Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aomclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aomclem5 41800
Description: Lemma for dfac11 41804. Combine the successor case with the limit case. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aomclem5.b 𝐡 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ βˆƒπ‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘Ž) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)(𝑑(π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧)𝑐 β†’ (𝑑 ∈ π‘Ž ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
aomclem5.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V ↦ sup((π‘¦β€˜π‘Ž), (𝑅1β€˜dom 𝑧), 𝐡))
aomclem5.d 𝐷 = recs((π‘Ž ∈ V ↦ (πΆβ€˜((𝑅1β€˜dom 𝑧) βˆ– ran π‘Ž))))
aomclem5.e 𝐸 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ∩ (◑𝐷 β€œ {π‘Ž}) ∈ ∩ (◑𝐷 β€œ {𝑏})}
aomclem5.f 𝐹 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((rankβ€˜π‘Ž) E (rankβ€˜π‘) ∨ ((rankβ€˜π‘Ž) = (rankβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(π‘§β€˜suc (rankβ€˜π‘Ž))𝑏))}
aomclem5.g 𝐺 = (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
aomclem5.on (πœ‘ β†’ dom 𝑧 ∈ On)
aomclem5.we (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom 𝑧(π‘§β€˜π‘Ž) We (𝑅1β€˜π‘Ž))
aomclem5.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
aomclem5.za (πœ‘ β†’ dom 𝑧 βŠ† 𝐴)
aomclem5.y (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜π΄)(π‘Ž β‰  βˆ… β†’ (π‘¦β€˜π‘Ž) ∈ ((𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
Assertion
Ref Expression
aomclem5 (πœ‘ β†’ 𝐺 We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   πœ‘,π‘Ž,𝑏   𝐢,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐡(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐢(𝑦,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐹(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aomclem5
StepHypRef Expression
1 aomclem5.f . . . . . 6 𝐹 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((rankβ€˜π‘Ž) E (rankβ€˜π‘) ∨ ((rankβ€˜π‘Ž) = (rankβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(π‘§β€˜suc (rankβ€˜π‘Ž))𝑏))}
2 aomclem5.on . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑧 ∈ On)
32adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 ∈ On)
4 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧)
5 aomclem5.we . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom 𝑧(π‘§β€˜π‘Ž) We (𝑅1β€˜π‘Ž))
65adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom 𝑧(π‘§β€˜π‘Ž) We (𝑅1β€˜π‘Ž))
71, 3, 4, 6aomclem4 41799 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ 𝐹 We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
8 iftrue 4535 . . . . . . 7 (dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) = 𝐹)
98adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) = 𝐹)
10 eqidd 2734 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ (𝑅1β€˜dom 𝑧) = (𝑅1β€˜dom 𝑧))
119, 10weeq12d 41782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ 𝐹 We (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
127, 11mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
13 aomclem5.b . . . . . 6 𝐡 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ βˆƒπ‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘Ž) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)(𝑑(π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧)𝑐 β†’ (𝑑 ∈ π‘Ž ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
14 aomclem5.c . . . . . 6 𝐢 = (π‘Ž ∈ V ↦ sup((π‘¦β€˜π‘Ž), (𝑅1β€˜dom 𝑧), 𝐡))
15 aomclem5.d . . . . . 6 𝐷 = recs((π‘Ž ∈ V ↦ (πΆβ€˜((𝑅1β€˜dom 𝑧) βˆ– ran π‘Ž))))
16 aomclem5.e . . . . . 6 𝐸 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ∩ (◑𝐷 β€œ {π‘Ž}) ∈ ∩ (◑𝐷 β€œ {𝑏})}
172adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 ∈ On)
18 eloni 6375 . . . . . . . 8 (dom 𝑧 ∈ On β†’ Ord dom 𝑧)
19 orduniorsuc 7818 . . . . . . . 8 (Ord dom 𝑧 β†’ (dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 ∨ dom 𝑧 = suc βˆͺ dom 𝑧))
202, 18, 193syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 ∨ dom 𝑧 = suc βˆͺ dom 𝑧))
2120orcanai 1002 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 = suc βˆͺ dom 𝑧)
225adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom 𝑧(π‘§β€˜π‘Ž) We (𝑅1β€˜π‘Ž))
23 aomclem5.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
2423adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ 𝐴 ∈ On)
25 aomclem5.za . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑧 βŠ† 𝐴)
2625adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 βŠ† 𝐴)
27 aomclem5.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜π΄)(π‘Ž β‰  βˆ… β†’ (π‘¦β€˜π‘Ž) ∈ ((𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
2827adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜π΄)(π‘Ž β‰  βˆ… β†’ (π‘¦β€˜π‘Ž) ∈ ((𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
2913, 14, 15, 16, 17, 21, 22, 24, 26, 28aomclem3 41798 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ 𝐸 We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
30 iffalse 4538 . . . . . . 7 (Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) = 𝐸)
3130adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) = 𝐸)
32 eqidd 2734 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ (𝑅1β€˜dom 𝑧) = (𝑅1β€˜dom 𝑧))
3331, 32weeq12d 41782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ 𝐸 We (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
3429, 33mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
3512, 34pm2.61dan 812 . . 3 (πœ‘ β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
36 weinxp 5761 . . 3 (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
3735, 36sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
38 aomclem5.g . . 3 𝐺 = (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
39 weeq1 5665 . . 3 (𝐺 = (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) β†’ (𝐺 We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) We (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
4038, 39ax-mp 5 . 2 (𝐺 We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
4137, 40sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  βˆ© cint 4951   class class class wbr 5149  {copab 5211   ↦ cmpt 5232   E cep 5580   We wwe 5631   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Ord word 6364  Oncon0 6365  suc csuc 6367  β€˜cfv 6544  recscrecs 8370  Fincfn 8939  supcsup 9435  π‘…1cr1 9757  rankcrnk 9758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-sup 9437  df-r1 9759  df-rank 9760
This theorem is referenced by:  aomclem6  41801
  Copyright terms: Public domain W3C validator