Theorem divnegd 11971

Description: Move negative sign inside of a division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divnegd	⊢ (𝜑 → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divneg 11874	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  -cneg 11406   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  qnegcl  12925  negmod0  13840  sinhval  16122  tanhbnd  16129  bitsfzo  16405  bitscmp  16408  pcneg  16845  dvrec  25859  dvsincos  25885  logtayl2  26571  logbrec  26692  cosangneg2d  26717  isosctrlem2  26729  angpieqvdlem  26738  dcubic2  26754  mcubic  26757  amgmlem  26900  basellem5  26995  pntpbnd1  27497  quad3d  32673  numdenneg  32739  divnumden2  32740  dvacos  37699  areacirc  37707  lcmineqlem12  42028  itgsincmulx  45972  dirkertrigeqlem3  46098  fourierdlem24  46129  fourierdlem26  46131  fourierdlem30  46135  fourierdlem39  46144  fourierdlem43  46148  fourierdlem44  46149  fourierdlem89  46193  fourierdlem91  46195  sqwvfourb  46227  etransclem47  46279  sharhght  46863  ceildivmod  47340  quad1  47621  requad1  47623  1subrec1sub  48694  eenglngeehlnmlem2  48727  line2  48741  itschlc0xyqsol  48756