Theorem cnmpt1res 23812

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1res.2	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌)
cnmpt1res.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1res.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
cnmpt1res.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1res	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1res.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
2	1	resmptd 6042	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴))
3		cnmpt1res.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4		cnmpt1res.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		toponuni 23050	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	1, 6	sseqtrd 3972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	cnrest 23421	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿))
10	3, 7, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿))
11		cnmpt1res.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌)
12	11	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿)
13	10, 12	eleqtrrdi 2872	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
14	2, 13	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4871   ↦ cmpt 5191   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↾_t crest 17472  TopOnctopon 23046   Cn ccn 23360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-map 8825  df-en 8943  df-fin 8946  df-fi 9370  df-rest 17474  df-topgen 17495  df-top 23030  df-topon 23047  df-bases 23082  df-cn 23363

This theorem is referenced by:  subgtgp  24241  symgtgp  24242  cnmptre  25065  evth2  25098  pcoass  25162  efrlim  27110  ipasslem7  31154  cvxpconn  35688  cvmliftlem8  35738