumii  24999  dyadovol  25629  mbfi1fseqlem6  25756  dvmptdiv  26013  dveflem  26018  dvsincos  26020  dvlip  26033  ulmdvlem1  26444  efeq1  26571  tanarg  26662  logcnlem4  26688  ang180lem1  26853  angpieqvdlem  26872  chordthmlem2  26877  chordthmlem4  26879  dcubic1lem  26887  dcubic2  26888  mcubic  26891  cubic2  26892  dquartlem1  26895  dquartlem2  26896  dquart  26897  2efiatan  26962  tanatan  26963  atantan  26967  dvatan  26979  atantayl  26981  atantayl2  26982  birthdaylem2  26996  jensenlem2  27032  logdiflbnd  27039  emcllem2  27041  lgamgulmlem2  27074  basellem8  27132  lgseisenlem1  27420  lgsquadlem2  27426  vmalogdivsum2  27583  vmalogdivsum  27584  2vmadivsumlem  27585  selberg3lem1  27602  selberg4lem1  27605  selberg4  27606  pntrmax  27609  pntrsumo1  27610  selberg3r  27614  selberg4r  27615  selberg34r  27616  pntrlog2bndlem4  27625  pntpbnd2  27632  pntibndlem2  27636  pntlemo  27652  pntlem3  27654  brbtwn2  28921  axsegconlem9  28941  axsegconlem10  28942  axpaschlem  28956  axcontlem8  28987  constrrtcclem  33776  dya2icoseg  34280  itg2addnclem  37679  pellexlem2  42846  pellexlem6  42850  areaquad  43233  sqrtcval  43659  hashnzfzclim  44346  binomcxplemrat  44374  oddfl  45294  sumnnodd  45650  itgcoscmulx  45989  itgsincmulx  45994  stirlinglem1  46094  stirlinglem6  46099  dirkercncflem1  46123  fourierdlem26  46153  fourierdlem30  46157  fourierdlem65  46191  quad1  47612  requad1  47614  1subrec1sub  48631  eenglngeehlnmlem1  48663  eenglngeehlnmlem2  48664  itscnhlc0xyqsol  48691