Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aomclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aomclem5 42102
Description: Lemma for dfac11 42106. Combine the successor case with the limit case. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aomclem5.b 𝐡 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ βˆƒπ‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘Ž) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)(𝑑(π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧)𝑐 β†’ (𝑑 ∈ π‘Ž ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
aomclem5.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V ↦ sup((π‘¦β€˜π‘Ž), (𝑅1β€˜dom 𝑧), 𝐡))
aomclem5.d 𝐷 = recs((π‘Ž ∈ V ↦ (πΆβ€˜((𝑅1β€˜dom 𝑧) βˆ– ran π‘Ž))))
aomclem5.e 𝐸 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ∩ (◑𝐷 β€œ {π‘Ž}) ∈ ∩ (◑𝐷 β€œ {𝑏})}
aomclem5.f 𝐹 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((rankβ€˜π‘Ž) E (rankβ€˜π‘) ∨ ((rankβ€˜π‘Ž) = (rankβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(π‘§β€˜suc (rankβ€˜π‘Ž))𝑏))}
aomclem5.g 𝐺 = (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
aomclem5.on (πœ‘ β†’ dom 𝑧 ∈ On)
aomclem5.we (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom 𝑧(π‘§β€˜π‘Ž) We (𝑅1β€˜π‘Ž))
aomclem5.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
aomclem5.za (πœ‘ β†’ dom 𝑧 βŠ† 𝐴)
aomclem5.y (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜π΄)(π‘Ž β‰  βˆ… β†’ (π‘¦β€˜π‘Ž) ∈ ((𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
Assertion
Ref Expression
aomclem5 (πœ‘ β†’ 𝐺 We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   πœ‘,π‘Ž,𝑏   𝐢,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐡(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐢(𝑦,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐹(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aomclem5
StepHypRef Expression
1 aomclem5.f . . . . . 6 𝐹 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((rankβ€˜π‘Ž) E (rankβ€˜π‘) ∨ ((rankβ€˜π‘Ž) = (rankβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(π‘§β€˜suc (rankβ€˜π‘Ž))𝑏))}
2 aomclem5.on . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑧 ∈ On)
32adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 ∈ On)
4 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧)
5 aomclem5.we . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom 𝑧(π‘§β€˜π‘Ž) We (𝑅1β€˜π‘Ž))
65adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom 𝑧(π‘§β€˜π‘Ž) We (𝑅1β€˜π‘Ž))
71, 3, 4, 6aomclem4 42101 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ 𝐹 We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
8 iftrue 4533 . . . . . . 7 (dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) = 𝐹)
98adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) = 𝐹)
10 eqidd 2731 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ (𝑅1β€˜dom 𝑧) = (𝑅1β€˜dom 𝑧))
119, 10weeq12d 42084 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ 𝐹 We (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
127, 11mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
13 aomclem5.b . . . . . 6 𝐡 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ βˆƒπ‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘Ž) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)(𝑑(π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧)𝑐 β†’ (𝑑 ∈ π‘Ž ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
14 aomclem5.c . . . . . 6 𝐢 = (π‘Ž ∈ V ↦ sup((π‘¦β€˜π‘Ž), (𝑅1β€˜dom 𝑧), 𝐡))
15 aomclem5.d . . . . . 6 𝐷 = recs((π‘Ž ∈ V ↦ (πΆβ€˜((𝑅1β€˜dom 𝑧) βˆ– ran π‘Ž))))
16 aomclem5.e . . . . . 6 𝐸 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ∩ (◑𝐷 β€œ {π‘Ž}) ∈ ∩ (◑𝐷 β€œ {𝑏})}
172adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 ∈ On)
18 eloni 6373 . . . . . . . 8 (dom 𝑧 ∈ On β†’ Ord dom 𝑧)
19 orduniorsuc 7820 . . . . . . . 8 (Ord dom 𝑧 β†’ (dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 ∨ dom 𝑧 = suc βˆͺ dom 𝑧))
202, 18, 193syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 ∨ dom 𝑧 = suc βˆͺ dom 𝑧))
2120orcanai 999 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 = suc βˆͺ dom 𝑧)
225adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom 𝑧(π‘§β€˜π‘Ž) We (𝑅1β€˜π‘Ž))
23 aomclem5.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
2423adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ 𝐴 ∈ On)
25 aomclem5.za . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑧 βŠ† 𝐴)
2625adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 βŠ† 𝐴)
27 aomclem5.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜π΄)(π‘Ž β‰  βˆ… β†’ (π‘¦β€˜π‘Ž) ∈ ((𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
2827adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜π΄)(π‘Ž β‰  βˆ… β†’ (π‘¦β€˜π‘Ž) ∈ ((𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
2913, 14, 15, 16, 17, 21, 22, 24, 26, 28aomclem3 42100 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ 𝐸 We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
30 iffalse 4536 . . . . . . 7 (Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) = 𝐸)
3130adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) = 𝐸)
32 eqidd 2731 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ (𝑅1β€˜dom 𝑧) = (𝑅1β€˜dom 𝑧))
3331, 32weeq12d 42084 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ 𝐸 We (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
3429, 33mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
3512, 34pm2.61dan 809 . . 3 (πœ‘ β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
36 weinxp 5759 . . 3 (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
3735, 36sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
38 aomclem5.g . . 3 𝐺 = (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
39 weeq1 5663 . . 3 (𝐺 = (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) β†’ (𝐺 We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) We (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
4038, 39ax-mp 5 . 2 (𝐺 We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
4137, 40sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  βˆ© cint 4949   class class class wbr 5147  {copab 5209   ↦ cmpt 5230   E cep 5578   We wwe 5629   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Ord word 6362  Oncon0 6363  suc csuc 6365  β€˜cfv 6542  recscrecs 8372  Fincfn 8941  supcsup 9437  π‘…1cr1 9759  rankcrnk 9760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-sup 9439  df-r1 9761  df-rank 9762
This theorem is referenced by:  aomclem6  42103
  Copyright terms: Public domain W3C validator