Theorem divsubdird 12033

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11912	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   − cmin 11448   / cdiv 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13479  discr  14207  crre  15065  reccn2  15545  iseralt  15635  trireciplem  15812  geolim  15820  geolim2  15821  georeclim  15822  bpolydiflem  16002  bitsinv1lem  16386  fldivp1  16834  mul4sqlem  16890  lebnumii  24712  dyadovol  25342  mbfi1fseqlem6  25470  dvmptdiv  25726  dveflem  25731  dvsincos  25733  dvlip  25745  ulmdvlem1  26148  efeq1  26273  tanarg  26363  logcnlem4  26389  ang180lem1  26550  angpieqvdlem  26569  chordthmlem2  26574  chordthmlem4  26576  dcubic1lem  26584  dcubic2  26585  mcubic  26588  cubic2  26589  dquartlem1  26592  dquartlem2  26593  dquart  26594  2efiatan  26659  tanatan  26660  atantan  26664  dvatan  26676  atantayl  26678  atantayl2  26679  birthdaylem2  26693  jensenlem2  26728  logdiflbnd  26735  emcllem2  26737  lgamgulmlem2  26770  basellem8  26828  lgseisenlem1  27114  lgsquadlem2  27120  vmalogdivsum2  27277  vmalogdivsum  27278  2vmadivsumlem  27279  selberg3lem1  27296  selberg4lem1  27299  selberg4  27300  pntrmax  27303  pntrsumo1  27304  selberg3r  27308  selberg4r  27309  selberg34r  27310  pntrlog2bndlem4  27319  pntpbnd2  27326  pntibndlem2  27330  pntlemo  27346  pntlem3  27348  brbtwn2  28430  axsegconlem9  28450  axsegconlem10  28451  axpaschlem  28465  axcontlem8  28496  dya2icoseg  33574  itg2addnclem  36842  pellexlem2  41870  pellexlem6  41874  areaquad  42267  sqrtcval  42694  hashnzfzclim  43383  binomcxplemrat  43411  oddfl  44285  sumnnodd  44644  itgcoscmulx  44983  itgsincmulx  44988  stirlinglem1  45088  stirlinglem6  45093  dirkercncflem1  45117  fourierdlem26  45147  fourierdlem30  45151  fourierdlem65  45185  quad1  46586  requad1  46588  1subrec1sub  47478  eenglngeehlnmlem1  47510  eenglngeehlnmlem2  47511  itscnhlc0xyqsol  47538