MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divnegd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divnegd 11878
Description: Move negative sign inside of a division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divnegd (𝜑 → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divnegd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divneg 11781 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 1 (𝜑 → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  (class class class)co 7350  cc 10983  0cc0 10985  -cneg 11320   / cdiv 11746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747
This theorem is referenced by:  qnegcl  12821  negmod0  13713  sinhval  15972  tanhbnd  15979  bitsfzo  16251  bitscmp  16254  pcneg  16682  dvrec  25247  dvsincos  25273  logtayl2  25945  logbrec  26060  cosangneg2d  26085  isosctrlem2  26097  angpieqvdlem  26106  dcubic2  26122  mcubic  26125  amgmlem  26267  basellem5  26362  pntpbnd1  26862  numdenneg  31514  divnumden2  31515  dvacos  36094  areacirc  36102  lcmineqlem12  40428  itgsincmulx  44006  dirkertrigeqlem3  44132  fourierdlem24  44163  fourierdlem26  44165  fourierdlem30  44169  fourierdlem39  44178  fourierdlem43  44182  fourierdlem44  44183  fourierdlem89  44227  fourierdlem91  44229  sqwvfourb  44261  etransclem47  44313  sharhght  44897  quad1  45603  requad1  45605  1subrec1sub  46582  eenglngeehlnmlem2  46615  line2  46629  itschlc0xyqsol  46644
  Copyright terms: Public domain W3C validator