MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1res 23050
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
cnmpt1res.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt1res.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
cnmpt1res.6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝐿(π‘₯)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
21resmptd 5998 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
3 cnmpt1res.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 toponuni 22286 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
71, 6sseqtrd 3988 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
8 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
98cnrest 22659 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐿))
103, 7, 9syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐿))
11 cnmpt1res.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
1211oveq1i 7371 . . 3 (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐿)
1310, 12eleqtrrdi 2845 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
142, 13eqeltrrd 2835 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869   ↦ cmpt 5192   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   β†Ύt crest 17310  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-en 8890  df-fin 8893  df-fi 9355  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601
This theorem is referenced by:  subgtgp  23479  symgtgp  23480  cnmptre  24313  evth2  24346  pcoass  24410  efrlim  26342  ipasslem7  29827  cvxpconn  33900  cvmliftlem8  33950
  Copyright terms: Public domain W3C validator