Theorem divsubdird 11444

Description: Distribution of division over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divsubdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divsubdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divsubdir 11323	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   − cmin 10859   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12876  discr  13597  crre  14465  reccn2  14945  iseralt  15033  trireciplem  15209  geolim  15218  geolim2  15219  georeclim  15220  bpolydiflem  15400  bitsinv1lem  15780  fldivp1  16223  mul4sqlem  16279  lebnumii  23571  dyadovol  24197  mbfi1fseqlem6  24324  dvmptdiv  24577  dveflem  24582  dvsincos  24584  dvlip  24596  ulmdvlem1  24995  efeq1  25120  tanarg  25210  logcnlem4  25236  ang180lem1  25395  angpieqvdlem  25414  chordthmlem2  25419  chordthmlem4  25421  dcubic1lem  25429  dcubic2  25430  mcubic  25433  cubic2  25434  dquartlem1  25437  dquartlem2  25438  dquart  25439  2efiatan  25504  tanatan  25505  atantan  25509  dvatan  25521  atantayl  25523  atantayl2  25524  birthdaylem2  25538  jensenlem2  25573  logdiflbnd  25580  emcllem2  25582  lgamgulmlem2  25615  basellem8  25673  lgseisenlem1  25959  lgsquadlem2  25965  vmalogdivsum2  26122  vmalogdivsum  26123  2vmadivsumlem  26124  selberg3lem1  26141  selberg4lem1  26144  selberg4  26145  pntrmax  26148  pntrsumo1  26149  selberg3r  26153  selberg4r  26154  selberg34r  26155  pntrlog2bndlem4  26164  pntpbnd2  26171  pntibndlem2  26175  pntlemo  26191  pntlem3  26193  brbtwn2  26699  axsegconlem9  26719  axsegconlem10  26720  axpaschlem  26734  axcontlem8  26765  dya2icoseg  31645  itg2addnclem  35108  pellexlem2  39771  pellexlem6  39775  areaquad  40166  sqrtcval  40341  hashnzfzclim  41026  binomcxplemrat  41054  oddfl  41908  sumnnodd  42272  itgcoscmulx  42611  itgsincmulx  42616  stirlinglem1  42716  stirlinglem6  42721  dirkercncflem1  42745  fourierdlem26  42775  fourierdlem30  42779  fourierdlem65  42813  quad1  44138  requad1  44140  1subrec1sub  45119  eenglngeehlnmlem1  45151  eenglngeehlnmlem2  45152  itscnhlc0xyqsol  45179