MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1res 21978
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
cnmpt1res.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1res.5 (𝜑𝑌𝑋)
cnmpt1res.6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res (𝜑 → (𝑥𝑌𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3 (𝜑𝑌𝑋)
21resmptd 5747 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐴))
3 cnmpt1res.6 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 21216 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 = 𝐽)
71, 6sseqtrd 3893 . . . 4 (𝜑𝑌 𝐽)
8 eqid 2772 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
98cnrest 21587 . . . 4 (((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ 𝑌 𝐽) → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐿))
103, 7, 9syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐿))
11 cnmpt1res.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
1211oveq1i 6980 . . 3 (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽t 𝑌) Cn 𝐿)
1310, 12syl6eleqr 2871 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
142, 13eqeltrrd 2861 1 (𝜑 → (𝑥𝑌𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2048  wss 3825   cuni 4706  cmpt 5002  cres 5402  cfv 6182  (class class class)co 6970  t crest 16540  TopOnctopon 21212   Cn ccn 21526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-fin 8302  df-fi 8662  df-rest 16542  df-topgen 16563  df-top 21196  df-topon 21213  df-bases 21248  df-cn 21529
This theorem is referenced by:  symgtgp  22403  subgtgp  22407  cnmptre  23224  evth2  23257  pcoass  23321  efrlim  25239  ipasslem7  28380  cvxpconn  32034  cvmliftlem8  32084
  Copyright terms: Public domain W3C validator