MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcrest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ndcrest 22828
Description: A subspace of a second-countable space is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcrest ((𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰)

Proof of Theorem 2ndcrest
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 22820 . . 3 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ TopBases (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘₯) = 𝐽))
2 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ π‘₯ ∈ TopBases)
3 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4 tgrest 22533 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜(π‘₯ β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜π‘₯) β†Ύt 𝐴))
52, 3, 4syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜(π‘₯ β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜π‘₯) β†Ύt 𝐴))
6 restbas 22532 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ TopBases β†’ (π‘₯ β†Ύt 𝐴) ∈ TopBases)
76ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘₯ β†Ύt 𝐴) ∈ TopBases)
8 restval 17316 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ β†Ύt 𝐴) = ran (𝑦 ∈ π‘₯ ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)))
92, 3, 8syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘₯ β†Ύt 𝐴) = ran (𝑦 ∈ π‘₯ ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)))
10 1stcrestlem 22826 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ ran (𝑦 ∈ π‘₯ ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰)
1110adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ ran (𝑦 ∈ π‘₯ ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰)
129, 11eqbrtrd 5131 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘₯ β†Ύt 𝐴) β‰Ό Ο‰)
13 2ndci 22822 . . . . . . . 8 (((π‘₯ β†Ύt 𝐴) ∈ TopBases ∧ (π‘₯ β†Ύt 𝐴) β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜(π‘₯ β†Ύt 𝐴)) ∈ 2ndΟ‰)
147, 12, 13syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜(π‘₯ β†Ύt 𝐴)) ∈ 2ndΟ‰)
155, 14eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ ((topGenβ€˜π‘₯) β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰)
16 oveq1 7368 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜π‘₯) = 𝐽 β†’ ((topGenβ€˜π‘₯) β†Ύt 𝐴) = (𝐽 β†Ύt 𝐴))
1716eleq1d 2819 . . . . . 6 ((topGenβ€˜π‘₯) = 𝐽 β†’ (((topGenβ€˜π‘₯) β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰ ↔ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰))
1815, 17syl5ibcom 244 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ ((topGenβ€˜π‘₯) = 𝐽 β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰))
1918expimpd 455 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘₯) = 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰))
2019rexlimdva 3149 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ TopBases (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘₯) = 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰))
211, 20biimtrid 241 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰))
2221impcom 409 1 ((𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3913   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Ο‰com 7806   β‰Ό cdom 8887   β†Ύt crest 17310  topGenctg 17327  TopBasesctb 22318  2ndΟ‰c2ndc 22812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-fin 8893  df-fi 9355  df-card 9883  df-acn 9886  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-bases 22319  df-2ndc 22814
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator