Theorem 2ndcrest 23432

Description: A subspace of a second-countable space is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcrest	⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω)

Proof of Theorem 2ndcrest

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 23424	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ TopBases)
3		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		tgrest 23137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) = ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) = ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴))
6		restbas 23136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → (𝑥 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
7	6	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ↾t 𝐴) ∈ TopBases)
8		restval 17383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ↾t 𝐴) = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)))
9	2, 3, 8	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ↾t 𝐴) = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)))
10		1stcrestlem 23430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≼ ω → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)) ≼ ω)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝑦 ∩ 𝐴)) ≼ ω)
12	9, 11	eqbrtrd 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ↾t 𝐴) ≼ ω)
13		2ndci 23426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ↾t 𝐴) ∈ TopBases ∧ (𝑥 ↾t 𝐴) ≼ ω) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) ∈ 2ndω)
14	7, 12, 13	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘(𝑥 ↾t 𝐴)) ∈ 2ndω)
15	5, 14	eqeltrrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴) ∈ 2ndω)
16		oveq1 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → ((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴))
17	16	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → (((topGen‘𝑥) ↾t 𝐴) ∈ 2ndω ↔ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
18	15, 17	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
19	18	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ TopBases) → ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
20	19	rexlimdva 3139	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
21	1, 20	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐽 ∈ 2ndω → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω))
22	21	impcom 407	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ 2ndω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ωcom 7811   ≼ cdom 8885   ↾_t crest 17377  topGenctg 17394  TopBasesctb 22923  2^ndωc2ndc 23416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-fin 8891  df-fi 9318  df-card 9857  df-acn 9860  df-rest 17379  df-topgen 17400  df-bases 22924  df-2ndc 23418

This theorem is referenced by: (None)