Theorem cnmpt1res 23632

Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1res.2	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌)
cnmpt1res.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1res.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
cnmpt1res.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1res	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1res.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
2	1	resmptd 6007	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴))
3		cnmpt1res.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
4		cnmpt1res.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		toponuni 22870	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	1, 6	sseqtrd 3972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	cnrest 23241	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ 𝐽) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿))
10	3, 7, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿))
11		cnmpt1res.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t 𝑌)
12	11	oveq1i 7378	. . 3 ⊢ (𝐾 Cn 𝐿) = ((𝐽 ↾t 𝑌) Cn 𝐿)
13	10, 12	eleqtrrdi 2848	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ↾ 𝑌) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
14	2, 13	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865   ↦ cmpt 5181   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↾_t crest 17352  TopOnctopon 22866   Cn ccn 23180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-map 8777  df-en 8896  df-fin 8899  df-fi 9326  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cn 23183

This theorem is referenced by:  subgtgp  24061  symgtgp  24062  cnmptre  24889  evth2  24927  pcoass  24992  efrlim  26947  efrlimOLD  26948  ipasslem7  30924  cvxpconn  35458  cvmliftlem8  35508