Theorem 2ndcrest 23302

Description: A subspace of a second-countable space is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcrest	⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω)

Proof of Theorem 2ndcrest

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 23294	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ TopBases)
3		simpll 764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		tgrest 23007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) = ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) = ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴))
6		restbas 23006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → (𝑥 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
7	6	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
8		restval 17377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ↾t 𝐴) = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)))
9	2, 3, 8	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ↾t 𝐴) = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)))
10		1stcrestlem 23300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≼ ω → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)) ≼ ω)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)) ≼ ω)
12	9, 11	eqbrtrd 5161	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ↾t 𝐴) ≼ ω)
13		2ndci 23296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ↾t 𝐴) ∈ TopBases ∧ (𝑥 ↾t 𝐴) ≼ ω) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) ∈ 2ndω)
14	7, 12, 13	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) ∈ 2ndω)
15	5, 14	eqeltrrd 2826	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴) ∈ 2ndω)
16		oveq1 7409	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴))
17	16	eleq1d 2810	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → (((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴) ∈ 2ndω ↔ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
18	15, 17	syl5ibcom 244	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
19	18	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) → ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
20	19	rexlimdva 3147	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
21	1, 20	biimtrid 241	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐽 ∈ 2ndω → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
22	21	impcom 407	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062   ∩ cin 3940   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  ran crn 5668  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ωcom 7849   ≼ cdom 8934   ↾_t crest 17371  topGenctg 17388  TopBasesctb 22792  2^ndωc2ndc 23286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-fin 8940  df-fi 9403  df-card 9931  df-acn 9934  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-bases 22793  df-2ndc 23288

This theorem is referenced by: (None)