MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1res 23531
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
cnmpt1res.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt1res.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
cnmpt1res.6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝐿(π‘₯)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
21resmptd 6033 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
3 cnmpt1res.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 toponuni 22767 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
71, 6sseqtrd 4017 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
8 eqid 2726 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
98cnrest 23140 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐿))
103, 7, 9syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐿))
11 cnmpt1res.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
1211oveq1i 7414 . . 3 (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐿)
1310, 12eleqtrrdi 2838 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
142, 13eqeltrrd 2828 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   ↦ cmpt 5224   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   β†Ύt crest 17373  TopOnctopon 22763   Cn ccn 23079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8821  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cn 23082
This theorem is referenced by:  subgtgp  23960  symgtgp  23961  cnmptre  24799  evth2  24837  pcoass  24902  efrlim  26852  efrlimOLD  26853  ipasslem7  30594  cvxpconn  34761  cvmliftlem8  34811
  Copyright terms: Public domain W3C validator