MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1res 23593
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
cnmpt1res.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt1res.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
cnmpt1res.6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝐿(π‘₯)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
21resmptd 6044 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
3 cnmpt1res.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4 cnmpt1res.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 toponuni 22829 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
64, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
71, 6sseqtrd 4020 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽)
8 eqid 2728 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
98cnrest 23202 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐿))
103, 7, 9syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐿))
11 cnmpt1res.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
1211oveq1i 7430 . . 3 (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐿)
1310, 12eleqtrrdi 2840 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
142, 13eqeltrrd 2830 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5680  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   β†Ύt crest 17402  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8847  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9435  df-rest 17404  df-topgen 17425  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cn 23144
This theorem is referenced by:  subgtgp  24022  symgtgp  24023  cnmptre  24861  evth2  24899  pcoass  24964  efrlim  26914  efrlimOLD  26915  ipasslem7  30659  cvxpconn  34852  cvmliftlem8  34902
  Copyright terms: Public domain W3C validator