Theorem divsubdird 11455

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11334	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537   − cmin 10870   / cdiv 11297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12885  discr  13602  crre  14473  reccn2  14953  iseralt  15041  trireciplem  15217  geolim  15226  geolim2  15227  georeclim  15228  bpolydiflem  15408  bitsinv1lem  15790  fldivp1  16233  mul4sqlem  16289  lebnumii  23570  dyadovol  24194  mbfi1fseqlem6  24321  dvmptdiv  24571  dveflem  24576  dvsincos  24578  dvlip  24590  ulmdvlem1  24988  efeq1  25113  tanarg  25202  logcnlem4  25228  ang180lem1  25387  angpieqvdlem  25406  chordthmlem2  25411  chordthmlem4  25413  dcubic1lem  25421  dcubic2  25422  mcubic  25425  cubic2  25426  dquartlem1  25429  dquartlem2  25430  dquart  25431  2efiatan  25496  tanatan  25497  atantan  25501  dvatan  25513  atantayl  25515  atantayl2  25516  birthdaylem2  25530  jensenlem2  25565  logdiflbnd  25572  emcllem2  25574  lgamgulmlem2  25607  basellem8  25665  lgseisenlem1  25951  lgsquadlem2  25957  vmalogdivsum2  26114  vmalogdivsum  26115  2vmadivsumlem  26116  selberg3lem1  26133  selberg4lem1  26136  selberg4  26137  pntrmax  26140  pntrsumo1  26141  selberg3r  26145  selberg4r  26146  selberg34r  26147  pntrlog2bndlem4  26156  pntpbnd2  26163  pntibndlem2  26167  pntlemo  26183  pntlem3  26185  brbtwn2  26691  axsegconlem9  26711  axsegconlem10  26712  axpaschlem  26726  axcontlem8  26757  dya2icoseg  31535  itg2addnclem  34958  pellexlem2  39476  pellexlem6  39480  areaquad  39872  hashnzfzclim  40703  binomcxplemrat  40731  oddfl  41592  sumnnodd  41960  itgcoscmulx  42303  itgsincmulx  42308  stirlinglem1  42408  stirlinglem6  42413  dirkercncflem1  42437  fourierdlem26  42467  fourierdlem30  42471  fourierdlem65  42505  quad1  43834  requad1  43836  1subrec1sub  44741  eenglngeehlnmlem1  44773  eenglngeehlnmlem2  44774  itscnhlc0xyqsol  44801