Theorem cnmpt1res 23659

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1res.2	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌)
cnmpt1res.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1res.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
cnmpt1res.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1res	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1res.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
2	1	resmptd 5992	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴))
3		cnmpt1res.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4		cnmpt1res.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		toponuni 22897	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	1, 6	sseqtrd 3951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
8		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	cnrest 23268	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿))
10	3, 7, 9	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿))
11		cnmpt1res.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌)
12	11	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿)
13	10, 12	eleqtrrdi 2850	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
14	2, 13	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4838   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5620  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↾_t crest 17374  TopOnctopon 22893   Cn ccn 23207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8765  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9314  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-cn 23210

This theorem is referenced by:  subgtgp  24088  symgtgp  24089  cnmptre  24912  evth2  24945  pcoass  25009  efrlim  26951  ipasslem7  30925  cvxpconn  35470  cvmliftlem8  35520