Theorem cdlemk7u 38884

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 5, p. 119 for the sigma₁ case. (Contributed by NM, 3-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk1.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk1.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk1.o	⊢ 𝑂 = (𝑆‘𝐷)
cdlemk1.u	⊢ 𝑈 = (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝐷))))))
cdlemk1.v	⊢ 𝑉 = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk7u	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑈‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐷,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖   ∧ ,𝑒   ∨ ,𝑒   𝐷,𝑒,𝑗   𝑒,𝐺,𝑗   𝑒,𝑂   𝑃,𝑒   𝑅,𝑒   𝑇,𝑒   𝑒,𝑊   ∧ ,𝑗   ≤ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑗,𝑂   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝑒,𝐹   𝑒,𝑋,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝑈(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝐺(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓)   𝐾(𝑒,𝑓)   ≤ (𝑒,𝑓)   𝑁(𝑒)   𝑂(𝑓,𝑖)   𝑉(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝑋(𝑓,𝑖)

Proof of Theorem cdlemk7u

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp31 1208	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
2		simp33 1210	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))
3	1, 2	jca 512	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷))))
4		cdlemk1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		cdlemk1.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		cdlemk1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		cdlemk1.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
8		cdlemk1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		cdlemk1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		cdlemk1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		cdlemk1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12		cdlemk1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
13		cdlemk1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑆‘𝐷)
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cdlemk6u 38876	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)))) ≤ ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)))) ∨ (((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑂‘𝑃)))))
15	3, 14	syld3an3 1408	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)))) ≤ ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)))) ∨ (((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑂‘𝑃)))))
16		simp11l 1283	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐾 ∈ HL)
17		simp11r 1284	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
18	16, 17	jca 512	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19		simp23 1207	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
20		simp212 1311	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
21		simp12 1203	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
22		simp13 1204	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐷 ∈ 𝑇)
23		simp211 1310	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
24	21, 22, 23	3jca 1127	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
25		simp331 1325	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹))
26		simp332 1326	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷))
27	26	necomd 2999	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐺))
28	25, 27	jca 512	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐺)))
29		simp311 1319	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
30		simp313 1321	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
31		simp312 1320	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵))
32	29, 30, 31	3jca 1127	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
33		simp22 1206	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
34		cdlemk1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝐷))))))
35	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 34	cdlemkuv2 38881	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)))))
36	18, 19, 20, 24, 28, 32, 33, 35	syl313anc 1393	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)))))
37	5, 6, 8, 9, 10, 11	trljat1 38180	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
38	18, 20, 33, 37	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
39	38	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)))) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)))))
40	36, 39	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)))))
41	16	hllatd 37378	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝐾 ∈ Lat)
42		simp213 1312	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝑋 ∈ 𝑇)
43		simp333 1327	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷))
44	43	necomd 2999	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝑋))
45	25, 44	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝑋)))
46		simp32 1209	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))
47	29, 46, 31	3jca 1127	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
48	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 34	cdlemkuat 38880	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝑋)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑈‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
49	18, 19, 42, 24, 45, 47, 33, 48	syl313anc 1393	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑈‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
50	4, 8	atbase 37303	. . . . 5 ⊢ (((𝑈‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 → ((𝑈‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)
51	49, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑈‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)
52		simp22l 1291	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
53		cdlemk1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷))))
54	4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 7, 53	cdlemkvcl 38856	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑉 ∈ 𝐵)
55	16, 17, 22, 20, 42, 52, 54	syl231anc 1389	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝑉 ∈ 𝐵)
56	4, 6	latjcom 18165	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (((𝑈‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉) = (𝑉 ∨ ((𝑈‘𝑋)‘𝑃)))
57	41, 51, 55, 56	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (((𝑈‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉) = (𝑉 ∨ ((𝑈‘𝑋)‘𝑃)))
58	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → 𝑉 = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)))))
59	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 34	cdlemkuv2 38881	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝑋)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑈‘𝑋)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑋)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)))))
60	18, 19, 42, 24, 45, 47, 33, 59	syl313anc 1393	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑈‘𝑋)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑋)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)))))
61	5, 6, 8, 9, 10, 11	trljat1 38180	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑋)) = (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)))
62	18, 42, 33, 61	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑋)) = (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)))
63	5, 8, 9, 10	ltrnat 38154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐴)
64	18, 42, 52, 63	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐴)
65	6, 8	hlatjcom 37382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)))
66	16, 64, 52, 65	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)))
67	62, 66	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑋)) = ((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃))
68		simp1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇))
69	23, 33, 19	3jca 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
70	29, 31, 25	3jca 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹)))
71	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cdlemkoatnle 38865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑂‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑂‘𝑃) ≤ 𝑊))
72	71	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑂‘𝑃) ∈ 𝐴)
73	68, 69, 70, 72	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑂‘𝑃) ∈ 𝐴)
74	42, 22	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇))
75	8, 9, 10, 11	trlcocnvat 38738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)) ∈ 𝐴)
76	18, 74, 43, 75	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)) ∈ 𝐴)
77	6, 8	hlatjcom 37382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑂‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)) ∈ 𝐴) → ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷))) = ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑂‘𝑃)))
78	16, 73, 76, 77	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷))) = ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑂‘𝑃)))
79	67, 78	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑋)) ∧ ((𝑂‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)))) = (((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑂‘𝑃))))
80	60, 79	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑈‘𝑋)‘𝑃) = (((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑂‘𝑃))))
81	58, 80	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (𝑉 ∨ ((𝑈‘𝑋)‘𝑃)) = ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)))) ∨ (((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑂‘𝑃)))))
82	57, 81	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → (((𝑈‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉) = ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)))) ∨ (((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐷)) ∨ (𝑂‘𝑃)))))
83	15, 40, 82	3brtr4d 5106	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐷) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐷) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐷)))) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑈‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   I cid 5488  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  joincjn 18029  meetcmee 18030  Latclat 18149  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173

This theorem is referenced by:  cdlemk11u  38885  cdlemk7u-2N  38902