Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpr 486 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β πΉ = π) |
2 | | simp11 1204 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΊ β π) |
4 | | simp23 1209 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΌ β π) |
5 | | cdlemk5.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdlemk5.t |
. . . . . . 7
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
7 | 5, 6 | ltrnco 39232 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β (πΊ β πΌ) β π) |
8 | 2, 3, 4, 7 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΊ β πΌ) β π) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β (πΊ β πΌ) β π) |
10 | | cdlemk5.x |
. . . . 5
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
11 | | cdlemk5.u |
. . . . 5
β’ π = (π β π β¦ if(πΉ = π, π, π)) |
12 | 10, 11 | cdlemk40t 39431 |
. . . 4
β’ ((πΉ = π β§ (πΊ β πΌ) β π) β (πβ(πΊ β πΌ)) = (πΊ β πΌ)) |
13 | 1, 9, 12 | syl2anc 585 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β (πβ(πΊ β πΌ)) = (πΊ β πΌ)) |
14 | | simpl22 1253 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β πΊ β π) |
15 | 10, 11 | cdlemk40t 39431 |
. . . . 5
β’ ((πΉ = π β§ πΊ β π) β (πβπΊ) = πΊ) |
16 | 1, 14, 15 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β (πβπΊ) = πΊ) |
17 | | simpl23 1254 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β πΌ β π) |
18 | 10, 11 | cdlemk40t 39431 |
. . . . 5
β’ ((πΉ = π β§ πΌ β π) β (πβπΌ) = πΌ) |
19 | 1, 17, 18 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β (πβπΌ) = πΌ) |
20 | 16, 19 | coeq12d 5824 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β ((πβπΊ) β (πβπΌ)) = (πΊ β πΌ)) |
21 | 13, 20 | eqtr4d 2776 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β (πβ(πΊ β πΌ)) = ((πβπΊ) β (πβπΌ))) |
22 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π)) |
23 | | simpl21 1252 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
24 | | simpr 486 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β πΉ β π) |
25 | 23, 24 | jca 513 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β π)) |
26 | | simpl22 1253 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β πΊ β π) |
27 | | simpl23 1254 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β πΌ β π) |
28 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
29 | | cdlemk5.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
30 | | cdlemk5.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
31 | | cdlemk5.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
32 | | cdlemk5.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
33 | | cdlemk5.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
34 | | cdlemk5.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
35 | | cdlemk5.z |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
36 | | cdlemk5.y |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
37 | 29, 30, 31, 32, 33, 5, 6, 34, 35, 36, 10, 11 | cdlemk55u1 39478 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ (((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β π) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβ(πΊ β πΌ)) = ((πβπΊ) β (πβπΌ))) |
38 | 22, 25, 26, 27, 28, 37 | syl131anc 1384 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (πβ(πΊ β πΌ)) = ((πβπΊ) β (πβπΌ))) |
39 | 21, 38 | pm2.61dane 3029 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π β§ πΌ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβ(πΊ β πΌ)) = ((πβπΊ) β (πβπΌ))) |