Theorem divsubdird 12057

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127   − cmin 11468   / cdiv 11898

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899

This theorem is used by:  xov1plusxeqvd  13553  discr  14306  crre  15203  reccn2  15686  iseralt  15774  trireciplem  15953  geolim  15961  geolim2  15962  georeclim  15963  bpolydiflem  16144  bitsinv1lem  16535  fldivp1  16993  mul4sqlem  17049  lebnumii  25198  dyadovol  25825  mbfi1fseqlem6  25952  dvmptdiv  26206  dveflem  26211  dvsincos  26213  dvlip  26225  ulmdvlem1  26636  efeq1  26766  tanarg  26857  logcnlem4  26883  ang180lem1  27047  angpieqvdlem  27066  chordthmlem2  27071  chordthmlem4  27073  dcubic1lem  27081  dcubic2  27082  mcubic  27085  cubic2  27086  dquartlem1  27089  dquartlem2  27090  dquart  27091  2efiatan  27156  tanatan  27157  atantan  27161  dvatan  27173  atantayl  27175  atantayl2  27176  birthdaylem2  27190  jensenlem2  27225  logdiflbnd  27232  emcllem2  27234  lgamgulmlem2  27267  basellem8  27325  lgseisenlem1  27612  lgsquadlem2  27618  vmalogdivsum2  27775  vmalogdivsum  27776  2vmadivsumlem  27777  selberg3lem1  27794  selberg4lem1  27797  selberg4  27798  pntrmax  27801  pntrsumo1  27802  selberg3r  27806  selberg4r  27807  selberg34r  27808  pntrlog2bndlem4  27817  pntpbnd2  27824  pntibndlem2  27828  pntlemo  27844  pntlem3  27846  brbtwn2  29363  axsegconlem9  29383  axsegconlem10  29384  axpaschlem  29398  axcontlem8  29429  constrrtcclem  34246  dya2icoseg  34790  itg2addnclem  38422  pellexlem2  43673  pellexlem6  43677  areaquad  44059  sqrtcval  44483  hashnzfzclim  45148  binomcxplemrat  45176  oddfl  46113  sumnnodd  46462  itgcoscmulx  46799  itgsincmulx  46804  stirlinglem1  46904  stirlinglem6  46909  dirkercncflem1  46933  fourierdlem26  46963  fourierdlem30  46967  fourierdlem65  47001  ppivalnnprm  48530  quad1  48538  requad1  48540  1subrec1sub  49637  eenglngeehlnmlem1  49669  eenglngeehlnmlem2  49670  itscnhlc0xyqsol  49697