Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aomclem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aomclem5 41414
Description: Lemma for dfac11 41418. Combine the successor case with the limit case. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aomclem5.b 𝐡 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ βˆƒπ‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘Ž) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)(𝑑(π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧)𝑐 β†’ (𝑑 ∈ π‘Ž ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
aomclem5.c 𝐢 = (π‘Ž ∈ V ↦ sup((π‘¦β€˜π‘Ž), (𝑅1β€˜dom 𝑧), 𝐡))
aomclem5.d 𝐷 = recs((π‘Ž ∈ V ↦ (πΆβ€˜((𝑅1β€˜dom 𝑧) βˆ– ran π‘Ž))))
aomclem5.e 𝐸 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ∩ (◑𝐷 β€œ {π‘Ž}) ∈ ∩ (◑𝐷 β€œ {𝑏})}
aomclem5.f 𝐹 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((rankβ€˜π‘Ž) E (rankβ€˜π‘) ∨ ((rankβ€˜π‘Ž) = (rankβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(π‘§β€˜suc (rankβ€˜π‘Ž))𝑏))}
aomclem5.g 𝐺 = (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
aomclem5.on (πœ‘ β†’ dom 𝑧 ∈ On)
aomclem5.we (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom 𝑧(π‘§β€˜π‘Ž) We (𝑅1β€˜π‘Ž))
aomclem5.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
aomclem5.za (πœ‘ β†’ dom 𝑧 βŠ† 𝐴)
aomclem5.y (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜π΄)(π‘Ž β‰  βˆ… β†’ (π‘¦β€˜π‘Ž) ∈ ((𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
Assertion
Ref Expression
aomclem5 (πœ‘ β†’ 𝐺 We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   πœ‘,π‘Ž,𝑏   𝐢,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐡(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐢(𝑦,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐹(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aomclem5
StepHypRef Expression
1 aomclem5.f . . . . . 6 𝐹 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((rankβ€˜π‘Ž) E (rankβ€˜π‘) ∨ ((rankβ€˜π‘Ž) = (rankβ€˜π‘) ∧ π‘Ž(π‘§β€˜suc (rankβ€˜π‘Ž))𝑏))}
2 aomclem5.on . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑧 ∈ On)
32adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 ∈ On)
4 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧)
5 aomclem5.we . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom 𝑧(π‘§β€˜π‘Ž) We (𝑅1β€˜π‘Ž))
65adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom 𝑧(π‘§β€˜π‘Ž) We (𝑅1β€˜π‘Ž))
71, 3, 4, 6aomclem4 41413 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ 𝐹 We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
8 iftrue 4497 . . . . . . 7 (dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) = 𝐹)
98adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) = 𝐹)
10 eqidd 2738 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ (𝑅1β€˜dom 𝑧) = (𝑅1β€˜dom 𝑧))
119, 10weeq12d 41396 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ 𝐹 We (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
127, 11mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
13 aomclem5.b . . . . . 6 𝐡 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ βˆƒπ‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘Ž) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑅1β€˜βˆͺ dom 𝑧)(𝑑(π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧)𝑐 β†’ (𝑑 ∈ π‘Ž ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
14 aomclem5.c . . . . . 6 𝐢 = (π‘Ž ∈ V ↦ sup((π‘¦β€˜π‘Ž), (𝑅1β€˜dom 𝑧), 𝐡))
15 aomclem5.d . . . . . 6 𝐷 = recs((π‘Ž ∈ V ↦ (πΆβ€˜((𝑅1β€˜dom 𝑧) βˆ– ran π‘Ž))))
16 aomclem5.e . . . . . 6 𝐸 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ∩ (◑𝐷 β€œ {π‘Ž}) ∈ ∩ (◑𝐷 β€œ {𝑏})}
172adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 ∈ On)
18 eloni 6332 . . . . . . . 8 (dom 𝑧 ∈ On β†’ Ord dom 𝑧)
19 orduniorsuc 7770 . . . . . . . 8 (Ord dom 𝑧 β†’ (dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 ∨ dom 𝑧 = suc βˆͺ dom 𝑧))
202, 18, 193syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 ∨ dom 𝑧 = suc βˆͺ dom 𝑧))
2120orcanai 1002 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 = suc βˆͺ dom 𝑧)
225adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ dom 𝑧(π‘§β€˜π‘Ž) We (𝑅1β€˜π‘Ž))
23 aomclem5.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
2423adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ 𝐴 ∈ On)
25 aomclem5.za . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑧 βŠ† 𝐴)
2625adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ dom 𝑧 βŠ† 𝐴)
27 aomclem5.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜π΄)(π‘Ž β‰  βˆ… β†’ (π‘¦β€˜π‘Ž) ∈ ((𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
2827adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜π΄)(π‘Ž β‰  βˆ… β†’ (π‘¦β€˜π‘Ž) ∈ ((𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
2913, 14, 15, 16, 17, 21, 22, 24, 26, 28aomclem3 41412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ 𝐸 We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
30 iffalse 4500 . . . . . . 7 (Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) = 𝐸)
3130adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) = 𝐸)
32 eqidd 2738 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ (𝑅1β€˜dom 𝑧) = (𝑅1β€˜dom 𝑧))
3331, 32weeq12d 41396 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ 𝐸 We (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
3429, 33mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
3512, 34pm2.61dan 812 . . 3 (πœ‘ β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
36 weinxp 5721 . . 3 (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
3735, 36sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
38 aomclem5.g . . 3 𝐺 = (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
39 weeq1 5626 . . 3 (𝐺 = (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) β†’ (𝐺 We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) We (𝑅1β€˜dom 𝑧)))
4038, 39ax-mp 5 . 2 (𝐺 We (𝑅1β€˜dom 𝑧) ↔ (if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, 𝐹, 𝐸) ∩ ((𝑅1β€˜dom 𝑧) Γ— (𝑅1β€˜dom 𝑧))) We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
4137, 40sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 We (𝑅1β€˜dom 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  π’« cpw 4565  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870  βˆ© cint 4912   class class class wbr 5110  {copab 5172   ↦ cmpt 5193   E cep 5541   We wwe 5592   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641  Ord word 6321  Oncon0 6322  suc csuc 6324  β€˜cfv 6501  recscrecs 8321  Fincfn 8890  supcsup 9383  π‘…1cr1 9705  rankcrnk 9706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-map 8774  df-en 8891  df-fin 8894  df-sup 9385  df-r1 9707  df-rank 9708
This theorem is referenced by:  aomclem6  41415
  Copyright terms: Public domain W3C validator