Theorem 2ndcrest 23827

Description: A subspace of a second-countable space is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcrest	⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω)

Proof of Theorem 2ndcrest

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 23819	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ TopBases)
3		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		tgrest 23532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) = ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) = ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴))
6		restbas 23531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → (𝑥 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
7	6	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
8		restval 17647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ↾t 𝐴) = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)))
9	2, 3, 8	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ↾t 𝐴) = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)))
10		1stcrestlem 23825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≼ ω → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)) ≼ ω)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)) ≼ ω)
12	9, 11	eqbrtrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ↾t 𝐴) ≼ ω)
13		2ndci 23821	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ↾t 𝐴) ∈ TopBases ∧ (𝑥 ↾t 𝐴) ≼ ω) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) ∈ 2ndω)
14	7, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) ∈ 2ndω)
15	5, 14	eqeltrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴) ∈ 2ndω)
16		oveq1 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴))
17	16	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → (((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴) ∈ 2ndω ↔ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
18	15, 17	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
19	18	expimpd 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) → ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
20	19	rexlimdva 3167	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
21	1, 20	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐽 ∈ 2ndω → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
22	21	impcom 413	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ∩ cin 4092   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ωcom 7911   ≼ cdom 9009   ↾_t crest 17641  topGenctg 17658  TopBasesctb 23318  2^ndωc2ndc 23811

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-fin 9015  df-fi 9440  df-card 10057  df-acn 10060  df-rest 17643  df-topgen 17664  df-bases 23319  df-2ndc 23813

This theorem is used by: (None)