Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1res 22284
 Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
cnmpt1res.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1res.5 (𝜑𝑌𝑋)
cnmpt1res.6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res (𝜑 → (𝑥𝑌𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3 (𝜑𝑌𝑋)
21resmptd 5895 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐴))
3 cnmpt1res.6 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 21522 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 = 𝐽)
71, 6sseqtrd 3993 . . . 4 (𝜑𝑌 𝐽)
8 eqid 2824 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
98cnrest 21893 . . . 4 (((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ 𝑌 𝐽) → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐿))
103, 7, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐿))
11 cnmpt1res.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
1211oveq1i 7159 . . 3 (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐿)
1310, 12eleqtrrdi 2927 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
142, 13eqeltrrd 2917 1 (𝜑 → (𝑥𝑌𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919  ∪ cuni 4824   ↦ cmpt 5132   ↾ cres 5544  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ↾t crest 16694  TopOnctopon 21518   Cn ccn 21832 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-fin 8509  df-fi 8872  df-rest 16696  df-topgen 16717  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cn 21835 This theorem is referenced by:  subgtgp  22713  symgtgp  22714  cnmptre  23535  evth2  23568  pcoass  23632  efrlim  25558  ipasslem7  28622  cvxpconn  32546  cvmliftlem8  32596
 Copyright terms: Public domain W3C validator