MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcrest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ndcrest 23357
Description: A subspace of a second-countable space is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcrest ((𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰)

Proof of Theorem 2ndcrest
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 23349 . . 3 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ TopBases (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘₯) = 𝐽))
2 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ π‘₯ ∈ TopBases)
3 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4 tgrest 23062 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜(π‘₯ β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜π‘₯) β†Ύt 𝐴))
52, 3, 4syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜(π‘₯ β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜π‘₯) β†Ύt 𝐴))
6 restbas 23061 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ TopBases β†’ (π‘₯ β†Ύt 𝐴) ∈ TopBases)
76ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘₯ β†Ύt 𝐴) ∈ TopBases)
8 restval 17407 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ β†Ύt 𝐴) = ran (𝑦 ∈ π‘₯ ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)))
92, 3, 8syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘₯ β†Ύt 𝐴) = ran (𝑦 ∈ π‘₯ ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)))
10 1stcrestlem 23355 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ ran (𝑦 ∈ π‘₯ ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰)
1110adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ ran (𝑦 ∈ π‘₯ ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰)
129, 11eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘₯ β†Ύt 𝐴) β‰Ό Ο‰)
13 2ndci 23351 . . . . . . . 8 (((π‘₯ β†Ύt 𝐴) ∈ TopBases ∧ (π‘₯ β†Ύt 𝐴) β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜(π‘₯ β†Ύt 𝐴)) ∈ 2ndΟ‰)
147, 12, 13syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜(π‘₯ β†Ύt 𝐴)) ∈ 2ndΟ‰)
155, 14eqeltrrd 2830 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ ((topGenβ€˜π‘₯) β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰)
16 oveq1 7427 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜π‘₯) = 𝐽 β†’ ((topGenβ€˜π‘₯) β†Ύt 𝐴) = (𝐽 β†Ύt 𝐴))
1716eleq1d 2814 . . . . . 6 ((topGenβ€˜π‘₯) = 𝐽 β†’ (((topGenβ€˜π‘₯) β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰ ↔ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰))
1815, 17syl5ibcom 244 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰) β†’ ((topGenβ€˜π‘₯) = 𝐽 β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰))
1918expimpd 453 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ TopBases) β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘₯) = 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰))
2019rexlimdva 3152 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ TopBases (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘₯) = 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰))
211, 20biimtrid 241 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰))
2221impcom 407 1 ((𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ 2ndΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3946   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5679  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Ο‰com 7870   β‰Ό cdom 8961   β†Ύt crest 17401  topGenctg 17418  TopBasesctb 22847  2ndΟ‰c2ndc 23341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-fin 8967  df-fi 9434  df-card 9962  df-acn 9965  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-bases 22848  df-2ndc 23343
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator