Theorem 2ndcrest 23410

Description: A subspace of a second-countable space is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcrest	⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω)

Proof of Theorem 2ndcrest

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 23402	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ TopBases)
3		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		tgrest 23115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) = ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) = ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴))
6		restbas 23114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → (𝑥 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
7	6	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
8		restval 17358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ↾t 𝐴) = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)))
9	2, 3, 8	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ↾t 𝐴) = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)))
10		1stcrestlem 23408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≼ ω → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)) ≼ ω)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)) ≼ ω)
12	9, 11	eqbrtrd 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ↾t 𝐴) ≼ ω)
13		2ndci 23404	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ↾t 𝐴) ∈ TopBases ∧ (𝑥 ↾t 𝐴) ≼ ω) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) ∈ 2ndω)
14	7, 12, 13	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) ∈ 2ndω)
15	5, 14	eqeltrrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴) ∈ 2ndω)
16		oveq1 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴))
17	16	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → (((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴) ∈ 2ndω ↔ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
18	15, 17	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
19	18	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) → ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
20	19	rexlimdva 3139	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
21	1, 20	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐽 ∈ 2ndω → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
22	21	impcom 407	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∩ cin 3902   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ωcom 7818   ≼ cdom 8893   ↾_t crest 17352  topGenctg 17369  TopBasesctb 22901  2^ndωc2ndc 23394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899  df-fi 9326  df-card 9863  df-acn 9866  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-bases 22902  df-2ndc 23396

This theorem is referenced by: (None)